Посібник "Захоплюючий світ параметрів. Перше знайомство"

Математика

Для кого: 9 Клас

02.04.2020

651

14

0

Опис документу:
Пропонований посібник є спробою викладення різних методів розв’язування задач з параметрами, починаючи з розв’язування лінійних рівнянь і рівнянь, що зводяться до лінійних, а також квадратних рівнянь з параметрами. Окремо виділено розділ розв’язування рівнянь графічним методом. Наведено зразки розв’язування задач різної складності.
Перегляд
матеріалу
Отримати код

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ І НАУКИ

ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ

УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ КАМ’ЯНЕЦЬ-ПОДІЛЬСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР

МІСЬКА ТВОРЧА ГРУПА ВЧИТЕЛІВ МАТЕМАТИКИ

Семенюк А.В.

Кухаришина Н.Ю.

Новікова А.Г.

ЗАХОПЛЮЮЧИЙ СВІТ ПАРАМЕТРІВ.

ПЕРШЕ ЗНАЙОМСТВО

На допомогу вчителям та учням

закладів загальної середньої освіти

Кам’янець-Подільський

2018

Рецензенти:

Сморжевський Ю.Л. кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математики Кам’янець-Подільського національного університету імені Івана Огієнка

Чижевська О.М. учитель математики, спеціаліст вищої категорії, учитель–методист Кам’янець-Подільської загальноосвітньої школи №15

Міська творча група вчителів математики:

Семенюк Анжела Вікторівна, учитель математики, спеціаліст вищої категорії, старший учитель Кам’янець-Подільської загальноосвітньої школи №17 І-ІІІ ступенів

Кухаришина Наталія Юліївна, учитель математики, спеціаліст вищої категорії, старший учитель Кам’янець-Подільської загальноосвітньої школи №17 І-ІІІ ступенів

Новікова Анжела Георгіївна, методист НМЦ управління освіти і науки Кам’янець-Подільської міської ради, вчитель-методист

Захоплюючий світ параметрів. Перше знайомство. – Кам’янець-Подільський, 2018. – 90с.

Пропонований посібник є спробою викладення різних методів розв’язування задач з параметрами, починаючи з розв’язування лінійних рівнянь і рівнянь, що зводяться до лінійних, а також квадратних рівнянь з параметрами. Окремо виділено розділ розв’язування рівнянь графічним методом. Наведено зразки розв’язування задач різної складності.

Велика кількість докладно розв’язаних прикладів та система вправ для самостійного розв’язування допоможе учням оволодіти вміннями досліджувати лінійні та квадратні рівняння, що містять параметри.

Посібник буде корисний учителям та учням закладів загальної середньої освіти.

Схвалено радою науково-методичного центру (протокол №6 від 26.10.2018 р.)

Передмова

Кожного року серед завдань зовнішнього незалежного оцінювання з математики трапляються рівняння з параметрами. Але оскільки шкільна програма не передбачає набуття стійких навичок розв’язання таких рівнянь учнями, тому ці питання доцільно розглядати на факультативних заняттях.

Помилково було б вважати, що розв’язувати задачі з параметрами доводиться лише на ЗНО з математики для вступу до вищих навчальних закладів. Таким задачам необхідно приділяти більше уваги і в шкільному курсі, адже в процесі їх розв’язування збагачується математична культура учнів, розвивається логічне мислення та задатки дослідницької діяльності, крім того удосконалюються технічні навички.

Задачі з параметрами є природним завершенням будь-якого математичного розділу, в якому для вироблення і закріплення відповідних навичок розв’язуються задачі. Задачі з параметрами сприяють формуванню інтелектуальних умінь, розвитку логічного мислення і математичної культури, та їх розв’язування пов’язане зі значними труднощами. Це пов’язане з тим, що кожна задача з параметрам , передбачає розв’язування не однієї, а цілої низки різноманітних математичних задач: рівнянь, нерівностей тощо.

Порівнюючи звичайні задачі із задачами з параметрами, останні здаються учням та абітурієнтам набагато складнішими. Це дійсно один з найскладніших у логічному та технічному аспектах розділів елементарної математики. Пояснюється це тим, що під час розв’язування доводиться відслідковувати не лише незалежну змінну і параметри, а й їхній вплив один на одного.

Розв’язування задач із параметром найбільше відображає рівень математичного логічного мислення учнів формує навички дослідницької діяльності та математичної культури.

Цей особливий і найбільший клас задач з параметром становлять такі задачі, що містять аналіз та дослідження квадратного тричлена з коефіцієнтами, залежними від параметра або ж зводяться до розв'язування квадратних рівнянь, нерівностей, чи їх систем з параметром.

Задачі з параметром мають високу діагностичну цінність. Адже за їхньою допомогою можна перевірити знання основних розділів шкільної математики. І тому основне завдання для учнів полягає в тому, щоб обережно, навіть делікатно спілкуватися з фіксованим, але невідомим числом – параметром.

Для розв’язування рівнянь з параметрами не потрібно спеціальних знань, що виходять за межі шкільної програми. Проте необхідність у проведенні досліджень значно ускладнює розв’язування завдань цього типу.

Розв’язування задач з параметрами потребує знань властивостей елементарних функцій (область визначення, множина значень, проміжки зростання та спадання), властивостей рівнянь (рівносильність та нерівносильність перетворень), вміння проводити дослідження, розглядаючи усі можливі випадки. Крім того, для застосування графічних методів потрібні вміння виконувати побудову графіків функцій та проводити графічні дослідження, що відповідають різним значенням параметра.

Останнім часом з’явилося багато різноманітної літератури, присвяченої задачам з параметрами. Але більшість з цих книг викликають серйозні труднощі для тих, хто не знайомий із загальними ідеями розв’язування таких задач.

Даний посібник складається з п’яти розділів: «Рівняння, що містять параметри», «Розв’язування лінійних рівнянь та рівнянь, що зводяться до лінійних», «Розв’язування квадратних рівнянь та рівнянь, що зводяться до квадратних», «Рівняння, що містять змінну й параметр під знаком модуля», «Розв’язування задач з параметрами графічним методом».

Розділи містять детальне розв’язання задач, деякі теоретичні відомості та поради, а також задачі для самостійного опрацювання (від типових до більш складних). До всіх задач подано відповіді.

§1. Рівняння, що містять параметри

Термін «параметр» – це термін грецького походження, у перекладі означає «відміряти». Поняття параметра є у різних науках, наприклад, фізиці, хімії, програмуванні, економіці та ін. Під поняттям параметра розуміють величину, якою характеризують певну властивість, стан, розмір або форму об’єкта, робочого тіла, явища, системи та ін. До необхідності розв’язувати завдання з параметрами (в межах побудованої математичної моделі) приводить велика кількість прикладних задач, зокрема, економічних, технічних, медичних тощо.

Параметр як математична величина входить до формул і виразів, до рівнянь та нерівностей, до систем рівнянь, нерівностей, до формулювань умови та вимоги у задачах.

Означення. Змінні, які під час розв’язування рівняння вважають сталими, називають параметрами, а саме рівняння називається рівнянням з параметрами.

Параметр це невідома стала величина в рівнянні, яка не розглядається як така, що треба знайти, а навпаки, корені рівняння знаходять залежно від цієї величини.

Розв’язати рівняння з параметрами – це означає, що для кожного значення параметра а слід встановити, чи має рівняння розв’язки; якщо так, то знайти ці розв’язки, які зазвичай залежать від параметра а.

Рівняння виду можна вважати коротким записом рівнянь, які одержують з даного при різних конкретних значеннях параметра а. При розв’язанні намагаються виділити «особливі» значення параметра (їх називають контрольними), в яких або при переході через які відбувається якісна зміна рівняння.

Типи рівнянь з параметрами:

  • розв’язування рівняння для будь-якого значення параметра;

  • знаходження значень параметра, при яких рівняння має розв’язки;

  • знаходження значень параметра, при яких рівняння має вказану кількість розв’язків;

  • знаходження значень параметра, при яких розв’язки рівняння задовoльняють вказану умову.

Методи розв’язування:

  • аналітичний;

  • графічний;

  • розв’язування щодо параметра, тобто коли параметр є ще однією змінною.

Для використання цих методів потрібно добре знати властивості елементарних функцій, властивості рівнянь та нерівностей, зокрема властивості симетрії.

Крім цього потрібно добре знати умови, що забезпечують рівносильність перетворень, а також за потреби користуватися обмеженістю функцій.

Аналітичний метод – універсальний, але найбільш складний, і потребує високої математичної грамотності. При розв’язуванні рівнянь аналітичним способом можна сформулювати деякі загальні положення, дотримання яких дає певні орієнтири в процесі досліджень. А саме:

  1. встановлюють ОДЗ змінної, а також ОДЗ параметрів;

  2. виражають змінну через параметри;

  3. для кожного допустимого значення параметра знаходять множину всіх коренів даного рівняння. Якщо параметрів кілька, то множину коренів шукають, звичайно, для певного співвідношення між параметрами;

  4. досліджують особливі значення параметра, при яких корені рівняння існують, але не виражаються формулами, які отримали.

Графічний метод – виключно красивий і наочний, але не завжди доречний і потребує мистецтва роботи з графіками. Зауважимо, що графічними методами часто користуються тоді, коли потрібно знати не самі розв’язки, а встановити кількість розв’язків рівняння залежно від параметра а.

Наприклад, рівняння f(x) = g(x) має стільки розв’язків, скільки спільних точок мають графіки функцій y = f(x) і y = g(x).

Рівняння з параметром виду f(x) = a має стільки розв’язків, скільки разів горизонтальна пряма y=a (при зміні a пряма зміщується вздовж осі Oy) перетинає графік функції y = f(x) (див. рис.1.1).

Під час дослідження рівнянь виду

часто користуються методом перерізів, який полягає в наступному: функція визначає деяку фіксовану криву, співвідношення – цілу сім’ю кривих, в якій кожному допустимому значенню параметра а відповідає одна крива. Залежно від а криві сімейства можуть займати різні положення відносно кривої . Вивчаючи різні положення кривих відносно графіка функції , можемо визначити значення параметра а, яким вони відповідають, і таким чином дослідити питання розв’язання відповідного рівняння з параметром. У простіших випадках функція задається формулами:

1) – сімейство горизонтальних прямих;

2) сімейство прямих, що проходять через точку (крім вертикальної прямої );

3) – сімейство кутів, які отримують у результаті зсування графіка у = |х| уздовж осі Ох;

4) , де а0, сімейство парабол, вершини яких знаходяться у початку координат.

Розв’язувати рівняння з параметрами графічним способом зручно за таким алгоритмом:

  1. знаходимо область допустимих значень рівняння;

  2. виражаємо а як функцію від х;

  3. у прямокутній системі координат будуємо графік функції для тих значень х, які входять в область допустимих значень даного рівняння;

  4. знаходимо точки перетину прямої , де з графіком функції . Якщо пряма перетинає графік , то знаходимо абсциси точок перетину. Для цього досить розв’язати рівняння відносно х;

  5. записуємо відповідь.

При розв’язуванні рівнянь з параметрами область зміни параметрів може бути заданою. Якщо не вказані межі зміни параметрів, то вважається, що параметри набувають усіх своїх допустимих значень.

Складність такої задачі полягає в тому, що з одного боку, параметр а вважається фіксованим, а це дає можливість оперувати з ним як із числом, з іншого, – параметр вважається фіксованим, але довільним, тобто невідомим числом, що потребує проведення відповідних досліджень.

§2. Розв’язування лінійних рівнянь

та рівнянь, що зводяться до лінійних

Означення. Рівняння вигляду , де а і – деякі вирази, що залежать лише від параметрів, х – невідома змінна, називається лінійним рівнянням з параметрами.

Дослідимо його.

  1. Якщо , рівняння має єдиний розв’язок: .

  2. Якщо , рівняння набирає вигляду . Це рівняння задовольняє будь-яке дійсне значення х, а тому множиною розв’язків є множина всіх дійсних чисел R.

  3. Якщо , , рівняння має вигляд . Це рівняння не має розв’язків.

Розв’язати рівняння з параметрами означає з’ясувати, при яких значеннях параметрів рівняння має корені і знайти їх (як правило, залежно від параметрів, тобто розв’язування рівняння повинно супроводжуватись дослідженням).

Наприклад у рівнянні , х — змінна величина, яку треба знайти залежно від параметра а. Перетворивши це рівняння, дістанемо: . Отже, при ; при рівняння коренів не має.

Приклад 1

Розв’язати рівняння відносно х.

Розв’язання

Якщо поділити ліву і праву частини рівняння на 2, то отримаємо таку відповідь.

Відповідь: при .

Приклад 2

Розв’язати рівняння відносно х.

Розв’язання

На перший погляд здається можливим відразу дати відповідь: . Однак при дане рівняння не має розв’язків, і тому правильна відповідь виглядає так.

Відповідь: при немає розв’язків;

при .

Приклад 3

Розв’язати рівняння відносно х для всіх невід’ємних значень параметра а.

Відповідь: при немає розв’язків;

при .

Приклад 4

Розв’язати рівняння залежно від параметрів а і b.

Розв’язання

Виконавши у рівнянні тотожні перетворення, дістанемо: .

Якщо , то при будь-якому b;

якщо , то при рівняння набуває вигляду, тобто коренями рівняння є всі числа;

якщо і , дістанемо , причому , така рівність неможлива, тому рівняння коренів не має.

Відповідь: при і будь-якому b ;

при і корені рівняння – всі числа;

при і коренів немає.

Приклад 5

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Відповідь: при ;

при .

Приклад 6

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Відповідь: при ;

при ;

при .

Приклад 7

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Досить розглянути такі випадки.

  1. , тоді рівняння набуває вигляду: , це рівняння розв’язків не має.

  2. , тоді , тобто х – будь-яке число.

  3. , маємо: .

Відповідь: при х – будь-яке число;

при розв’язків немає;

при .

Приклад 8

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

  1. Якщо , то .

Розклавши чисельник і знаменник на множники, отримаємо:

; .

  1. Якщо , то дістанемо рівняння .

При воно набуває вигляду , для якого будь-яке дійсне число є розв’язком.

При дістанемо рівняння , яке не має коренів.

Відповідь: , якщо ;

х – будь-яке число, якщо ;

коренів немає, якщо .

Приклад 9

Розв’язати рівняння залежно від а.

Розв’язання

Запишемо рівняння у вигляді: . Добуток дорівнює нулю при або , тому розглянемо такі випадки:

  1. при рівняння набуває вигляду , яке немає коренів;

  2. при дістанемо рівняння , корені якого всі числа;

  3. при , тому .

Відповідь: при ;

при корені рівняння всі числа;

при коренів немає.

Приклад 10

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Запишемо це рівняння у вигляді: Винісши х за дужки та використавши формулу різниці квадратів, отримаємо:

Якщо , то

Якщо , то рівняння має безліч розв’язків. При з рівняння отримуємо рівність , що є неправильною, тобто рівняння розв’язків не має.

Відповідь: якщо , то ;

якщо , то рівняння має безліч розв’язків;

якщо , то рівняння розв’язків не має.

Приклад 11

При яких значеннях параметра а рівняння має безліч розв’язків.

Розв’язання

Спершу розглянемо ті значення параметра а, при яких коефіцієнт біля х дорівнює 0, тобто і .

При рівняння набуває вигляду . Це рівняння не має коренів.

При одержимо рівняння , коренем якого є будь-яке дійсне число.

При і одержимо , звідки . Отже, рівняння має безліч розв’язків при .

Відповідь: .

Приклад 12

При яких значеннях параметра а рівняння

не має розв’язків?

Розв’язання

Перетворимо рівняння, розкривши дужки і перегрупувавши доданки:

Це рівняння не має розв’язків за умови , тобто при

Відповідь:

Приклад 13

Визначити, при яких значеннях а рівняння буде мати розв’язки, які знаходяться на інтервалі від 1 до 2.

Розв’язання

Якщо рівняння розв’язків не має.

При маємо:

За умовою , тобто , звідси .

Відповідь: .

Приклад 14

При яких натуральних значеннях рівняння має парні корені.

Розв’язання

;

Отже, х – парне число, якщо дріб непарне число. Це можливо при =3.

Відповідь: =3.

Приклад 15

При якому значенні параметра в пряма проходить через точку А(-1;5)?

Розв’язання

Якщо пряма проходить через деяку точку, то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння прямої, тому підставимо координати точки А(-1;5) замість х і у в рівняння прямої. Отримаємо таку рівність відносно :

Звідси

Відповідь: при

Приклад 16

Розв’язати рівняння відносно х.

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне такій системі:

(1.1)

Перше рівняння в системі є лінійним, його можна переписати у вигляді:

або

  1. Якщо тобто , останнє рівняння має вигляд і тому розв’язків не має.

  2. Якщо ж , то рівняння має єдиний корінь

Для того, щоб розв’язати систему (1.1), врахуємо друге та третє обмеження в ній. Для цього вилучимо ті значення параметра а, при яких або

Згідно попереднього при і , рівняння набуває вигляду:

Отже, при система (1.1) не має коренів.

Аналогічно при, , якщо а є коренем рівняння.

, або

Звідки

Тому, остаточно, при , рівняння коренів не має, а при інших значеннях параметра а існує єдиний розв’язок .

Приклад 17

Розв’язати рівняння відносно х.

Розв’язання

Область допустимих значень невідомого і параметрів задовольняє обмеження На цій області допустимих значень одержимо рівняння, рівносильне даному:

Звідси

  1. Якщо , , то рівняння набирає вигляду . Це рівняння справджується для будь-яких значень х, що входять до області допустимих значень, тобто .

  2. Якщо , , то рівняння набирає вигляду і коренів немає.

  3. Якщо , то рівняння має єдиний розв’язок

Тепер перевіримо при яких значеннях параметрів a i b одержаний корінь належить області допустимих значень.

Виходячи з умови та , маємо то (при ). Звідси та .

Отже, якщо та , рівняння не має коренів, також, коли маємо , і будь-яке дійсне значення а. А при , , рівняння має єдиний корінь

Відповідь: при , , ;

при , , , ;

в усіх інших випадках (тобто , , або , , , або , ) розв’язків немає.

Приклад 18

Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння .

Розв’язання

Виконавши перетворення у правій частині, отримаємо: .

  1. При маємо , рівняння має безліч розв’язків.

  2. При маємо: .

Відповідь: при рівняння має безліч розв’язків;

при .

Приклад 19

Розв’язати рівняння , де а – параметр.

Розв’язання

Оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю, то не належить області допустимих значення параметра а.

Перетворимо рівняння: ; .

Для розглянемо два випадки.

  1. Коефіцієнт при х дорівнює нулю, тобто , ; ,. Тоді маємо рівняння: , що не має коренів.

  2. Коефіцієнт при х не дорівнює нулю, тобто ; . Тоді .

Відповідь: при коренів немає;

при , .

Приклад 20

Розв’язати рівняння

, де х – змінна, а – параметр.

Розв’язання

Після зведення дробів до спільного знаменника, отримаємо:

;

  1. Якщо , то , тобто при і ( тому що для цих значень параметра ми дістанемо «заборонені» значення змінної х).

.

  1. Якщо , то , тобто х – будь-яке число, крім 2 і –2.

Відповідь: , якщо , , ;

, якщо ;

коренів немає, якщо або .

Зауваження

Істотним етапом розв’язування задач з параметрами є запис відповіді. Це здобуті під час розв’язання результати, зібрані воєдино. Дуже важливо тут відобразити у відповіді всі етапи розв’язання.

Записавши відповідь, обов’язково треба перевірити, чи всі можливі значення параметрів враховано!

Приклад 21

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

  1. При рівняння не має розв’язків.

  2. При дістанемо рівняння:

, звідки .

Вочевидь, що це рівняння має розв’язок

, якщо та не має розв’язків, якщо .

Відповідь: , якщо , ;

коренів немає, якщо , .

Приклад 22

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Домноживши обидві частини рівняння на , дістанемо рівняння-наслідок:

; ; .

Потрібно встановити, для яких значень а корінь буде розв’язком вихідного рівняння. Для цього достатньо розв’язати нерівність , звідси . Отже, при рівняння має один корінь ; при рівняння розв’язків не має.

Відповідь: , якщо ;

немає коренів, якщо .

Приклад 22

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Знайдемо область визначення даного рівняння: .

Зведемо обидві частини до спільного знаменника. Із врахуванням умови можна спільний знаменник відкинути. Маємо:

Останній запис ще не є відповіддю. Переведемо заборону на певне значення х перевести у заборону на певні значення параметру.

при . Тоді:

Відповідь: при ;

при .

Вправи для самостійного розв’язування

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має нескінченну множину розв’язків.

Вибрати правильну відповідь:

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має хоча б один розв’язок, що не дорівнює одиниці?

Вибрати правильну відповідь:

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

не має розв’язків?

Вибрати правильну відповідь:

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має нульовий розв’язок?

Вибрати правильну відповідь:

  1. При яких значеннях параметра р рівняння

має нескінченну множину розв’язків?

Вибрати правильну відповідь:

  1. Розв’язати рівняння відносно х:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. .

  1. При якому значенні параметра а рівняння :

а) має нескінченно багато розв’язків;

б) не має розв’язків?

  1. При яких значеннях параметра а корені рівняння кратні 5?

  1. При яких значеннях параметра а рівняння має корінь, більший ніж 1?

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має від’ємний корінь?

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має додатний розв’язок?

  1. При яких значеннях параметра а корені рівняння

більші за а?

  1. Розв’язати рівняння .

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має єдиний додатний корінь?

  1. Розв’язати рівняння

.

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має додатні розв’язки?

  1. Розв’язати рівняння

.

§3. Розв’язування квадратних рівнянь

та рівнянь, що зводяться до квадратних

Означення. Рівняння вигляду , де х – невідома змінна, , , – вирази, що залежать тільки від параметрів і , називається квадратним рівнянням з параметрами.

Допустимими будемо вважати тільки ті значення параметрів, при яких а, b і с – дійсні числа. У зв’язку з необхідністю виконання умови в квадратних рівняннях доводиться розбивати розв’язування на декілька етапів вже на першому кроці.

Під час розв’язування квадратних рівнянь з параметрами часто користуються властивостями квадратичної функції та теоремою Вієта. Нагадаємо основні з них.

Графіки квадратичної функції () залежно від знаків старшого коефіцієнта а та дискримінанта подано на рис. 3.1.

Рис. 3.1

Якщо а>0, то вітки параболи, яка є графіком квадратичної функції , напрямлені вгору. В цьому випадку функція спадає на проміжку і зростає на проміжку .

Якщо а<0, то вітки параболи напрямлені вниз; на проміжку функція зростає, а на проміжку спадає.

Вертикальна пряма вісь симетрії параболи.

Точка де , вершина параболи.

Якщо с = 0, то парабола проходить через початок координат.

Пригадаємо, що у квадратному рівнянні знак дискримінанта визначає кількість коренів:

  • при D>0 рівняння має два дійсних корені: ;

  • при D=0 рівняння має один дійсний корінь: ;

  • при D<0 рівняння не має дійсних коренів: x∈Ø.

У квадратних рівняннях з параметрами «контрольними» є значення параметра, яке дає нульовий старший коефіцієнт (при ), та нульовий дискримінант (від нього залежить кількість коренів).

Приклад 1

Знайти значення параметра a, при якому рівняння має тільки один корінь.

Розв’язання

Знайдемо «контрольні» значення параметра a, при якому коефіцієнт при стане рівним нулю: .

Розв’яжемо рівняння при . Рівняння стане лінійним і матиме один корінь:

.

Якщо , то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:

Дискримінант рівний нулеві за іншого «контрольного» значення параметра .

Саме коли D=0 рівняння теж має один корінь.

Приклад 2

Розв’язати рівняння: відносно х.

Розв’язання

Розв’язання почнемо з випадку . Тоді рівняння перетвориться на лінійне: .

Якщо , то знайдемо дискримінант і проаналізуємо його значення:

при ;

при ;

при .

Тоді

Відповідь: при ;

при ;

при ;

при .

Приклад 3

Розв’язати рівняння: відносно х.

Розв’язання

В дане рівняння входить тільки один параметр а. Якщо цей параметр а=0, то одержимо лінійне рівняння , яке має лише один корінь,

При рівняння є квадратним. Отже, якщо воно є квадратним, то знаходимо його дискримінант

Якщо тобто 4–3а0, звідси , то рівняння має два корені:

Якщо D<0, тобто то рівняння коренів не має.

Відповідь: при а=0, х=

при ,

при

при дійсних коренів немає.

Приклад 4

Розв’язати рівняння: відносно х.

Розв’язання

  1. При маємо:

  1. При :

;

Тоді

Відповідь: при ;

при ;

при .

Начебто просто, і алгоритм розв’язання квадратного рівняння з параметром прозорий:

  1. Коефіцієнт перед дорівнює нулю – розв’язуємо лінійне рівняння.

  2. Коефіцієнт перед не дорівнює нулю – аналізуємо значення дискримінанту.

Якщо квадратне рівняння містить параметр у знаменнику, то у відповіді з’являється твердження відсутності розв’язків при умові нульового значення виразів з параметрами, які є знаменниками.

Приклад 5

Розв’язати рівняння

Розв’язання

Область визначення : .

Тоді ,

Тому утворюється така сукупність систем:

Відповідь: при ;

при .

Після врахування області визначення рівняння, воно зводиться до вигляду, зручному для подальшої роботи, і розв’язується вже звичне для нас квадратне рівняння. Але після цього відповідь писати ще зарано, бо область визначення містить умови, до яких входить невідоме. Потрібно заборону на певні значення невідомого перенести на заборону певних значень параметрів.

Приклад 6

Розв’язати рівняння

Розв’язання

Як бачимо,

Тоді

Обчислимо дискримінант та знайдемо корені утвореного рівняння:

,

при ; при .

Якщо , то .

Тому маємо таку сукупність:

Відповідь: при ;

при ;

при .

Зауважимо, що якщо при певному значенні параметра один з коренів випадає з області визначення, то це не означає, що розв’язків в цьому випадку немає. Потрібно з’ясувати, належить чи не належить другий корінь при цьому значенні параметра області визначення.

Приклад 7

Розв’язати рівняння

Розв’язання

Область визначення невідомого та параметрів, що входять до рівняння до рівняння, задовольняють обмеження , .

Позначимо Тоді

Скористаємося властивістю взаємно обернених величин:

При цьому рівність виконується лише у випадку, коли

Отже, і

Тоді

Відповідь: при ;

при .

Приклад 8

Розв’язати рівняння

Розв’язання

Область визначення невідомого та параметрів, що входять до рівняння до рівняння, задовольняють обмеження , , , .

Тоді зведемо обидві частини рівняння до спільного знаменника і одержимо:

або .

Тепер розглянемо випадки:

1) Якщо , то дістанемо 2х=0, звідси х=0 – корінь рівняння;

2) Якщо , то розв’язуємо квадратне рівняння, позначивши , .

Рівняння набирає вигляду причому

Знайдемо дискримінант:

.

Оскільки завжди, то рівняння має корені при всіх допустимих m та n.

Повертаючись до підстановки, дістанемо:

Перевіримо, при яких значеннях a і b здобуті корені задовольняють рівняння.

Здобуті значення та тоді будуть коренями даного рівняння, коли справджуються такі залежності:

, , , .

Оскільки a0, b0, то ;

.

Тому є коренем рівняння для будь-яких a і b, що задовольняють умову , a0, b0.

Аналогічно

Оскільки та , то .

Отже, якщо , то х=0,

якщо , , , то ,

Відповідь: при або рівняння не має змісту;

при і і х=0;

при , , , , ,

при , , , , .

А тепер розглянемо завдання на співвідношення між коренями квадратного рівняння з параметром. Їх зручно розв’язувати, не виписуючи значення коренів рівняння через дискримінант, а використовуючи теорему Вієта.

Потрібно пам’ятати, що теорема Вієта «працює» лише у випадку, коли корені квадратного рівняння дійсно існують, тобто коли дискримінант невід’ємний.

Приклад 9

При якому значенні параметра а один з коренів рівняння

в два рази більший за другий?

Розв’язання

За теоремою Вієта маємо:

,

при умові .

Позначимо менший з коренів через t, тоді

і .

Відповідь:

Приклад 10

При якому значенні параметра k сума коренів рівняння

дорівнює нулю?

Розв’язання

Нехай та – корені даного рівняння. Тоді за теоремою Вієта виконується

,

при умові, що

.

Тобто розв’язками задачі є множина значень k :

.

Відповідь:

Приклад 11

При якому значенні параметра m сума квадратів коренів рівняння

найменша?

Розв’язання

При умові

за теоремою Вієта маємо:

Тоді

приймає найменше значення при .

При корені існують, бо .

Відповідь:

Приклад 12

При якому значенні параметра а корені рівняння

мають однаковий знак?

Розв’язання

За теоремою Вієта, враховуючи умову існування коренів, маємо:

.

Відповідь: .

Приклад 13

При яких значеннях параметра а коренями рівняння

є цілі числа?

Розв’язання

При вихідне рівняння стає лінійним: , корінь якого є цілим числом.

Нехай , а та – корені цього рівняння. За теоремою Вієта, маємо систему:

Оскільки за умовою і – цілі числа, то також ціле число, тобто або де Тоді Добуток цілих чисел є числом цілим. Тому ціле число, що можливо тільки тоді, коли також буде цілим числом, тобто якщо

Тоді

Отже, визначили ті значення а, при яких корені цього рівняння можуть бути цілими числами. Підставляючи послідовно у вихідне рівняння отримані значення а, дістанемо, що вихідне рівняння має цілі корені при

Відповідь:

Приклад 14

При яких значеннях параметра а обидва корені рівняння додатні?

Розв’язання

Нехай х1 та х2 – додатні корені рівняння. Тоді їх сума і добуток – додатні числа. Скориставшись теоремою Вієта, розв’яже система систему нерівностей

звідси дістанемо

Відповідь: (2;3).

Приклад 15

Розв’язати рівняння .

Розв'язання

Знайдемо «контрольні» значення параметра a, за яких коефіцієнт при стане рівним нулеві: .

Розв’яжемо рівняння при :

Ø.

Розв’яжемо рівняння при :

.

Тепер розглянемо випадок, коли – рівняння є квадратним.

Обчислимо дискримінант:

Отже, .

Знаходимо «контрольну» точку з умови :

.

Але вже накладена умова , тому .

Дискримінант може бути лише більшим або меншим від нуля (пам’ятаємо при цьому, що ):

  • , і рівняння має два дійсних корені:

;

  • , і рівняння дійсних коренів не має: .

У відповіді об’єднаємо це з випадком , де теж .

Приклад 16

Розв’язати рівняння: .

Розв’язання

  1. Якщо тобто , то задане рівняння буде мати вигляд:, тобто .

  2. Якщо (), то одержимо квадратне рівняння, дискримінант якого . Тому розглянемо три випадки:

а) якщо D=0, тобто , то i ;

б) якщо D<0, тобто ˂0 (<), то коренів немає;

в) якщо D>0: >0; ˃ і , тобто << і >, то квадратне рівняння має два різні корені:

;

Відповідь: якщо , то ;

якщо і ≥, то .

Можна виділити цілий клас задач, де за рахунок параметра на змінну накладають деякі штучні обмеження. Для таких задач характерними є такі умови: при якому значення параметра рівняння має один розв’язок, два розв’язки, безліч розв’язків, жодного розв’язку.

Звернемося до конкретних прикладів.

Приклад 17

При яких значень параметра а рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язання

Оскільки в умові не сказано, що рівняння є квадратним, то спочатку розглянемо випадок, коли , тобто рівняння має один розв’язок

.

Решту значень а отримаємо з умови D=0:

,; і .

Відповідь: при .

Приклад 18

Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння

має два різні корені.

Розв’язання

Оскільки за умовою задане рівняння має два різних корені, то воно є квадратним, отже, .

Знайдемо дискримінант: .

Щоб рівняння мало два різні корені, дискримінант повинен бути додатним, тобто >0, < ().

Тоді: , .

Відповідь: при .

Приклад 19

При якому значенні параметра а один з коренів рівняння

вдвічі більший від іншого?

Розв’язання

За теоремою Вієта та умовою задачі отримуємо систему рівнянь:

Підставляючи значення з третього рівняння в перше та друге, одержимо:

Отже, ; ; ; ; .

Відповідь: при .

Приклад 20

Відомо, що , де х1 і х2 – корені рівняння .

Визначити а.

Розв’язання

Оскільки , а за теоремою Вієта ; , то .

Отже,

Відповідь: .

Приклад 21

Визначити кількість цілих значень параметра а, при яких квадратне рівняння не має дійсних коренів.

Розв’язання

Рівняння не має дійсних коренів, якщо D<0. Тому <0; <0; <0; (0;16).

Цілі значення: 1; 2; 3; 4; 5; …; 15.

Відповідь: 15.

Приклад 22

Визначити числове значення параметра , при якому сума квадратів коренів рівняння буде найменшою.

Розв’язання

За теоремою Вієта ; .

Крім того, .

Отриманий вираз набуває найменшого значення 3 при =1.

Відповідь: при .

Розміщення коренів квадратного тричлена відносно заданих точок.

Сформулюємо теореми про розміщення коренів квадратного тричлена (a0) на числовій прямій (х=р – корінь квадратного тричлена f(х), якщо f(р)=0).

Теорема 1. Обидва корені квадратного тричлена більші за число (рис.3.2) тоді і тільки тоді, коли виконуються системи нерівностей:

або

Наведена сукупність двох систем рівносильна одній системі:

Теорема 2. Обидва корені квадратного тричлена менші за число (рис.3.3) тоді і тільки тоді, коли справедлива система:

Наслідок. Корені квадратного тричлена мають однакові знаки тоді і тільки тоді, коли

При цьому корені додатні, якщо ab<0, і від’ємні, якщо ab>0.

Теорема 3. Корені квадратного тричлена належать проміжку () (рис.3.4) тоді і тільки тоді, коли

Рис. 1.2 Рис. 1.3

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Рис. 3.4 Рис. 3.5

Теорема 4. Число знаходиться між коренями квадратного тричлена (рис.3.5) тоді і тільки тоді, коли

або

Тобто при виконанні нерівності

Наслідок. Корені квадратного тричлена мають різні знаки тоді і тільки тоді, коли ac < 0.

Теорема 5. Тільки більший корінь квадратного тричлена належить проміжку () (рис.3.6) тоді і тільки тоді, коли

Теорема 6. Тільки менший корінь квадратного тричлена належить проміжку () (рис.3.7) тоді і тільки тоді, коли

Теорема 7. Відрізок [] знаходиться всередині проміжку між коренями квадратного тричлена (рис. 3.8) тоді і тільки тоді, коли

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Рис. 3.8

Зазначимо, що в теоремах 4–7 немає умови, оскільки вона виконується автоматично.

Зауваження. 1.Перш ніж користуватися теоремами 1–3, доцільно спочатку знайти дискримінант D. Якщо він є повним квадратом, то знаходимо корені рівняння.

У цьому випадку задача на розміщення коренів значно спрощується.

2. Немає потреби запам’ятовувати формулювання всіх наведених вище теорем (до того ж вони не описують усіх можливих випадків, пов’язаних із розміщенням коренів квадратного рівняння). Основне – зрозуміти механізм їх виникнення. Тоді не виникатимуть труднощі під час розв’язання подібних задач.

Приклад 23

При яких значеннях параметра а обидва корені рівняння менші ніж –2?

Розв’язання

Введемо функцію f(x) = і розв’яжемо за теоремою 2 систему нерівностей:

Звідси дістанемо

Відповідь:

Приклад 24

При яких значеннях параметра а менший корінь рівняння

належить інтервалу (4; 1), а більший – інтервалу (0; 2)?

Розв’язання

Нехай f(x)=. Оскільки то вітки параболи f(x) напрямлені вгору. Умова задачі виконується тоді і тільки, коли парабола f(x) розміщена так, як зображено на рис. 3.9. Розглядуваному випадку відповідають нерівності: тобто виконується система нерівностей:

Рис. 3.9

або

розв’язок якої .

Відповідь: .

Приклад 25

При яких значеннях параметра а корені рівняння більші за 1?

Розв’язання

Задачу можна розв’язати, скориставшись теоремою 1. Покажемо, як можна розв’язати її, використовуючи дещо інші міркування.

Нехай х1, х2 – корені цього рівняння. Нерівності х1 > 1 і х2 > 1 справджуються тоді і тільки тоді, коли виконується система нерівностей:

Якщо х1 >1 і х2 >1, то, очевидно, справджуються всі нерівності системи.

Навпаки, нехай справджуються всі нерівності цієї системи.

Доведемо, що х1 >1, х2>1.

Із нерівності випливає, що х1 і х2 – дійсні числа. З нерівності дістанемо: , , або , . Проте нерівності і суперечать нерівності Тому і .

Подамо систему у вигляді:

Звідси, застосовуючи теорему Вієта, отримаємо:

Розглянемо особливий випадок, коли а = –1. Тоді 3х – 4 = 0, його корінь задовольняє умову задачі.

Відповідь:

Вправи для самостійного розв’язування

  1. Розв’язати рівняння:

  1. ;

  2. ;

  3. .

  1. Визначити значення параметра а, при якому рівняння має безліч розв’язків:

.

  1. Визначити значення параметра , при якому рівняння не має розв’язків:

.

  1. При яких цілих значеннях параметра рівняння

має цілі корені?

  1. Розв’язати рівняння: .

  1. Знайти всі значення параметра , при яких квадратне рівняння

має два різних корені.

  1. Знайти всі значення параметра а, при яких сума квадратів коренів рівняння

дорівнює 9.

  1. Розв’язати рівняння при всіх допустимих значеннях параметра:

.

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має два дійсних різних корені?

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має єдиний розв’язок?

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має два різних від’ємних корені?

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має два різних дійсних від’ємних корені?

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має корені різних знаків?

  1. Визначити значення параметра а, при якому добуток коренів рівняння

дорівнює 8.

  1. Розв’язати рівняння: .

  1. Знайти всі значення а, при яких один з коренів рівняння

менший від 1, а другий – більший від 1.

§4. Рівняння, що містять змінну

й параметр під знаком модуля

Означення.

Означення. Абсолютною величиною, або модулем, числа а (позначають |а|) називають саме число а, якщо >0, число –, якщо <0, і нуль, якщо = 0, тобто

Основні методи розв’язування:

  • алгебраїчний;

  • геометричний.

Приклад 1.

При яких значеннях параметра а рівняння не має коренів?

Розв’язання

Спосіб 1 (аналітичний)

Поставимо більш загальне завдання. Для кожного значення параметра а розв’яжемо дане рівняння, після чого відберемо ті значення параметра, при яких рівняння не має розв’язків.

Користуючись означенням модуля, маємо, що вихідне рівняння рівносильне сукупності двох систем:

або

тобто

або

Перша система має один розв’язок при , тобто при .

Друга система має один розв’язок , якщо , тобто .

Об’єднуючи розв’язки систем, маємо: дане рівняння один розв’язок при ; два розв’язки і при .

Аналізуючи здобутий результат, визначаємо значення параметра а, при яких рівняння не має розв’язків.

Спосіб 2 (графічний)

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій та (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Вочевидь, що графіки функцій не будуть мати спільних точок, якщо .

Приклад 2

Розв’язати рівняння: .

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне сукупності систем:

і

а) , б) ,

, ,

; .

Розглянемо нерівність .

а) , б) ,

, ,

, ,

; .

Якщо , то .

Відповідь: , якщо ;

, якщо .

Приклад 3

Розв’язати рівняння: .

Розв’язання

Оскільки обидві частини рівняння невід’ємні, то піднесемо їх до квадрату. Одержимо:

,

,

,

,

,

,

або .

Відповідь: 0; 2.

Приклад 4

Визначити кількість коренів рівняння

залежно від параметра а.

Розв’язання

Побудувавши графіки функцій та та провівши дослідження за допомогою графіків, отримаємо відповідь.

Відповідь: якщо , то рівняння немає коренів;

якщо =0, то рівняння має два корені;

якщо є ( 0;1), то рівняння має чотири корені;

якщо =1, то рівняння має три корені;

якщо , то рівняння має два корені.

Приклад 5

Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання

Запишемо рівняння у вигляді:

.

Оскільки ; ; ,

тому .

Отже, рівняння перетворюється на тотожність при умові, що виконується система нерівностей:

або

Якщо =0, то система розв’язків не має.

Нехай . Порівнявши між собою числа 2; і та врахувавши, що розв’язок нерівності залежить від знака а, дістанемо такі розв’язки рівняння:

а) , якщо ;

б) , якщо ;

в) , якщо ;

г) , якщо 0<<1;

д) , якщо .

Приклад 6

Скільки розв’язків має рівняння

залежно від параметра а?

Розв’язання

Запишемо ліву частину рівняння у вигляді:

і побудуємо її графік.

Пряма і графік функції мають:

а) одну спільну точку, якщо або ;

б) дві спільні точки, якщо ;

в) не мають спільних точок, якщо а є.

Відповідь: , якщо ;

один корінь, якщо або ;

два корені, якщо (0; 4).

Вправи для самостійного розв’язування

  1. Розв’язати рівняння:

  1. ;

  2. .

  1. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння

має безліч розв’язків.

  1. Скільки розв’язків залежно від параметра а має рівняння

?

  1. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння

має два різних додатних корені.

  1. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння

має рівно три корені на проміжку .

  1. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння

має єдиний розв’язок.

  1. Для кожного значення параметра а знайти кількість розв’язків рівняння

.

  1. Для кожного невід’ємного значення параметра а знайти кількість розв’язків рівняння

.

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має єдиний розв’язок?

§5. Розв’язування задач з параметрами

графічним методом

Специфіка задач із параметрами полягає в тому, що вони охоплюють усі теми алгебри, тому є унікальним засобом для систематизації й узагальнення навчальних досягнень учнів. Високий рівень абстрагування та алгоритмізації, що містять задачі з параметрами, розвиває навички застосування евристичних, дослідницьких прийомів роботи, вміння встановлювати причинно-наслідкові зв’язки, культуру мислення, ініціативу, творчість, а також забезпечити інтелектуальний розвиток особистості.

Суть графічного методу полягає в тому, що задачу зводять до з’ясування взаємного розташування графіків рівнянь що містять параметри по відношенню до графіків рівнянь які у своєму складі не містять параметрів.

Найчастіше графічно розв’язують ті задачі, де потрібно знайти кількість розв’язків, коли в задачі є «впізнавана функція», в задачах з модулями.

До того ж в деяких випадках аналітичний метод розв’язування «тягне за собою» таку кількість систем і сукупностей, що в них дуже легко заплутатись. І тоді на допомогу приходить графіка.

Щоб розв’язувати графічно задачі з параметрами необхідно вміти будувати і перетворювати графіки функцій та залежностей. В цьому розділі – відомості про графіки функцій і залежностей, які найчастіше зустрічаються.

  1. Пряма

kзмінна

b - const

пряма «обертається» навколо точки (0; b)

(рівняння прямої з полюсом)

bзмінна

k - const

y=kx рухається вздовж осей координат

y=k1 x+b1

y=k2 x+b2

k1 = k2

прямі паралельні

k1 k2 = - 1

прямі перпендикулярні

  1. Коло

а змінна

b – const

R - const

коло «рухається» вздовж осі Ох

b змінна

a - const

R - const

коло «рухається» вздовж осі Оу

aconst

b – const

R - змінна

«сім’я» концентричних кіл з центром в точці (а;b)

Коло і пряма: перетинаються (2 спільні точки), дотикаються (1 спільна точка), не перетинаються (не мають спільних точок).

  1. Модуль.

Графік функції виду у = |х - а| + |х - b|, «дно»: у = |а - b|

Графік залежності виду |х| + |у|= т – квадрат

|х - а| + |х - b|= т

aзмінна

b – const

т - const

квадрат «рухається» вздовж осі Ох

bзмінна

a - const

т - const

квадрат «рухається» вздовж осі Оу

aconst

b – const

т - змінна

«сім’я» концентричних квадратів з центром в точці (а; b)

  1. Квадратична функція

Про графік квадратичної функції написано багато у §3. Тож дослідимо ще деякі випадки непрямого використання квадратичної функції на прикладах.

    1. Побудувати графік функції .

Графіком даної функції є півколо з центром в (0;0), радіусом 3 ().

    1. Побудувати графік функції .

Область визначення: , тобто

– асимптоти

    1. Побудувати графік функції .

Область визначення: , тобто

– асимптоти

Наведемо кілька прикладів розв’язування задач графічним способом.

Приклад 1

Знайти всі значення параметра а при якому рівняння має менше 4 коренів

Розв’язання

Запишемо рівняння у вигляді:

Нехай ,

Схематично зобразимо графіки функцій f(x) та g(x).

Графік функції g(x)= пряма, паралельна осі Ох. Розв’язки рівняння – абсциси точок перетину графіків функцій. Пряма не перетне графік f(x), якщо а<0 і якщо а>9, то пряма матиме з графіком менше чотирьох точок перетину (а саме дві). Тобто, рівняння має менше 4 коренів коли .

Відповідь: .

Приклад 2

Знайти всі значення параметра а, при яких найменше значення функції f(x) дорівнює найбільшому значенню функції g(x), якщо

, .

Розв’язання

Графік функції g(x) – парабола, вітки вниз, найбільшого значення досягає в вершині: ; .

.

Побудуємо графік

.

Найменше значення .

Значить .

Відповідь:

Приклад 3

Розв’язати рівняння для всіх дійсних значень параметра а:

.

Розв’язання

Розглянемо дві функції і .

Схематично зобразимо графік f(x). Для цього знайдемо нулі модулів і знаки модулів на проміжках.

Для або , .

Для і , .

Для , .

Відповідь: якщо<-5 або >5, то рівняння розв’язків не має;

якщо , то ;

якщо , то ;

якщо то .

Приклад 4

Розв’язати рівняння для всіх дійсних значень параметра а

.

Розв’язання

Розглянемо дві функції і .

Побудуємо графік f(x). Це півколо з радіусом для .

Графіком є пряма.

  1. Пряма дотикається до півкола.

З прямокутного трикутника ОАВ: , тобто .

  1. Пряма не перетинає півколо, коли .

  1. Пряма перетинає півколо в двох точках (розв’язках рівняння

, якщо , тобто:

,

,

,

.

  1. Пряма перетинає півколо в одній точці.

Це більший з двох розв’язків даного рівняння .

Відповідь: якщо , то ;

якщо , то ;

якщо , то

якщо , то .

Приклад 5

Розв’язати рівняння для всіх дійсних значень параметра а

.

Розв’язання

Розглянемо дві функції і .

Побудуємо графік функції за допомогою геометричних перетворень:

.

Графік – горизонтальна пряма, що рухається вгору-вниз по осі Оу.

От і все, можемо писати відповідь.

Відповідь: якщо , то ;

якщо , 2 розв’язки: , ;

якщо , 4 розв’язки: , ;

якщо , 3 розв’язки , , ;

якщо , 2 розв’язки , .

Приклад 6

Знайти всі значення параметра, при якому система має один розв’язок

Розв’язання

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Графік першого рівняння – дві паралельні прямі: і . Графік другого рівняння – кут, що рухається вгору-вниз по осі Оу.

Кутові коефіцієнти прямих і лівої сторони кута однакові і дорівнюють –1.

Очевидно, що система має один розв’язок при

Відповідь: .

Приклад 7

Знайти всі значення параметра, при якому система має безліч розв’язків

Розв’язання

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Графік першого рівняння – дві паралельні прямі: і . Графік другого рівняння – кут, що рухається вгору-вниз по осі Оу.

Кутові коефіцієнти прямих і правої сторони кута однакові і дорівнюють одиниці.

Очевидно, що система має безліч розв’язків при .

Відповідь: –2; 2.

Приклад 8

Знайти всі значення параметра при якому система має рівно два розв’язки

Розв’язання

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Для побудови графіка першого рівняння розкриваємо модуль. Графік другого рівняння – квадрат, що рухається вздовж Ох.

Якщо а ≥ 1, то система завжди має 2 розв’язки.

Ще один випадок двох розв’язків матимемо, при .

В інших випадках система не має розв’язків, або їх кількість не дорівнює двом.

Відповідь: .

Приклад 9

Знайдіть усі від’ємні значення параметра а при яких система рівнянь має єдиний розв’язок. Якщо таке значення одне, то запишіть його у відповідь. Якщо їх кілька – то у відповідь запишіть їхню суму.

Розв’язання

Після очевидних перетворень система набере вигляду:

Рівняння запишемо в вигляді

або

Графічним зображенням цієї сукупності є ромбоїд.

Графічним зображенням сукупності є «сім’я прямих» з кутовим коефіцієнтом 5 і –5.

Оскільки , то прямі проходять через точку (–5;2).

Отже, або

.

Відповідь: –25.

Приклад 10

Скільки розв’язків має система в залежності від параметра а?

Розв’язання

Виконаємо перетворення і запишемо систему в вигляді:

Побудуємо графік першого рівняння і схематично зобразимо графік другого.

це графік , який рухається вгору-вниз по осі Ох. Очевидно, що при графіки перетинаються в одній точці, а при – графіки не перетинатимуться.

Відповідь: якщо , система має 1 розв’язок;

якщо , система розв’язків не має.

Вправи для самостійного розв’язування

  1. Знайти значення а, при яких система має єдиний розв’язок.

  1. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а?

  1. При яких значеннях параметра а система

має три розв’язки?

  1. Визначити кількість коренів рівняння залежно від значення параметра а.

  1. Визначити кількість розв’язків системи

залежно від значення параметра а.

  1. Визначити кількість коренів рівняння залежно від значення параметра а.

  1. При яких додатних значеннях параметра а система

не має розв’язків?

  1. При яких додатних значеннях параметра а система

має єдиний розв’язок?

ВІДПОВІДІ ДО ВПРАВ

ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

§2. Розв’язування лінійних рівнянь та рівнянь, що зводяться до лінійних

  1. 1) , якщо ;

розв’язків немає, якщо , ;

х – довільне дійсне число, якщо .

2) , якщо ;

розв’язків немає, якщо .

  1. Якщо , , ;

розв’язків немає, якщо , , .

  1. , якщо ;

розв’язків немає, якщо .

  1. при довільних а та b.

  2. , якщо , ;

, якщо , .

  1. , якщо ;

розв’язків немає, якщо , .

  1. а) При ; б) при .

  2. При , , , .

  3. При .

  4. При .

  5. При .

  6. При .

  7. , якщо ; , якщо .

  8. , .

  9. Розв’язків немає, якщо ;

, якщо .

  1. При .

  2. Рівняння не має коренів, якщо , , , ;

, якщо , , , .

§3. Розв’язування квадратних рівнянь та рівнянь, що зводяться до квадратних

  1. 1) , якщо ;

коренів немає, якщо ;

, якщо ;

, якщо .

2) , , якщо ;

при ;

коренів немає при .

3) , , якщо ;

коренів немає при .

  1. .

  2. .

  3. , .

  4. Якщо або , то ;

якщо і , то .

  1. При .

  2. При , .

  3. При .

  4. При .

  5. При .

  6. При .

  1. і при ;

при ;

при ;

рівняння не має змісту при .

§4. Рівняння, що містять змінну й параметр під знаком модуля

  1. 1) при ; розв’язків немає, якщо .

2)при ; розв’язків немає, якщо .

2. , .

3. Немає розв’язків при ;

безліч розв’язків при ;

два розв’язки, якщо .

4. При .

7. Немає розв’язків, якщо ;

два розв’язки, якщо;

три розв’язки при ;

чотири розв’язки при .

  1. Немає розв’язків, якщо ;

два розв’язки при ;

чотири розв’язки якщо .

§5. Розв’язування задач з параметрами графічним методом

  1. Немає розв’язків, якщо ;

два розв’язки, якщо;

три розв’язки при ;

чотири розв’язки при ;

шість розв’язків при .

  1. .

  2. Немає розв’язків, якщо ;

два розв’язки, якщо;

три розв’язки при ;

чотири розв’язки при .

  1. Один розв’язок при ;

розв’язків немає, якщо.

  1. Немає розв’язків, якщо ;

два розв’язки, якщо;

три розв’язки при ;

чотири розв’язки при .

  1. .

ОС-1

ОС-2

ОС-3

ОС-4

ОС-5

ОС-6

ОС-7

ОС-8

ЛІТЕРАТУРА

  1. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. Перші зустрічі з параметром. - К.: Факт, 2006. – 324с.

  2. Балан В. Г., Лавренюк В. І., Шарова Л.І. Квадратний тричлен з коефіцієнтоми залежними від параметра. –К. : 1996. –107с.

  3. Горделадзе Ш. Г. ,Кухарчук М.М, Яремчук Ф. П. Збірник конкурсних задач з математики.-К.: 1998. –127с.

  4. Горнштейн, Полонський В. Б., Якір М. С. ЗАДАЧІ З ПАРАМЕТРОМ . – Тернопіль «Підручники і посібники». 2004 –336с.

  5. Доманська І.П., Зеліско Г.В., Стахів Л.Л. Рівняння з параметрами: Методичні рекомендації.- Львів: Видавн. центр ЛДУ ім. І. Франка, 2005.

  6. Дорофєєв Г. В. квадратний тричлен в задачах . – Львів, 1991 – 22с.

  7. Истер А. С Решебник основних конкурсних задач по математике. За редак. Сканави М. И. –К.: А. С. К., 2002. –347с.

  8. Ковальчук В. Ф., Корнієць С. Д., Лавренюк В. І., Мартиненко В.С., Шарава Л. І. Математика. За редакцією Лавренюка В. І. – К. : МСП «Козаки», 1996 – 59с.

  9. Кушнир И.А. Шедеври школьной математики. т.1, т.2. –К.: «Астарта», 1995.–510с.

  10. Лавренюк В. І.,Ломоносов Л. М., Шарова Л. І. Дослідження квадратного тричлена з коефіцієнтами,залежними від параметра.-К. : КДУ ,1989.-21с.

  11. Майборода І. М., Мельник В. Л.,Філон Л.Г., Шидловська Л. М. Математика. Посібник для вступників у вузи. Чернігів. 2001, - 179с.

  12. А.Г Мерзляк, В.Б Полонський, Ю.М Робінович, М.С. Якір. Збірник задач і контрольних робіт з алгебри для 9 класу. Харків. „Гімназія”. 2009.

  13. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Профільний рівень. – Х. : Гімназія, 2010. – 416с.

  14. Сержук С.В. Рівняння з параметрами // Математика в школах України, № 17-18, 2004.

  15. Цегелик Г.Г. Збірник типових конкурсних тестових завданьз математики: Навчальний посібник.-Львів: Видавн. центр ЛДУ ім. І. Франка, 2005.–140с.

  16. Ясінський В.В. Математика. Навчальний посібник для слухачів ІДП НТУУ «КПІ».-К.: ІДП НТУУ «КПІ», 2014. – 472с.

ЗМІСТ

Передмова ………………………………………………………….………….. 3

§1. Рівняння, що містять параметри ………………………………………… 5

§2. Розв’язування лінійних рівнянь та рівнянь, що зводяться до лінійних ... 9

§3. Розв’язування квадратних рівнянь та рівнянь, що зводяться до квадратних ……………………………………………………………………. 27

§4. Рівняння, що містять змінну й параметр під знаком модуля ………… 53

§5. Розв’язування задач з параметрами графічним методом …………….. 61

Відповіді до вправ для самостійного розв’язування ………………………. 76

Опорні схеми ………………………………………………………………….. 80

Список літератури …………………………………………………………..... 88

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу.