Поняття інтерполювання функції

Опис документу:
У цьому документі йде мова про поняття інтерполювання функції: поліном Лагранжа, ньютона (1-ша та 2-га форма)та частинні випадки

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Поняття інтерполювання функції: поліном Лагранжа, ньютона (1-ша та 2-га форма). Частинні випадки

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа —многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n+1 пар чисел (x0;y0), (y1, x1),…(yn, xn) , де всі Xi різні, існує єдиний многочлен  Ln (x) степеня не більшого від n, для якого L(xi) = yi.

У найпростішому випадку n=1  - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Многочлен виду

. (3)

називають інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену рівність інтерполяційною формулою Лагранжа.

( Розглянемо два окремих випадки інтерполяційної формули Лагранжа.

1. Нехай n=1, тобто значення функції f задано в двох вузлах і .Позначимо ці значення і . Тоді з формули дістанемо

.

Формулу (8) називають формулою лінійного інтерполювання.
При лінійному інтерполюванні дуга кривої у=f(x) на відрізку замінюється відрізком прямої (8), що лежить між точками і .

2. Нехай n=2. Функцію f задано в трьох вузлах (і = 0, 1, 2) значеннями (і = 0, 1, 2) У цьому разі формула (3) набирає вигляду

.(9)

Формулу (9) називають формулою квадратичного інтерполювання. При квадратичному інтерполюванні дуга кривої у=f(x) на відрізку замінюється дугою параболи, що проходить через точки (і = 0, 1, 2).

)

Теорема. Якщо вузли інтерполювання (i = 0,1, …,n) різні і належать відрізку [а; b], а функція f диференційована n+1 раз на відрізку [а;b], то для будь-якої точки існує така точка , що для похибки інтерполювання справедлива рівність

, (11)

Ньютона 1, 2

Перша інтерполяційна формула Ньютона

для рівновіддалених вузлів інтерполяції

. (3)

Це — перша інтерполяційна формула Ньютона.

Її можна записати дещо інакше, зручніше для практичного використання. Позначимо

.

Тоді

;

і формула (4.12) набуває вигляду

(4)

Формулу (4.13) доцільно використовувати для інтерполювання (екстраполювання) функції в околі початкового значення х0, де q — мале за абсолютною величиною.

Залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона дорівнює:

,

Друга інтерполяційна формула Ньютона

для рівновіддалених вузлів інтерполяції

Отримаємо формулу, якою буде зручно користуватися для інтерполювання (екстраполювання) функції у кінці таблиці.

. (6)

Це — друга інтерполяційна формула Ньютона. Запишемо її у вигляді, зручнішому для практичного використання. Позначивши , дістанемо:

Після підстановок цих значень у (6) формула набуває вигляду

. (7)

Залишковий член для другої інтерполяційної формули Ньютона

.

\

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
0
дн.
1
3
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!