Перша інтерполяційна формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції

Опис документу:
У цьому документі йде мова про першу інтерполяційну формулу Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції та методи випадки її застосування.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Перша інтерполяційна формула Ньютона

для рівновіддалених вузлів інтерполяції

Шукаємо багаточлен степеня п у вигляді

= а0 + а1(х - х0) + а2(х - х0) (х – х1) + а3(х - х0) (х – х1) (х – х2) + ... +

+ап(х - х0) (х – х1) ... (х – хп-1). (2)

де х0, х1, ..., хп — задані значення аргументу х, причому хі – хі-1=h = соnst

(і = 1, 2, ..., п), коефіцієнти а0, ..., ап нам невідомі. Визначимо їх, виходячи з початкових умов .

Покладемо у формулі (2) х = х0. Тоді Рп(х0) = а0. Однак, за початкових умов Рп(х0) = у0. Отже, а0 = у0.

Для визначення а1 позначаємо в (2) х = х1, після чого отримаємо

Рп(х1) = а0 + а1(х - х0).

Ураховуючи, що Рп(х1) = у1, а0 = х0, х1 –х0 = h, можемо записати у1 = у0 + а1h, звідки . Однак — скінченна різниця першого порядку, отже, .

Далі, вважаючи х = х2, дістанемо

.

Оскільки , , , , , запишемо:

,

звідси

.

Однак , тому

.

Отже,

.

Аналогічніші подальші обчислення (із урахуванням формули 1), що виражає різниці різних порядків через значення функції) дозволять записати інші коефіцієнти:

, .

Підставивши знайдені вирази коефіцієнтів у формулу (2), одержимо:

. (3)

Це — перша інтерполяційна формула Ньютона.

Її можна записати дещо інакше, зручніше для практичного використання. Позначимо

.

Тоді

;

і формула (4.12) набуває вигляду

(4)

Формулу (4.13) доцільно використовувати для інтерполювання (екстраполювання) функції в околі початкового значення х0, де q — мале за абсолютною величиною.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Малюк у світі економіки та фінансів»
Часнікова Олена Володимирівна
36 годин
590 грн
590 грн