Поліном Лагранжа

Опис документу:
У цьому документі йде ммова про інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА

Нехай у точках (і=0,1,...,n) ( якщо ) задано значення функції f : (i = 0,1, …,n). Треба побудувати многочлен степеня п, який у вузлах (і=0,1,...,n) набуває тих самих значень, що й функція f, тобто

(і=0,1,...,n). (1)

Шукатимемо інтерполяційний многочлен у такому вигляді:

(2)

де коефіцієнти (i = 0,1, …,n) невідомі. Кожний доданок виразу (2)

є многочленом степеня n, причому при кожному з коефіцієнтів

(i = 0,1, …,n) множника немає.

Визначимо коефіцієнти (i = 0,1, …,n), використавши умову (1). Поклавши в (2) x - х0, дістанемо

,

звідки

.

Якщо в (2) покласти , то

,

а отже

.

Аналогічно обчислюємо

(i = 0,1, …,n)

Підставивши ці значення коефіцієнтів (i = 0,1, …,n) в (2), дістанемо вираз інтерполяційного многочленна

. (3)

Многочлен виду (3) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену рівність

(4)

інтерполяційною формулою Лагранжа.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа можна записати компактніше. Для цього введемо многочлен n+1-го степеня виду

(5)

Продиференціювавши по х цей добуток, дістанемо:

Поклавши тут (i = 0,1, …,n), матимемо

. (6)

Підставивши (5) і (6) в (3), знайдемо

. (7)

Вираз , (i = 0,1, …,n) , що є коефіцієнтами при

(i = 0,1, …,n) у многочлені Лагранжа, називають коефіцієнтами Лагранжа.

Розглянемо два окремих випадки інтерполяційної формули Лагранжа (4).

1. Нехай n=1, тобто значення функції f задано в двох вузлах і .Позначимо ці значення і . Тоді з формули (4) дістанемо

. (8)

Формулу (8) називають формулою лінійного інтерполювання. При лінійному інтерполюванні дуга кривої у=f(x) на відрізку замінюється відрізком прямої (8), що лежить між точками і .

2. Нехай n=2. Функцію f задано в трьох вузлах (і = 0, 1, 2) значеннями (і = 0, 1, 2) У цьому разі формула (3) набирає вигляду

.(9)

Формулу (9) називають формулою квадратичного інтерполювання. При квадратичному інтерполюванні дуга кривої у=f(x) на відрізку замінюється дугою параболи, що проходить через точки (і = 0, 1, 2).

Оцінка похибки інтерполяційної формули Лагранжа. Якщо функція f на відрізку [a;b] є многочленом степеня, що менший або дорівнює n, то з єдиності інтерполяційного многочлена випливає, що інтерполяційний многочлен тотожно дорівнює f.тобто f(x) - 0, .

Якщо f на відрізку [а; b ], який містить вузли інтерполяції (i = 0,1, …,n), не є многочленом степеня, що менший або дорівнює л, то різниця

(10)

дорівнюватиме нулю лише у вузлах інтерполяції (i = 0,1, …,n), а в інших точках відрізка [a; b] вона відмінна від тотожного нуля. Функцію , яка характеризує точність наближення функції f інтерполяційним многочленом ,називають залишковим членом інтерполяційної формули Лагранжа (3), або похибкою інтерполювання. Якщо відомий аналітичний вираз функції f, то можна оцінити .

Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо вузли інтерполювання (i = 0,1, …,n) різні і належать відрізку [а; b], а функція f диференційована n+1 раз на відрізку [а;b], то для будь-якої точки існує така точка , що для похибки інтерполювання справедлива рівність

, (11)

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

, (12)

де к — стала, яку доберемо пізніше.

Вузли інтерполювання (i = 0,1, …,n) є коренями функції и. Доберемо тепер сталу k так, щоб функція и на відрізку [а;b] мала (n+2)-й корінь у довільній, але фіксованій точці (i = 0,1, …,n). Тоді , або . Оскільки , то досить покласти

. (13)

При такому значенні к функція и на відрізку [а;b] має п+2 коренів і дорівнює нулю на кінцях кожного з

відрізків .

За теоремою Ролля на кожному з цих відрізків є принаймні одна точка, в якій похідна дорівнює нулю. Тому на (а;b) похідна дорівнює нулю не менш як n+1 раз, похідна другого порядку и"(х) не менш як п раз і т.д., нарешті похідна u(n+1)(x) — щонайменше один раз у точці, що лежить між найбільшим і найменшим з чисел і .

Нехай ξ — корінь похідної u(n+1)(x), тобто u(n+1)(ξ)=0. Продиференціювавши по х функцію u(x) (12) n+1 раз і врахувавши, що

,a , дістанемо

.

Звідси, якщо х= ξ , маємо

,або .

Порівнявши це значення к з (13), знайдемо

,

тобто

,

Але точка — довільна, тому останню формулу можна записати ще й так:

де точка ξ залежить від х і . Ця формула справедлива для всіх точок відрізка [a; b], включаючи й вузли інтерполювання. У вузлах інтерполювання

(i = 0,1, …,n) похибка інтерполювання (i = 0,1, …,n).

Теорему доведено.

Якщо , то для абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа дістаємо таку оцінку:

. (14)

З формули (11) дістаємо, зокрема, що залишковий член формули лінійного інтерполювання (8) дорівнює

,

де ,,

а залишковий член формули квадратичного інтерполювання (9)

,

де ,.

З формули (14) видно, що абсолютна похибка інтерполяційної формули Лагранжа пропорційна добутку двох множників і , з яких залежить лише від функції f, а величина другого,

, визначається виключно вибором вузлів інтерполювання. Зменшити величину абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа можна таким вибором вузлів інтерполювання, за якого множник набуває найменшого максимального значення на відрізку

П. Л. Чебишов довів, що величина max має найменше

значення, якщо вузлами інтерполювання є числа

(k=0,1,…,n) – нулі многочлена Чебишова

. Вони дійсні, різні, належать (-1; 1) і згущуються біля кінців інтервалу.

Доведено, що за такого вибору вузлів інтерполювання

.

Навіть і тепер не можна гарантувати, що абсолютна похибка інтерполяційної формули Лагранжа буде як завгодно мала при досить великому n.

Практичне завдання.

Завдання. Знайти наближене значення функції при даному значенні аргументу за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа,

якщо функція задана:

1) у нерівновіддалених вузлах таблиці;

2) у рівновіддалених вузлах таблиці.

Варіанти до завдання 1)

Таблиця 1 Таблиця 2

x

y

варіанта

х

0,43

1,63597

1

0,702

0,48

1,73234

7

0,512

0,55

1,87686

13

0,645

0,62

2,03345

19

0,736

0,7

2,22846

25

0,608

0,75

2,35973

31

0,475

x

y

варіанта

х

0,02

1,02316

2

0,102

0,08

1,09590

8

0,114

0,12

1,14725

14

0,125

0,17

1,21483

20

0,203

0,23

1,30120

26

0,154

0,3

1,40976

32

0,212

Таблиця 3 Таблиця 4

x

y

варіанта

х

0,35

2,73951

 

3

0,526

0,41

2,30080

 

9

0,453

0,47

1,96864

 

15

0,482

0,51

1,78776

 

21

0,552

0,56

1,59502

 

27

0,436

0,64

1,34310

 

33

0,527

x

y

варіанта

х

0,41

2,57418

4

0,616

0,46

2,32513

10

0,478

0,52

2,09336

16

0,665

0,60

1,86203

22

0,537

0,65

1,74926

28

0,673

0,72

1,62098

34

0,509

Таблиця 5 Таблиця 6

x

y

варіанта

х

0,68

0,80866

 

5

0,896

0,73

0,89492

 

11

0,812

0,80

1,02964

 

17

0,774

0,88

1,20966

 

23

0,955

0,93

1,34087

 

29

0,715

0,99

1,52368

 

35

0,756

x

y

варіанта

х

0,11

9,05421

6

0,314

0,15

6,61659

12

0,235

0,21

4,69170

18

0,332

0,29

3,35106

24

0,275

0,35

2,73951

30

0,186

0,40

2,36522

36

0,218

Варіанти до завдання 2)

Таблиця 1 Таблиця 2

x

y

варіанта

х

1,375

5,04192

1

1,3832

1,380

5,1774

7

1,3926

1,385

5,32016

13

1,3862

1,390

5,47069

19

1,3934

1,395

5,62968

25

1,3866

1,400

5,79788

31

1,3878

x

y

варіанта

х

0,115

8,65729

2

0,1264

0,120

8,29329

8

0,1315

0,125

7,95829

14

0,1232

0,130

7,64893

20

0,1334

0,135

7,36235

26

0,1285

0,140

7,09613

32

0,1278

Таблиця 3 Таблиця 4

x

y

варіанта

х

0,150

6,61659

3

0,1521

0,155

6,39989

9

0,1611

0,160

6,19658

15

0,1662

0,165

6,00551

21

0,1542

0,170

5,82558

27

0,1625

0,175

5,65583

33

0,1593

x

Y

варіанта

х

0,180

5,61543

4

0,1838

0,185

5,46693

10

0,1875

0,190

5,32634

16

0,1944

0,195

5,19304

22

0,1976

0,200

5,06649

28

0,2038

0,205

4,94619

34

0,1913

Таблиця 5 Таблиця 6

x

y

варіанта

х

0,210

4,83170

5

0,2121

0,215

4,72261

11

0,2165

0,220

4,61855

17

0,2232

0,225

4,51919

23

0,2263

0,230

4,42422

29

0,2244

0,235

4,33337

35

0,2251

x

y

варіанта

х

1,415

0,888551

6

1,4179

1,420

0,889599

12

1,4258

1,425

0,890637

18

1,4396

1,430

0,891667

24

1,4236

1,435

0,892687

30

1,4315

1,440

0,893698

36

1,4311

Зразок виконання завдання

1) 2)

x

y

0,05

0,050042

0,10

0,100335

0,17

0,171657

0,25

0,255342

0,30

0,309336

0,36

0,376403

x

y

0,101

1,26183

0,106

1,27644

0,111

1,29122

0,116

1,30617

0,121

1,32130

0,126

1,32660

Обчислити значення функції Визначити значення функції

F(x)=y(x) при х=0,263. у(х) при х=0,1157.

1) Скористаємося формулою

, де ,

.

Обчислення наведені в таблиці.

i

Різниці

0

0,213

-0,05

-0,12

-0,20

-0,25

-0,31

 

-2526,2

1

0,05

0,163

-0,07

-0,15

-0,20

-0,26

 

25547,7

2

0,12

0,07

0,093

-0,08

-0,13

-0,19

 

-111202,0

3

0,20

0,15

0,08

0,013

-0,05

-0,11

 

1488007,0

4

0,25

0,20

0,13

0,05

-0,037

-0,06

 

428740,0

5

0,31

0,26

0,19

0,11

0,06

-0,097

 

-38392,7

Отже, , . Отже,

.

2) Для обчислень використаємо формулу

,

де

Тут t=(0,1157-0,101)/0,005=2,94 .

Обчислення розташовуємо в таблиці.

i

t-i

0

0,101

1,26183

2,94

-120

-352,8

-0,0035766

1

0,106

1,27644

1,94

24

46,56

0,0274149

2

0,111

1,29122

0,94

-12

-11,28

-0,1144691

3

0,116

1,30617

-0,06

12

-0,72

-1,8141250

4

0,121

1,32130

-1,06

-24

25,44

0,0519379

5

0,126

1,33660

-2,06

120

-247,2

-0,0054069

Отже, , ; .

Отже, .

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
8
дн.
0
2
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!