і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Взяти участь
Поспішайте взяти участь у вебінарі Арт-терапія в роботі з підлітками і старшокласниками. Шлях до мети
До початку вебінару залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

Ознаки подільності. Добірка олімпіадних задач

Перегляд
матеріалу
Отримати код

В. Г. Серветник

( добірка олімпіадних задач )

6 клас

Муровані Курилівці

2011

Юний друже!

Розвиток логічного мислення – одне з основних завдань вивчення математики. Яку б професію в майбутньому ти не обрав би, тобі потрібно з шкільної парти навчитися правильно і швидко міркувати, аргументувати розв’язання задач та отриманий результат, формулювати задачі і творчо підходити до їх вирішення, самостійно поповнювати багаж знань.

Для того щоб спортсмен досяг високих результатів, йому потрібні систематичні тренування. А для того щоб ти навчився розв’язувати задачі – тобі теж потрібні систематичні тренування у розв’язуванні різних типів задач.

Запропоновані задачі є доповненням до теми “Подільність чисел”. Розв’язування запропонованих задач підвищить твій інтерес до вивчення математики, сприятиме розвитку твоїх математичних здібностей.

Шановний колего!

Як відомо, інтерес до математики і математичні здібності виявляються в ранньому віці. Значну роль у їх розвитку відіграє систематичне розв’язування задач, які можуть захопити юних математиків і породжувати прагнення до самостійних досліджень. Саме такі задачі й пропонують на математичних олімпіадах. Серед них часто зустрічаються задачі на подільність чисел, умова яких часто зрозуміла навіть учням молодших класів, проте розв’язування потребує кмітливості та винахідливості.

Мета даних рекомендацій – допомогти вчителям математики підготувати учнів до участі в олімпіадах.

Ця добірка адресована тим, хто хоче навчитися розв’язувати нестандартні математичні задачі. Вона написана на основі багаторічного досвіду підготовки школярів до участі в математичних олімпіадах різних рангів і здобуття ними перемог.

Кожен блок складається із задач та розв’язків, вказівок та відповідей до них. Це дає можливість використовувати добірку й тим, хто навчатиметься цьому самостійно.

Блок 1.

1. Довести, що якщо сума двох чисел є число непарне, то добуток цих чисел завжди буде числом парним.

Розв’язання : сума двох чисел – число непарне, отже один доданок – парний, а другий – непарний. Добуток парного числа на будь-яке ціле число є число парне.

2. Не розв’язуючи рівняння х(х+1) = 2005 встановити, чи має воно натуральні розв’язки.

3. Довести, що добуток (п + 5) (п + 10) є парне число при будь-якому натуральному п.

4. Довести, що при будь-яких натуральних а і b добуток ab(a+b) – парне число.

5. Довести що серед трьох довільних натуральних чисел можна знайти два, сума яких ділиться на 2.

6. Сума 2004 натуральних чисел непарна. Довести, що добуток цих чисел парний.

Доведення : якби всі 2004 числа були непарні, то їх сума була б парним числом, бо доданків – парна кількість. Але, за умовою, їх сума непарна. Отже, серед доданків є хоча б один парний . Але тоді добуток цих чисел – теж парне число, що й потрібно було довести. (Хмельницька обласна олімпіада)

7. Довести, що різниця між будь-яким трицифровим числом і сумою його цифр, ділиться на 3.

Доведення: - (а+b+c) = 99a + 9b = 9(11a+b). В останньому добутку є множник 9, який ділиться на 3, а тому й добуток 9(11a+b) ділиться на 3.

8. Довести, що із будь-яких п’яти натуральних чисел можна знайти три, сума яких ділиться на 3.

Доведення: можливі два випадки.

І. Серед п’яти даних чисел знайдуться три з однаковими остачами при діленні на 3. Їх сума, очевидно, ділиться на 3.

ІІ. Немає трьох чисел з однаковими остачами, значить, 5 чисел попадають в усі три класи остач, тому є три числа з остачами 0, 1 і 2, ці числа і є шуканими.

9. Довести, що якщо дано три яких-небудь числа, серед яких жодне не ділиться на 3, а то або сума всіх цих чисел, або сума двох яких-небудь із них повинна ділитися на 3.

Доведення: І. Якщо кожен з трьох доданків при діленні на 3 дає остачу 1 або 2, то сума цих доданків ділиться на 3.

ІІ. Якщо кожен з двох доданків при діленні на 3 дає остачу 1, а третє – 2, то сума одного з перших двох доданків і третього поділиться на 3.

ІІІ. Якщо кожен з двох доданків при діленні на 3 дає остачу, що дорівнює 2, а третє – 1, то сума будь-якого з перших двох і третього ділиться на 3.

10. Числа і не діляться на 3. Довести, що або +, або - ділиться на 3.

Доведення: якщо не ділиться на 3, то його можна подати у вигляді 3р+1 або 3р+2.

Аналогічно, число можна подати у вигляді 3q+1 або 3q+2, де р і qнатуральні числа.

Якщо взяти два числа виду 3р+1 і 3q+1 або 3р+2 і 3q+2, то їх сума не ділиться на 3, але різниця ділиться на 3.

Якщо ж взяти числа виду 3р+1 і 3q+2, то їх сума ділиться на 3.

Блок 2.

11. Довести , що сума двох послідовних непарних чисел кратна 4.

Вказівка : сума чисел виду 2п-1 і 2п+1, де п є N, кратна 4.

12. Довести, що сума двох послідовних парних чисел не ділиться на 4.

Доведення: нехай менше парне число 2п. Сума 2п+(2п+2)= 4п+2. Перший доданок 4п ділиться на 4, а другий доданок 2 – не ділиться на 4. Отже ,й сума 4п+2 не ділиться на 4.

13. Довести, що сума п’яти послідовних непарних чисел ділиться на 5.

14. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, менше з яких є непарним числом, ділиться на 6.

15. Довести, що сума чотирьох послідовних парних чисел не ділиться на 8.

16. Дано три послідовних натуральних числа, серед яких перше – парне. Довести, що добуток їх кратний 24.

Розв’язання : серед трьох послідовних натуральних чисел обов’язково одне кратне 3, а серед двох послідовних парних чисел – одне кратне 4. Отже, добуток цих трьох чисел ділиться і на 3 і на 2, і на 4, тобто на 3 · 2 · 4 = 24.

17. Довести, що добуток чотирьох послідовних натуральних чисел ділиться на 24.

18. Довести, що добуток п’яти послідовних натуральних чисел ділиться на 120.

Блок 3.

19. Скільки існує натуральних чисел, які не перевищують 1995 і мають суму цифр,

кратну 5?

Розв’язання: серед чисел кожного десятка, який починається числом з остан-ньою цифрою 0 і закінчується числом з останньою цифрою 9, є рівно два потрібних нам числа з сумою цифр, кратною 5: 14, 19, 23, 28, 32, 37, ... . Таких повних десят-ків набирається 198, і, крім того, перший і останній неповні десятки містять по одному потрібному числу 5 і 1991, а всього чисел набирається 2·198+2=398.

20. Довести, що при будь-якому натуральному п число п(п+1)(2п+1) ділиться на 6.

21.Довести,що коли сума цифр трицифрового числа ділиться на 9, то і число ділиться на 9.

Доведення: нехай N – дане трицифрове число: N = 100 а +10 b + c.

За умовою (а + b + c) 9.

Доведемо, що N 9.

N = 100 а +10 b + c= 99а +9b +(а + b + c) .

Кожний доданок ділиться на 9, отже, число N 9.

Зауваження: аналогічно можна довести, що будь-яке k- цифрове число (k>3), сума цифр якого ділиться на 9, також ділиться на 9.

22. Що, якщо число N ділиться на 9, то його сума цифр ділиться на 9.

Доведення: : нехай N – дане трицифрове число: N = 100 а +10 b + c.

За умовою N 9.

Доведемо, що (а + b + c) 9.

N = (а + b + c) +(99а + 9b).

Якщо сума і один з доданків ділиться на 9, то й другий доданок ділиться на 9. Маємо:

(а + b + c) 9. Аналогічно можна довести, що якщо будь-яке k- цифрове число (k>3), ділиться 9, то його сума цифр ділиться на 9.

23. Довести, що різниця двоцифрового числа і числа, записаного тими ж цифрами, але в зворотному порядку, ділиться на 9.

Примітка: на цій задачі оснований “фокус”:

Пропонуєте записати будь – яке двоцифрове число, утворити число із тих же цифр, але взятих в зворотному порядку, і знайти різницю цих чисел. Просите назвати останню цифру різниці, а самі називаєте всю різницю.

24. Довести, що якщо від трицифрового числа відняти числа, яке записане тими ж цифрами, але взятими у зворотному порядку, то середня цифра різниці буде 9, а сума крайніх цифр буде дорівнювати 9.

25. Довести або спростувати твердження : «Різниця між трицифровим числом і сумою його цифр завжди ділиться на 9».

26. Число складається із семи цифр 8, дев’яти цифр 1 і цифри 5. Чи ділиться воно на 9?

Розв’язання. Сума цифр даного числа - 7·8+9·1+5=70. Оскільки 70 не ділиться на 9, то й саме число не ділиться на 9.

27. Із твердження “ число а ділиться на 2”, “ число а ділиться на 4”, “ число а ділиться на 12” і “ число а ділиться на 24” три істинні, а одне хибне. Яке з них?

(Районна олімпіада, 1994 рік).

Розв’язання. Припустимо, що останнє твердження істинне. Але тоді будуть істинними також і перші три твердження, бо, коли число ділиться на 24, то воно ділиться на 2, на 4 і на 12.

Залишилось навести власний приклад, для якого описана ситуація реалізується.

Відповідь. Останнє.

Блок 4.

28. Знайти цифри сотень і одиниць числа 52 *2*, якщо відомо, що воно ділиться на 36.

Відповідь. Шуканим числом може бути 52 128 або 52 524.

29. Знайти цифри сотень і одиниць числа 42 *4*, якщо відомо, що воно ділиться на 72.

Відповідь. Шуканими числами можуть бути 42 048 або 42 840.

30. Поставити замість зірочки такі цифри, щоб утворене число 3*8*2 ділилось на 72.

31. Знайти всі шестицифрові числа виду *00 0** , які діляться одночасно на 15, 18 і 20.

32. В числі 523 *** замість зірочок поставити такі цифри, щоб отримане шестицифрове число ділилось на 5, на 8 і на 9 одночасно.

Блок 5.

33. Яку цифру треба дописати двічі між цифрами 1 і 5, щоб отримане чотирицифрове число ділилось на 21?

34. Дано п’ятицифрове число 25 762. Яку цифру і на якому місці слід записати, щоб дістати число, яке ділиться на 36?

Розв’язання : число ділиться на 36 тоді, коли воно ділиться на 4 і 9. Шукане шестицифрове число поділиться на 4, якщо друга від кінця цифра буде непарною або остання цифра кратна 4. щоб це число поділилось на 9, слід дописати цифру 5. Її можна дописати лише на місце десятків. Отже, шукане число 257 652.

35 До числа 43 дописати зліва і справа по одній цифрі так, по одній цифрі так, щоб отримане число ділилось на 45.

Розв’язання : запишемо шукане число N у вигляді . Оскільки це число повинно ділитися на 45, то воно повинно ділитися на 5 і 9 ( причому 5 і 9 – взаємно прості числа).

    1. N кратне 5, тому N = або N = .

    2. N кратне 9, тому N = 2 430 або N = 6 435.

36. До числа 10 дописати справа і зліва по одній цифрі так, щоб вийшло число, кратне 72

Розв’язання : запишемо шукане число у вигляді N = . Оскільки це число повинне ділитися на 72, то воно повинне ділитися на 8 і 9 (причому 8 і 9 – взаємно прості числа).

Щоб число ділилось на 8, воно повинне ділитися на 4. Тому, за ознакою подільності на 4, дві останні цифри шуканого числа повинні утворити число, кратне 4.

Число має вигляд Сума цифр шуканого числа, згідно ознаки подільності на 9, повинна бути кратною 9. Тому, а в першому випадку дорівнює 8, в другому – 4, в третьому – 9. Із чисел 8 100, 4 104, 9 108 тільки 4 104 ділиться на 8,а , отже, на 72.

37. До числа 15 дописати справа і зліва по одній цифрі так, щоб одержане число ділилось на 15. (Районна олімпіада 1988р.)

Відповідь: 1 155; 3 150; 4 155; 6 150; 7 155; 9 150.

38. Яку цифру треба дописати справа до числа 1 994, щоб отримане число ділилось на 9 і на 4?

Розв’язання. На 9 діляться ті числа, сума цифр яких ділиться на 9. Оскільки 1+9+9+4=23, то наступна цифра повинна бути 4, бо 23+4=24 9.

Число 19 944 ділиться також на 4, бо останні дві цифри утворюють 44, яке ділиться на 4.

Відповідь: цифру 4.

39. Скільки є чотиризначних чисел, які діляться на 45, а дві середні цифри у них 97 ?

Розв’язання. Шукане число має вигляд =1000а + b+ 970. Оскільки число ділиться на 45, то остання цифра шуканого числа дорівнює 0 або 5. Крім того, це число ще повинно ділитись на 9.

Якщо b=0, то число має вигляд , сума цифр а+9+7+0 ділиться на 9 при а=2. Дістали число 2 970.

Якщо b=5, то число має вигляд , сума цифр якого а+9+7+5 ділиться на 9 при а=6. Дістали число 6 975.

Відповідь: 2 970 і 6 975.

40. Яку цифру треба дописати двічі цифрами 1 і 5 , щоб отримане чотиризначне число ділилося на 21 ?

Вказівка . 21= 3·7. На 3 діляться 1 005, 1 335, 1 995. Серед цих чисел тільки 1995 ділиться на 7.

41. Яку цифру треба дописати до 97 справа і зліва, щоб отримане число ділилося на 27?

Відповідь: цифру 1, бо 1971= 73·27.

42. Знайти всі п значні числа виду *00...0**, які діляться одночасно на 15, 18 і 20.

Розв’язання. Оскільки 15=3·5, 18= 2·9, то досить досягти, щоб шукані числа ділились на 9 і 20. Отже, останньою цифрою шуканих чисел повинен бути 0, передувати йому повинна парна цифра і сума цифр шуканого числа повинна ділитися на 9. Такими числами будуть 900...000, 700...020, 500...040, 300...060, 100...080.

43. До числа 579 дописати справа три цифри так, щоб отримане число ділилося на 5, 7 і 9.

Розв’язання. Шукане число ділиться на 5 ·7 · 9 = 315.

Маємо = 1 838·315+30+, звідки число 30 + повинно дорівнювати або 315, або 2· 315= 630, або 3· 315= 945, тобто дорівнює 285, або 600, або 915.

Блок 6.

44. Чи діляться числа 5 742, 4 356, 8 712, 1 584 на 99? Знайдіть закономірність в записі цих чисел. Перевірте свій висновок на інших прикладах.

Вказівка. Перші дві цифри утворюють число, яке в сумі з числом, що утворене третьою і четвертою цифрами, дає 99.

45. Для числа 123 знайти таке трицифрове число, різниця між яким і 123 ділилася б і на 9, і на 99.

Вказівка. Різниця 321 – 123 ділиться на 9 і на 99.

46. Із чисел від 1 до 252 викинули всі числа, які діляться на 2, але не діляться на 5, і всі числа, які діляться на 5, але не діляться на 2. Скільки залишилося чисел?

Розв’язання. Якщо згідно умови викинути вказані числа, то в кожному десятку залишиться по п’ять чисел. Але від 1 до 252 є 25 десятків і ще два числа 251 і 252. Отже, залишилося 5·25 + 1 = 126 чисел.

47. Серед натуральних чисел від 1 до 1 000 000 скільки таких, які не діляться ні на жодне з чисел від 2 до 5?

Розв’язання. Зауважимо, що нам треба вибрати числа, які не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5 ( вони, тим більше, не будуть ділитися і на 4).

Серед чисел від 1 до 30 таких чисел 8: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 і 29.

Число т + 30п буде ділитися або не ділитися на 2( на 3 або на5) в залежності від того, чи ділиться т на 2 (відповідно на 3 або на 5).

Тому серед кожних наступних 30 чисел: від 31 до 60, від 61 до 90 і т.д. буде рівно вісім таких, які не діляться ні на жодне з чисел 2, 3, 5. Тому від 1 до 999 990= 30·33 333 буде 8 ·33 333 = 266 664 потрібних нам чисел. Серед чисел від 999 991 до

1 000 000 буде ще два потрібних нам числа: 999 991 і 999 997.

Відповідь: 266 666.

48. Знайти серед чисел виду 3п + 1 три числа, які кратні п’яти.

Розв’язання: числа, кратні 5, закінчуються цифрою 0 або 5. Щоб число виду 3п + 1 закінчувалося цифрою 0 або 5, число виду 3п повинно закінчуватися цифрою 4 або цифрою 9. Це можливо, коли п буде закінчуватися цифрою 3 або 8. ( Цей факт легко встановити перебором всіх 10 цифр.) Тому число виду 3п + 1 кратне 5, коли п закінчується цифрою 3 або 8.

Підставивши п=3, 8, 13 у вираз 3п + 1 дістанемо числа 10, 25, 40, які кратні 5.

Блок 7.

49. Довести, що сума + ділиться на 11.

50. Довести, що різниця - ділиться на 9 і на 11.

51. Знайти всі тризначні числа, які діляться на 11, в яких сума цифр дорівнює 25.

Розв’язання . Нехай х, у, z - цифри числа, яке задовольняє умові задачі. Тоді хоча б одна з них повинна дорівнювати 9 – в супротивному випадку їх сума була б не більша за 24. При цьому, якщо тільки одна цифра є 9, то кожна з двох інших 8, якщо ж в числі дві цифри 9, то третя цифра 7.

Таким чином, другій умові задачі задовольняють тільки числа 988, 898, 889, 997, 979, 799.

Перевіривши знаходимо, що тільки число 979 ділиться на 11.

52. Відновити цифри, які замінено буквами:

Розв’язання: запишемо дану рівність у вигляді

Оскільки добуток двох натуральних чисел закінчується цифрою 1, а один з множників (число 13) закінчується цифрою 3, то другий множник (число ) має закінчуватися цифрою d = 7, оскільки 7 – єдина цифра, помноживши яку на 3, дістанемо число, що закінчується цифрою 1. Далі не важко зрозуміти, що 1≤ с ≤ 2, окільки в супротивному разі добуток починався б цифрою, яка більша за 2. Значення с=1 не задовольняє умову задачі, оскільки в цьому випадку добуток 13·127 = 1 651 починається цифрою 1.

Нехай с=2. Тоді =227 і 227 · 13 = 2 951. Отже, = 2 951. Звідси дістаємо а=9 і b=5. Таким чином у даній рівності буквами a, b, c, d позначено такі цифри : a=9, b=5, c=2 і d=7.

53. Чи може трицифрове число ділитись одночасно на 7, 11 і 13?

54. Написали підряд два рази тризначне число (наприклад, 548 548). Довести, що отримане число ділиться на 7, 11 і 13.

Розв’язання . = ∙1000 +=∙(1000+1)= 1001=7∙11∙.

55. Довести, що число, яке записане шістьма однаковими цифрами, ділиться на 3, 7, 11, 13 і 37.

Доведення. = 111 111 ∙а = 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 37∙ а.

56. Написали підряд три рази двозначне число ( наприклад, 73 73 73 ). Довести, що отримане число ділиться на 3, 7, 13 і 37.

Доведення.101010а + 10101b = 10101 ∙( 10 a + b )= 10101∙ =3 ∙ 7 ∙ 13∙ 37∙ .

57. Довести, що сума натуральних чисел від 1 до 1000 ділиться на 143.

Доведення. Суму перших 1000 натуральних чисел можна записати у вигляді

( 1 + 1000 ) + ( 2 + 999 ) + ... + ( 500 + 501 ).

Кожний доданок цієї суми дорівнює 1001 = 143 ∙ 7, тобто ділиться на 143, і тому вся сума ділиться на 143.

58. Довести, що число 88...8, яке складається з 1974 цифр, ділиться на 13.

Доведення. Нагадаємо відому рівність 1001 = 7 ∙ 11 ∙ 13. Із неї слідує, що число із шести однакових цифр завжди ділиться на 13. А оскільки 1974 = 6 329, то дане число 88...8 ділиться на 888888, тобто ділиться на 13.

59. Чи можна за допомогою шести двійок і двох одиниць скласти число, яке починається з 1 і ділиться на 7 ?

Розв’язання. Оскільки число, яке складене з шести однакових цифр, ділиться на 1001, а отже, й на 7, то число 11222222 на 7 не ділиться. Число 12122222 = 11 900 000 + 222 222 ділиться на 7. Відповідь: можна.

60. Довести, що числа, запис яких складається із трьох однакових цифр, ділиться на 3

і на 37.

Доведення. = 100а + 10а + а = 111 а= 3 37 а

61. Число 111 ділиться на 3 і на 37. Знайти, які цифри позначені однаковими буквами у такому записі х z = , що число було найменшим.

Відповідь: 37 3 1 = 111.

62. Відомо, що сума двох трицифрових чисел і ділиться на 37. Довести, що число ділиться на 37.

Доведення. Нехай 37, тоді ( 1000 ) 37. Але за умовою 37. Отже,

( 1000 + ) 37.

63. Якщо першу цифру даного двозначного числа зменшити на 1 і отримане число перемножити з даним, то дістанемо тризначне число, яке записане трьома однаковими цифрами. Знайти дане число.

Розв’язання. Число, яке записане однаковими трьома цифрами, ділиться на 111 і тому його можна подати у вигляді добутку 37 3 k. Для того щоб виконувалась умова задачі, число 3k повинно дорівнювати 27, а отже, дане число дорівнює 37.

64. Дано три різні не рівні нулю цифри. З них складаються всі можливі тризначні числа. Довести, сума цих чисел обов’язково ділиться на 6 і на 37.

Доведення. Нехай a, b, c – різні цифри, відмінні від нуля. Складаємо з цих цифр всі можливі тризначні числа: ,

Тоді = 100а + 10 b + c, = 100a + 10c + b і т.д.

Сума всіх чисел дорівнює

100 (a + a + b +b + c+ c) + 10 (b + c+ a+ c + a + b)+(c+ b+ c+ a+ b+ a) =

=200 (a+ b + c)+ 20 (a+ b + c)+ 2(a+ b + c) = 222(a+ b + c)= 6 ∙ 37 ∙ (a+ b + c).

65. Доведіть, що будь-яке натуральне число, десятковий запис якого складається з 3п одиниць, ділиться на 37.

Доведення

111 = 37 3 1001001...001.

66. Дописати до числа 43572 справа або зліва одну цифру так, щоб отримане число ділилось на 11.

Вказівка. Дивись ознаку подільності на 11. Наприклад, можна до числа 43572 дописати справа цифру 1. Отримане число 435721 буде ділитися на 11.

67. Які дві цифри треба дописати справа до числа 1 983, щоб отримане число ділилося

на 101 ?

Розв’язання. Оскільки 198 300 = 101 1 963 + 37, то 198 364 ділиться на 101, і, отже до числа 1 983 треба дописати цифри 6 і 4. Будь-яка інша пара цифр не буде розв’язком задачі, в супротивному випадку між числами 198 300 і 198 400 існували б два числа, які діляться на 101, а тоді їх різниця ділилась би на 101, чого не може бути.

68. Чи на 81 число, яке записане вісімдесят одною одиницею?

Розв’язання. Помічаємо, що за ознакою подільності на 9 дане число ділиться на 9. Якщо це число поділити на 9, то в частці отримаємо число, яке записане цифрами 123456790123... . В частці буду число, в якому цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 0 повторюються дев’ять разів. Тому сума цифр цього числа ділиться на 9, звідси й саме число (частка) ділиться на 9. таким чином, дане число ділиться на 81.

69. Довести, що двадцятисемизначне число 333...3 ділиться на 81.

Розв’язання.

В дужках записано число, яке складається з дев’яти груп однакових цифр. Сума його цифр ділиться на 9. Звідси весь добуток, а отже і дане число, поділиться на 81.

Блок 8.

70. Знайти загальний вигляд чисел, які дають при діленні на 4 : а) остачу 1; б) остачу 2; в) остачу 3.

Відповідь: а) 4а+1; б) 4а+2; в) 4а+3.

71. Знайти найменше число, яке ділиться на 41, а при діленні на 39 – дає в остачі 24.

Розв’язання. Нехай п – деяке число, що ділиться на 41; тоді п = 41m = 39m + 2m. Звідси видно, що найменше число m, яке задовольняє заданим умовам, отримається при m=12. Шукане число 492.

72. Знайти чотиризначне число, яке при діленні на 131 дає в остачі 28, а при діленні на 132 дає в остачі 13.

Відповідь: число 1993. Частка від ділення в обох випадках дорівнює 28 – 13 = 15.

73. Знайти всі натуральні числа, які при діленні на 3 дають остачу 2, а при діленні на 4 – остачу 3.

74. Знайти найбільше тризначне число, яке при діленні на 43 дає остачу рівну частці.

Розв’язання. Найбільше тризначне число 999 .Поділивши його на 43, отримаємо частку 23 і остачу 10. Остача менша частки. Збільшити остачу не можна – число стане чотиризначним. Тоді зменшимо частку на одиницю, отримаємо 22.

22 ∙ 43 = 946. Додамо до отриманого числа доданок рівний частці - 22.

Отримаємо 968 – шукане число.

  1. Нехай М=5x + 4y, N=3x + 7y, де х і у – натуральні числа. Довести, що М ділиться на 23 тоді і тільки тоді, коли N ділиться на 23.

Доведення. Зауважимо, що 5N= 3М + 23у, тому якщо М ділиться на 23, то 5N, а отже, й N ділиться на 23.

Обернене твердження доводиться аналогічно.

76. При діленні числа на 3 отримали остачу p. Довести, що при діленні суми цифр цього числа на 3 також вийде остача p.

Доведення. Нехай = 3k+ p і a+ b + c = 3п + q, де k і п –натуральні числа, а p і q можуть приймати значення 1 і 2. Оскільки різниця - (a+ b + c ) кратна 3, то кратна 3 і різниця 3 (k – п) + pq, що можливо при pq = 0. Звідки p = q.

77. Знайти всі двоцифрові числа, які діляться на добуток своїх цифр.

Відповідь: 11, 12, 15, 24, 36.

78.Чи існує таке семицифрове число, всі цифри якого різні, і яке ділиться на всі ці цифри

Відповідь: існує, наприклад, 1 687 392.

79. Знайти найменше натуральне число, яке ділиться на 36, в записі якого зустрічаються всі 10 цифр.

Відповідь: 1023457896.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
Для проведення позакласних заходів
  • Додано
    15.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Клас
    6 Клас, 7 Клас
  • Тип
    Інші методичні матеріали
  • Переглядів
    1664
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    12
  • Номер матеріала
    OW862068
  • Вподобань
    2
Курс:«Використання веб-квестів в освітньому процесі»
Левченко Ірина Михайлівна
36 години
1400 грн
590 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь