Сьогодні о 18:00
Кабінет психолога:
«
Здатність до саморегуляції – основа духовного розвитку. Нові інструменти й підходи
»
Взяти участь Всі події

Навчально-методичний посібник "Тригонометричні функції"

Увага! Автор матеріалу забороняє відтворення, передрук або розповсюдження іншим способом цього матеріалу з сайту «ВСЕОСВІТА» (тексти, фото, відео тощо). Дозволяється лише гіперпосилання на сам матеріал.

Алгебра

Для кого: 10 Клас

19.10.2021

314

17

0

Опис документу:

Тригонометрія – є однією з найважливіших складових елементарної математики. Навчально-методичний посібник містить загальні характеристики теми «Тригонометричні функції» і цільові установки, методичні рекомендації, завдання для самостійних робіт, тематичне оцінювання з теми.

Перегляд
матеріалу
Отримати код

ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ І НАУКИ

ВІННИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР

ПРОФЕСІЙНО-ТЕХНІЧНОЇ ОСВІТИ У ВІННИЦЬКІЙ ОБЛАСТІ

ВИЩЕ ПРОФЕСІЙНЕ УЧИЛИЩЕ №11




Тригонометричні

функції






















ВІННИЦЯ 2019

Тригонометрія – є однією з найважливіших складових елементарної математики. Навчально-методичний посібник містить загальні характеристики теми «Тригонометричні функції» і цільові установки, методичні рекомендації, завдання для самостійних робіт, тематичне оцінювання з теми.





УКЛАДАЧ ЛУЖКО ОЛЕНА ВАСИЛІВНА

викладач математики вищого професійного

училища №11 м. Вінниці, спеціаліст вищої

категорії, старший викладач



РЕЦЕНЗЕНТ ТЮТЮН ЛЮБОВ АНДРІЇВНА

доцент, кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математики та інформатики Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла Коцюбинського









Розглянуто і затверджено на засіданні методичної комісії

Протокол №3 від 08.10.2019



ЗМІСТ



ВСТУП

4

1. Загальна характеристика теми і цільові установки

5

2. Загальні методичні рекомендації

8

3. Методичні рекомендації до навчальних модулів

10

3.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Основні завдання

10

3.2 Тригонометричні функції числового аргументу. Основні завдання

11

3.3 Основні співвідношення між тригонометричними функціями

14

3.4 Періодичність функцій. Властивості та графіки

тригонометричних функцій. Гармонічні коливання

18

3.5 Тригонометричні формули додавання і наслідки з них

22

3.6 Найпростіші тригонометричні рівняння і нерівності

25

4. Тематичне оцінювання з теми

28

4.1 Тематичне тестування

28

4.2 Контрольна робота з теорії

37

4.3 Домашня залікова робота

37

4.4 Тематична контрольна робота

41

4.5 Приклади завдань з ЗНО

42

ДОДАТОК. Теоретичні відомості за програмою з тригонометрії

53

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

60







ВСТУП

Тригонометричні функції мають важливе значення як у математиці, так і в її застосуваннях. Знайомство з цим класом функцій є складовою природничо-математичної освіти загальнокультурного спрямування.

Зміст теми «Тригонометричні функції» спрямований на розвиток функціо­нального мислення учнів, їх умінь використовувати функції до моделювання проце­сів і явищ навколишнього світу.

У давнину тригонометрія виникла у зв'язку з потребами астрономії, землеробства і будівельних справ, тобто носила геометричний характер і представляла головним чином «Вичеслення хорд». З часом в неї почали вкраплятися деякі аналітичні моменти. У першій половині 18-го століття відбувся різкий перелом, після чого тригонометрія прийняла новий напрямок і змістилася у бік математичного аналізу. Саме в цей час тригонометричні залежності стали розглядатися як функції. Це має не лише математико-історичний, але і методико-педагогічний інтерес.

В даний час вивчення тригонометричних функцій, саме як функцій числового аргументу, приділяється велика увага в шкільному курсі алгебри і початків аналізу. Існує кілька різних підходів до викладання даної теми в шкільному курсі, і викладач, особливо початківець, легко може заплутатися в тому, який підхід є найбільш підходящим. Адже тригонометричні функції являють собою найбільш зручний і наочний засіб для вивчення всіх властивостей функцій (до застосування похідної), а в особливості такої властивості багатьох природних процесів як періодичність. Тому їх вивчення слід приділити особливу увагу. Все вище сказане і обумовлює актуальність вибору теми для даної дослідницької роботи.

Крім того, великі труднощі при вивченні теми «Тригонометричні функції» в шкільному курсі виникають через невідповідність між досить великим обсягом змісту та відносно невеликою кількістю годин, виділених на вивчення даної теми. Предмет дослідження - методика вивчення тригонометричних функцій в курсі алгебри і початку аналізу в 10-11 класі.


  1. Загальна характеристика теми і цільові установки

Тригонометричні функції мають важливе значення як у математиці, так і в її застосуваннях. Знайомство з цим класом функцій є складовою природничо-математичної освіти загальнокультурного спрямування.

Зміст теми «Тригонометричні функції» спрямований на розвинення функціо­нального мислення учнів, їх умінь використовувати функції до моделювання проце­сів і явищ навколишнього світу.

У процесі вивчення теми «Тригонометричні функції» повторюються і поглиб­люються знання учнів про функції, їхні властивості і графіки, розширюється клас рівнянь і нерівностей, розглядається застосування тригонометричних функцій до дослідження періодичних процесів.

Отже, основними завданнями вивчення теми є:

- розширити запас функцій, які застосовуються для дослідження реальних процесів, при вивченні суміжних предметів;

- розширити запас рівнянь, які можна застосувати для розв'язання геометрич­них, прикладних задач, у суміжних предметах;

- розвинути вміння досліджувати властивості функцій, будувати їх графіки, зокрема за допомогою геометричних перетворень.

Вивчення теми треба спланувати так, щоб після завершення навчання учні ма­ли змогу набути таких вмінь:

- користуватись різними одиницями виміру кутів, вміти переходити від радіанної міри до градусної і навпаки;

- встановлювати відповідність між дійсними числами і точками тригонометрич­ного кола;

- обчислювати та порівнювати значення тригонометричних виразів без викорис­тання обчислювальних засобів, а також за їх допомогою;

- перетворювати вирази, які містять тригонометричні функції з метою спрощення виразів, обчислення їх значень, доведення тотожностей;

- зображати і розпізнавати графіки тригонометричних функцій, а також функцій, які одержують з них за допомогою геометричних перетворень;

- встановлювати основні властивості тригонометричних функцій за їх графіком чи формулою;

- використовувати тригонометричні функції і рівняння при дослідженні реальних процесів, зокрема гармонічних коливань;

- розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Володіння вказаними видами діяльності виражається вмінням розв'язувати наступні завдання:

Чи можуть існувати синус і косинус того самого аргументу одночасно дорівнювати:

  1. а) ; б) 0,9 і 0,1.

  2. Зростаючою чи спадаючою є функція
    а)
    ; б) ; в) .

  3. Які з поданих чисел є періодом функції
    а)
    б) в) г) .

  4. Зобразіть на тригонометричному колі точки, що відповідають числам ; ; ; - ; 1; 2.

  5. Обчисліть з точністю до 0,001, користуючись обчислювальними засобами:
    а)
    ; б) ; в) .

  6. Розташуйте в порядку спадання числа:

  7. Відомо, що . Чому дорівнює ?

  8. Порівняйте:
    а)
    б) в)

  9. Знайдіть значення виразу:
    б)

  10. Розв’яжіть рівняння:
    ; ; ;

  11. Які з наведених нижче рівнянь є однорідними відносно і Розв’яжіть рівняння:
    б)
    в)

    г) 3

  12. Укажіть рисунок, на якому наведено розв’язок нерівності

  13. Побудуйте графік функції:
    а)
    ; б) ; в) .

  14. Скільки розв'язків на заданому проміжку має рівняння:
    а) ; б) .





















  1. Загальні методичні рекомендації


Розгляд теми «Тригонометричні функції» базується на знаннях та вміннях, отриманих учнями в курсі геометрії основної школи і пов'язаних з розв'язанням трикутників. Тому ґрунтовне повторення і систематизація відповідного навчального матеріалу є важливою умовою успішного засвоєння теми.

Під час вивчення теми «Тригонометричні функції» реалізуються основні зміс­тові лінії курсу алгебри:

  • обчислюються, порівнюються, оцінюються значення триго­нометричних виразів, причому як із застосуванням обчислювальних засобів, так і без них;

  • перетворюються тригонометричні вирази з метою їх спрощення, обчислен­ня їх значень, знаходження з формул однієї змінної через інші, доведення тотожнос­тей;

  • знаходяться загальні і окремі розв'язки найпростіших тригонометричних рів­нянь і нерівностей, їх застосовують до розв'язання геометричних і прикладних за­дач;

  • досліджуються властивості тригонометричних функцій, заданих аналітично або графічно, будуються та розпізнаються їхні графіки.

При розгляді тригонометричних функцій та їх графіків доцільно користува­тись загальною схемою дослідження функцій. При цьому варто спочатку розглянути її властивості, які дадуть змогу побудувати графік відповідної функції, а саме:

  • об­ласть визначення (фактично вона є складовою означення);

  • періодичність (дає змогу будувати графік функції на обмеженому проміжку, що дорівнює її найменшому до­датному періоду);

  • парність або непарність функції (дозволяє будувати графік функ­ції при додатних значеннях аргументу);

  • проміжки зростання і спадання функції;

  • не­перервність функції (дають підставу з'єднувати точки при побудові графіка непере­рвною кривою, напрямленою знизу догори або навпаки).

Інші властивості (нулі фу­нкції, проміжки знакосталості, множина значень, найбільше і найменше значення функції, якщо вони існують) можна розглядати або за допомогою графіків функцій, або, якщо це дозволяють умови навчання, не користуючись ними. Належну увагу слід приділити побудові графіків тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень.


























  1. Методичні рекомендації до навчальних модулів



3.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Основні завдання

Даний модуль призначений для забезпечення готовності вивчення теми у ці­лому. Головними завданнями навчального модуля є:

  • формування установ на вивчення теми;

  • повторення тригонометричного матеріалу, який вивчався в курсі геометрії 8 - 9 класів;

  • проведення діагностики готовності до вивчення теми.

Реалізація основних завдань

Проведенню установчої бесіди, ознайомленню учнів зі змістом теми сприяє їх знайомство з тригонометричними функціями кутів та їх застосуванням до вимірю­вання довжин сторін трикутників, їх площ. Для повторення тригонометричного ма­теріалу, який вивчався в основній школі, можна використати таблиці.

Під час вивчення теми «Тригонометричні функції» реалізуються основні зміс­тові лінії курсу алгебри: обчислюються, порівнюються, оцінюються значення триго­нометричних виразів, причому як із застосуванням обчислювальних засобів, так і без них; перетворюються тригонометричні вирази з метою їх спрощення, обчислен­ня їх значень, знаходження з формул однієї змінної через інші, доведення тотожнос­тей; знаходяться загальні і окремі розв'язки найпростіших тригонометричних рів­нянь і нерівностей, їх застосування до розв'язання геометричних і прикладних за­дач; досліджуються властивості тригонометричних функцій, заданих аналітично або графічно, будуються та розпізнаються їхні графіки. Враховуючи, що головною зміс­товою лінією у курсі алгебри і початків аналізу є функціональна, саме їй слід приді­лити основну увагу. Не слід приділяти занадто багато уваги громіздким перетворен­ням тригонометричних виразів і спеціальним методам розв'язування тригонометри­чних рівнянь. Вони, як правило, не знаходять практичних застосувань. Спеціально вивчати властивості і графіки обернених тригонометричних функцій не передбача­ється програмою. Достатньо розглянути їх в обсязі, необхідному для запису розв'язків тригонометричних рівнянь.

Після повторення зазначеного матеріалу доцільно запропонувати учням тест для діагностики готовності до вивчення теми.

Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Синус, косинус, тангенс, котангенс кута.

Діагностика готовності до вивчення теми.(2 год.)

1

Синус, косинус, тангенс, котангенс кута.

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок

2

Діагностика готовності до вивчення теми.

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок


3.2. Тригонометричні функції числового аргументу. Основні завдання

Головними завданнями навчального модуля є:

  • формування поняття кута обертання;

  • введення поняття радіанної системи вимірювання кутів, формування вмінь переходу від градусної міри до радіанної і навпаки;

  • формування вмінь встановлювати відповідність між дійсними числами і точ­ками тригонометричного кола;

  • формування понять тригонометричних функцій довільного числового аргументу.

Забезпечення готовності до навчання

Фактично робота щодо забезпечення готовності до опанування матеріалом на­вчального модуля розпочалась у попередньому модулі. Тому аналіз результатів діа­гностики типових помилок учнів є головним засобом забезпечення готовності учнів до навчання у даному модулі.



Виклад теоретичного матеріалу

Розгляд теоретичного матеріалу доцільно розпочати із формування поняття кута обертання.

Особливої уваги заслуговує питання про вимірювання кутів обертання. Градусна міра має ту перевагу, що в ній одиниця вимірювання (градус) сумірна з повним обертом (360°). Тому у практичних обчисленнях у більшості випадків користуються градусною мірою. Але існують й інші системи вимірювання кутів, зокрема радіанна система вимірювання кутів, яка ґрунтується на вимірюванні довжин ліній.

Важливим інструментом для введення і вивчення тригонометричних функцій є тригонометричне коло. Щоб тригонометричне коло учні засвоїли так само добре, як і числову пряму корисними бу­дуть вправи таких типів:

  1. зобразити задані дійсні числа точками тригонометричного кола;

  2. вказати, яким числам відповідають задані точки тригонометричного кола;

  3. зобразити на тригонометричному колі множину точок, які відповідають ­ даним нерівностям;

  4. записати множину дійсних чисел, які відповідають заданій множині точок на тригонометричному колі.

У підручнику є достатньо таких вправ як серед контрольних запитань, так і серед задач.

Зв'язок між двома системами координат дає змогу знаходити декартові коорди­нати точок тригонометричного кола. Корисними є вправи на:

  1. знаходження декартових координат точок кола, що відповідають заданим дійсним числам;

  2. знаходження на тригонометричному колі точок із заданими прямокутними координатами;

  3. запис усіх дійсних чисел, яким відповідають точки тригонометричного кола із заданими прямокутними координатами.

Нижче наводиться орієнтовний план вивчення даного модуля.



Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Радіанне вимірювання кутів.

Тригонометричні функції числового аргументу.(4 год.)

1

Радіанне вимірювання кутів.

Засвоєння нових знань

2

Радіанне вимірювання кутів.

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок

3

Тригонометричні функції числового аргументу й деяких їхні властивості

Засвоєння нових знань

4

Тригонометричні функції числового аргументу й деякі їхні властивості

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок


Безумовно, цей розподіл є орієнтовним і залежить від конкретних умов роботи в групі. Задачі, що залишились нереалізованими, можна вико­ристати для індивідуальної роботи з учнями.


Організація самостійної роботи і контролю за засвоєнням

навчального матеріалу


Тригонометричні функції числового аргументу

Варіант 1

Заповніть таблицю







  1. Визначте знак виразу:

; 2) ; 3) .

  1. Позначте на одиничному колі точки, які відповідають числам:

1) 2) ; 3) ; 5.



Варіант 2

  1. Заповніть таблицю






  2. Визначте знак виразу:


; 2) ; 3) .

  1. Позначте на одиничному колі точки, які відповідають числам:

2) ; 3) ; -1.

Суттєве місце при організації самостійної роботи займає самостійна робота з підручником. Якщо на уроці йшлося про лінію тангенсів, то матеріал, присвячений лінії котангенсів, доцільно доручити учням проробити самостійно: слід привчати учнів читати підручник, працювати з ним.

Щодо контрольних запитань, то вони можуть бути використані вчителем для поточного контролю засвоєння учнями основних понять і фактів теми, а також уч­нями для самоконтролю при засвоєнні теоретичного матеріалу.


3.3 Основні співвідношення між тригонометричними функціями

Основані завдання


Головними завданнями навчального модуля є:

  • встановлення співвідношень між тригонометричними функціями того самого аргументу;

  • встановлення співвідношень, які дозволяють обчислення значень тригонометричних функцій звести до обчислення значень для аргументу на проміжку [0; ];

  • формування вмінь перетворювати тригонометричні вирази.


Забезпечення готовності до навчання

Готовність до навчання у даному модулі забезпечується актуалізацією навчального матеріалу, пов'язаного із зображенням точок на тригонометричному колі; означеннями тригонометричних функцій, а також повторенням і систематизацією матеріалу щодо геометричного змісту знаків координат точок, рівняння кола на площині, зв'язку між координатами точок, симетричних відносно осей і початку координат.

Для повторення матеріалу можна використати таблицю у підручнику, де наводяться тригонометричні тотожності для кутів трикутника.

Вивчення теоретичного матеріалу

У даному навчальному модулі для довільного дійсного числа t розглядається так звана основна тригонометрична тотожність: 2 t + 2 t = 1, відома учням для кутів від 0° до 180°.

Разом з основною тригонометричною тотожністю до основних співвідношень між тригонометричними функціями одного аргументу відносять означення тангенса і котангенса.

Слід звернути особливу увагу учнів на те, що основні тригонометричні співвідношення дозво­ляють за значенням однієї з тригонометричних функцій числа t обчислювати не зна­чення інших, а тільки їх квадрати.

У розглядуваному навчальному модулі за означеннями тригонометричних фу­нкцій встановлюються їх знаки, тобто з'ясовується, при яких значеннях аргументу тригонометричні функції набувають додатних значень, а при яких — від'ємних.

Нижче наводиться орієнтовний план вивчення даного модуля

Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Формули зведення. (4 год.)

1

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Засвоєння нових знань

2

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Комбінований

3

Формули зведення.

Засвоєння нових знань

4

Формули зведення.

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок


Найпростіші співвідношення між тригонометричними функціями


Варіант 1

  1. Спростіть вираз

Г.

  1. Спростіть вираз

Г.

  1. Спростіть вираз

Г.

  1. Спростіть вираз
    Г.

  2. Знайдіть , якщо та .

Г.

  1. Відомо, що і кут розташований у IV чверті. Знайдіть .

Г.


Варіант 2

  1. Спростіть вираз

Г.

  1. Спростіть вираз

Г.

  1. Спростіть вираз

Г.

  1. Спростіть вираз
    Г.

  2. Знайдіть , якщо та .

Г.

  1. Відомо, що і кут розташований у III чверті. Знайдіть .

Г.


Відповіді до завдань самостійної роботи

Варіант1. 1. Г. 2. В. 3. Б. 4. Г. 5. Б. 6. В.

Варіант2. 1. А. 2. Г. 3. Б. 4. В. 5. Б. 6. Г.


Формули зведення


Установить відповідність між заданими виразами та виразами, що їм тотожно дорівнюють


Варіант 1


  1. А

    Б

    В

    Г

    Д

    1






    2






    3






    4






    A

  2. Б

  3. В

  4. Г

Д

Варіант 2


  1. А

    Б

    В

    Г

    Д

    1






    2






    3






    4






    A

  2. Б

  3. В

  4. Г

Д

    1. Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій. Гармонічні коливання

Основні завдання

Головною метою навчального модуля є розвинення умінь досліджувати функції та будувати графіки.

Головним завданням є:

  • формування поняття періодичності функцій;

  • дослідження властивостей тригонометричних функцій, заданих аналітично і графічно, і побудова їх графіків, зокрема за допомогою геометричних перетворень;

  • опис гармонічних коливань за допомогою тригонометричних функцій.

Забезпечення готовності до навчання

Готовність до навчання у даному модулі забезпечується актуалізацією навча­льного матеріалу щодо означень тригонометричних функцій, їх значень для деяких кутів, основних співвідношень між тригонометричними функціями того самого ар­гументу, а також повторенням загальної схеми дослідження функцій та методів по­будови їх графіків.

Для повторення матеріалу можна використати таблиці підручника, де наводяться властивості функцій, схема читання графіків функцій, а також підсумки вивчення двох попередніх модулів.

Вивчення теоретичного матеріалу

Теоретичний матеріал даного модуля має три складові: введення поняття пері­одичності функції, дослідження властивостей тригонометричних функцій та побу­дова їх графіків, розгляд гармонічних коливань.

Поняття періодичної функції є одним із важливих понять шкільного курсу ма­тематики і таким, що важко засвоюється учнями. Значущість цього поняття пов'язано насамперед з його застосуванням до опису реальних процесів. Воно важ­ливо з точки зору формування світогляду, бо створює передумови для вивчення учнями періодичних процесів і прийомів дослідження таких процесів.

При розгляді тригонометричних функцій та їх графіків у підручнику викорис­товується наступна схема дослідження функцій, доповнена дослідженням періодич­ності: вказується область визначення функції, встановлюється їх періодичність (в тому числі і основний період), парність або непарність, знаходяться нулі функції, проміжки знакосталості, проміжки зростання чи спадання, множина значень, вирі­шується питання про неперервність. Після розгляду властивостей тригонометричних функцій будуються їхні гра­фіки.

Перетворення графіків тригонометричних функцій (паралельне перенесення графіка вздовж координатних осей, стиск і розтяг графіка, симетричне відображення відносно координатних осей) можна розглянути, якщо дозволяють умови навчання, на прикладах, користуючись загальними підходами, які викладені у розділі 1 .

Одним із найважливіших застосувань тригонометричних функцій є дослі­дження періодичних процесів, зокрема гармонічних коливань. Для їх вивчення у підручнику розглядається рівномірний рух точки по колу з деяким радіусом і де­якою кутовою швидкістю і проекції точки, що рухається, на діаметри кола. За допо­могою тригонометричних функцій встановлюється закон руху точки, тобто її коор­динати у будь-який момент часу. Стосовно гармонічних коливань у підручнику вво­дяться такі поняття: амплітуда, початкова фаза, кутова швидкість, період, фаза ко­ливання.

Нижче наводиться орієнтовний план вивчення даного модуля.

Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій.

Гармонічні коливання. (5 год.)

1

Періодичність тригонометричних функцій.

Засвоєння нових знань

2

Властивості та графіки

Засвоєння нових знань

3

Властивості та графіки

Засвоєння нових знань

4

Тригонометричні функції та їхні властивості.

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок

5

Гармонічні коливання.

Засвоєння нових знань


Організація самостійної роботи і

контролю за засвоєнням навчального матеріалу



Властивості тригонометричних функцій

Варіант 1

  1. Заповнити таблицю


Функція


Властивості функції









Періодичність





Нулі функції





Проміжок, на якому





Проміжок, на якому





Проміжок, на якому функція зростає





Найменше значення функції





2. Побудувати графік функції


Варіант 2


  1. Заповнити таблицю

Функція


Властивості функції









Парність





Нулі функції





Проміжок, на якому





Проміжок, на якому





Проміжок, на якому функція спадає





Найбільше значення функції






  1. Побудувати графік функції







Гармонічні коливання

Варіант 1


За графіком:

  1. Знайдіть амплітуду, період і початкову фазу цього коливання.

  2. Обчисліть координату точки в момент часу

  3. В які моменти часу координата точки набуває найбільшого значення?

Варіант 2


За графіком:

  1. Знайдіть амплітуду, період і початкову фазу цього коливання.

  2. Обчисліть координату точки в момент часу

  3. В які моменти часу координата точки набуває найбільшого значення?


Підводячи підсумки вивчення теми, доцільно звернути увагу на порівняння властивостей синуса і косинуса, тангенса і котангенса. Але головну увагу слід при­ділити властивостям і графікам синуса і косинуса, оскільки ці функції мають ширше застосування.

3.5 Тригонометричні формули додавання і наслідки з них.

Основні завдання

Головними завданнями навчального модуля є:

  • формування вмінь за значеннями тригонометричних функцій від і обчислювати значення тригонометричних функцій від + і ; за значеннями триго­нометричних функцій від а обчислювати їх значення від 2 і ;

  • формування вмінь перетворювати суму і різницю однойменних тригонометри­чних функцій у добуток.

Забезпечення готовності до навчання

Готовність до навчання у даному модулі забезпечується актуалізацією навча­льного матеріалу щодо означень тригонометричних функцій, їх значень для деяких кутів, основних співвідношень між тригонометричними функціями того самого ар­гументу, формул зведення; властивостей парності і непарності тригонометричних функцій, їх періодичності; повторенням векторів та дій над ними.

Для повторення матеріалу можна звернутись до підсумків вивчення трьох по­передніх модулів.

Вивчення теоретичного матеріалу

У цьому навчальному модулі розглядається велика група формул, яка пов'язана з тим, що поворот на кут + можна реалізувати за допомогою двох по­воротів на кут і на кут . Ці формули називають формулами додавання.

Виведення формул подвоєного аргументу безпосередньо з формул додавання за­звичай не викликає труднощів в учнів. Важливо, щоб учні розуміли, що у цих формулах будь-який аргумент можна розглядати як подвоєний, зокрема а є подвоєним аргументом .

У підручнику для учнів, які виявляють інтерес до занять математикою наведе­ні формули універсальної підстановки, але їх недоцільно розглядати в класі.^

Розгляд формул перетворення добутку тригонометричних функцій у суму програмою не передбачається.

В якості вправ учням можна пропонувати доведення формул, які не розглядались в класі.

Система завдань, спрямована на формування вмінь застосовувати ці формули, насамперед має містити вправи на:

а) знаходження значень виразів шляхом переходу від лівої частини формули до її правої частини із вказівкою, яку формулу слід застосувати;

б) знаходження значень виразів шляхом переходу від правої частини формули до лівої;

в) відшукання формули, за допомогою якої можна розв'язати завдання, з наступним її застосуванням;

г) перетворення за зразком;

ґ) перетворення виразів за допомогою формул, де доводиться вибрати необхідну формулу, з'ясувати, що ще необхідно знати, щоб її застосувати.

Нижче наводиться орієнтовний план вивчення даного модуля.


Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Тригонометричні формули додавання і наслідки з них. (4 год.)

1

Формули додавання

Засвоєння нових знань

2

Формули подвійного і половинного аргументів

Засвоєння нових знань

3

Формули подвійного і половинного аргументів

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок

4

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій. Перетворення добутку тригонометричних функцій на суму

Засвоєння нових знань


Організація самостійної роботи і

контролю за засвоєнням навчального матеріалу

Самостійну роботу учнів на уроках можна забезпечити за допомогою задач, наведених у підручнику.

Але можна запропонувати і спеціальну самостійну роботу. Наведемо її.

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них

Варіант 1

  1. Знайдіть значення виразу:

  1. ; 2) .

  1. Спростіть вираз: .

  2. Доведіть тотожність


Варіант 2

  1. Знайдіть значення виразу:

  1. ; 2)

  1. Спростіть вираз: .

  2. Доведіть тотожність


Щодо контрольних запитань, то вони можуть бути використані викладачем для поточного контролю засвоєння учнями основних понять і фактів теми, а також уч­нями для самоконтролю при засвоєнні теоретичного матеріалу.


3.6 Найпростіші тригонометричні рівняння

Головним завданням навчального модуля є формування:

- вмінь розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння, зокрема знахо­дити ті їхні розв'язки, які задовольняють певні умови.

Забезпечення готовності до навчання

Готовність до навчання у даному модулі забезпечується актуалізацією озна­чень тригонометричних функцій, їх значень для деяких кутів, тригонометричних формул; властивостей тригонометричних функцій та їх графіків.

Для повторення матеріалу можна скористатися підсумками вивчення попере­дніх модулів.

Вивчення теоретичного матеріалу

Особливістю даного навчального модуля є те, що у ньому створюються перед­умови для систематизації знань учнів, пов'язаних зі всією темою. Тут знаходять за­стосування означення тригонометричних функцій, їх геометрична інтерпретація, властивості тригонометричних функцій, їхні графіки, численні тригонометричні фо­рмули. Крім того, цей навчальний модуль дає змогу повторити алгебраїчний матері­ал (рівняння, нерівності, методи їх розв'язання).

Фактично новим для учнів у цьому модулі є введення понять «арксинус чис­ла», «арккосинус числа» і т. д., їх використання для запису розв'язків рівняння або нерівності на відрізку, довжина якого дорівнює основному періоду функції, одержання загальної формули для запису всіх розв'язків найпростішого тригонометричного рівняння або нерівності з врахуванням періодичності відповідної функції.

Поняття арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккотангенса застосовуються у підручнику для запису розв'язків найпростіших тригонометричних рівнянь на про­міжках, де відповідні функції є монотонними.

У підручнику розв'язки рівняння ілюструються як за допомогою тригонометричного кола, так і за допомогою графіка синуса.

При розгляді найпростіших тригонометричних рівнянь певну увагу слід при­ділити знаходженню тих розв'язків рівнянь, які належать заданому проміжку або за­довольняють деякі інші умови. Йдеться про найменший додатний або найбільший від'ємний корінь рівняння, про умови, які визначають знак якоїсь функції, не обов'язково тригонометричної, або про деяке співвідношення між тригонометрич­ними функціями. Ці задачі не потребують додаткових знань учнів.

Під час розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей учні стика­ються із значними труднощами. Тому слід звернути увагу на ряд положень:

  1. найпростіші тригонометричні нерівності доцільно розв'язувати, звертаю­чись до графічної інтерпретації (до графіка або до тригонометричного кола). Жодні додаткові формули до тих, що є, непотрібні.

  2. оскільки тригонометричні функції періодичні, то зручно спочатку знаходи­ти множину розв'язків даної нерівності на проміжку, довжина якого дорівнює основному періоду відповідної функції.

3) множиною всіх розв'язків нерівності є об'єднання безлічі проміжків.

Ці положення проілюстровані у підручнику на численних прикладах.

Нижче наводиться орієнтовний план вивчення даного модуля

Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Найпростіші тригонометричні рівняння (4 год.)

1

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Найпростіші тригонометричні рівняння.

Засвоєння нових знань

2

Розв’язування найпростіші тригонометричні рівняння.

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок

4

Найпростіші тригонометричні рівняння

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок



Організація самостійної роботи

і контролю за засвоєнням навчального матеріалу


Найпростіші тригонометричні рівняння

Варіант 1

  1. Дано рівняння

  1. Розв'яжіть його.

  2. Знайдіть його найменший додатний розв'язок.

  3. Знайдіть всі його розв'язки на відрізку


Варіант 2

  1. Дано рівняння

  1. ° Розв'яжіть його.

  2. ° Знайдіть його найбільший від'ємний розв'язок.

  3. Знайдіть всі його розв'язки на відрізку .




4.Тематичне оцінювання з теми «Тригонометричних функції»


4.1. Тематичне тестування

Варіант 1

  1. Дано прямокутний трикутник ABC (див. рисунок). Синус кута А дорівнює...


А

Б

В

Г


  1. Градусна міра кута радіан дорівнює...

А

Б

В

Г

150°

330°

210°

420°

3. Скільки чисел на проміжку [ ] відповідають точці тригонометричного кола з абсцисою, що до­рівнює 1?

А

Б

В

Г

П'ять

Чотири

Три

Два


4. Колесо робить 2 оберти за секунду. На який кут воно повернеться за 2 с?

А

Б

В

Г

1440°

1080°

720°

360°

5. Скільки чисел t із проміжку [ ] задовольняють умову sin t =1?

А

Б

В

Г

Два

Три

Чотири

Шість

6. Синус числа може дорівнювати…

А

Б

В

Г

7. Знайдіть значення sin , якщо cos = - 0,8 і < <2 .


А

Б

В

Г

0,2

0,6

-0,6

-0,36

  1. Розташуйте числа а= , b= , с= за спаданням.

    А

    Б

    В

    Г

    b>c>a

    c>a>b

    c>b>a

    a>b>c

  2. Обчисліть:

    А

    Б

    В

    Г

    0

    1

  3. На рисунку зображено графік функції . На відрізку [ ] функція набуває від’ємних значень при …

А

Б

В

Г

)

  1. На якому з наведених рисунків зображено графік функції

    А

    Б

    В

    Г

  2. Області визначення функції не належить число…


А

Б

В

Г

0

  1. Найбільше значення виразу дорівнює…

    А

    Б

    В

    Г

    2

    1

    0

    3

  2. Найменший додатний період функції

    А

    Б

    В

    Г

  3. На рисунку зображено графік функції . Функція зростає на проміжку …

    А

    Б

    В

    Г

  4. Парною є функція…

А

Б

В

Г


  1. Проекція на вертикальний діаметр точки, що обертається по колу, здійснює гармонічні коливання за законом . З якою, кутовою швидкістю вона рухається?


А

Б

В

Г

5

3

  1. Обчисліть: sin l470°.

    А

    Б

    В

    Г

  2. Значення виразу arccos( ) + arcsin l дорівнює…

    А

    Б

    В

    Г

  3. Графік функції у =2cosx проходить через точ­ку...

    А

    Б

    В

    Г

  4. Чому дорівнює значення виразу


А

Б

В

Г

-1

  1. Спростіть вираз .


А

Б

В

Г

-ctg

ctg

-tg2

  1. Не має коренів рівняння...

    А

    Б

    В

    Г

  2. На рисунку зображено графіки функцій y=tgx, і y= . Скільки розв’язків має рівняння xtgx=1 на проміжку ?

А

Б

В

Г

Два

Безліч

Жодного

Один






Варіант 2

  1. Д ано прямокутний трикутник ABC (див. рисунок). Косинус кута А дорівнює...

А

Б

В

Г


  1. Градусна міра кута радіан дорівнює...

    А

    Б

    В

    Г

  2. Скільки чисел на проміжку ( ) відповідають точці тригонометричного кола з ординатою, що до­рівнює 1?

    А

    Б

    В

    Г

    Жодного

    Одне

    Два

    Три

  3. Колесо за 3 с повернулося на кут 2160°. Скільки обертів робить колесо за секунду?

    А

    Б

    В

    Г

    Шість

    Три

    Два

    Один

  4. Скільки чисел t із проміжку [ ] задовольняють умову tg t =0?

    А

    Б

    В

    Г

    Одне

    Чотири

    Два

    Три

  5. Косинус числа не може дорівнювати…

    А

    Б

    В

    Г

  6. Знайдіть значення cos , якщо sin = - 0,6 і < < .

    А

    Б

    В

    Г

    0,4

    0,8

    -0,8

    -0,64

  7. Розташуйте числа а= , b , с= за зростанням.

    А

    Б

    В

    Г

    b<a<c

    b<c<a

    a<b<c

    a<c<b

  8. Обчисліть:

    А

    Б

    В

    Г

    -1

    0

  9. На рисунку зображено графік функції . На відрізку [ ] функція набуває від’ємних значень при …


А

Б

В

Г

)

  1. На якому з наведених рисунків зображено графік функції


А

Б

В

Г

  1. Області визначення функції не належить число…

    А

    Б

    В

    Г

  2. Найбільше значення виразу дорівнює…

    А

    Б

    В

    Г

    -2

    -1

    0

    1

  3. Найменший додатний період функції

    А

    Б

    В

    Г

  4. На рисунку зображено графік функції . На відрізку [ ] функція ає на проміжку …

    А

    Б

    В

    Г

  5. Непарною є функція…

    А

    Б

    В

    Г

  6. Проекція на вертикальний діаметр точки, що обертається по колу, здійснює гармонічні коливання за законом . Амплітуда коливання дорівнює…

    А

    Б

    В

    Г

    5

    3

  7. Обчисліть:

    А

    Б

    В

    Г

  8. Значення виразу arcsin ( ) + arcos(- l) дорівнює…

    А

    Б

    В

    Г

  9. Графік функції у =2tgx проходить через точ­ку...

    А

    Б

    В

    Г

  10. Чому дорівнює значення виразу ?

    А

    Б

    В

    Г

    -1

  11. Спростіть вираз .

    А

    Б

    В

    Г

    1+

    2tg

  12. Не має коренів рівняння...

    А

    Б

    В

    Г

  13. На рисунку зображено графіки функцій , і y= -. Скільки розв’язків має рівняння =1 на проміжку ?

А

Б

В

Г

Жодного

Один

Два

Три








Відповіді до тематичного тесту


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Варіант 1

Б

Г

В

А

А

Г

В

Б

А

Б

А

Б

Б

Варіант 2

В

Б

Б

В

Г

В

В

А

А

Г

А

В

В


14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25


Варіант 1

Г

А

Г

А

В

Г

А

В

А

В

В

Г


Варіант 2

Г

А

Б

В

А

Г

Г

В

Г

В

Б

Б


4.2 Контрольна робота з теорії

Для діагностики оволодіння теоретичним матеріа­лом за темою «Тригонометричні функції» можна за­пропонувати такі теми математичних творів:

  1. Функція у = sin х.

  2. Функція у= cos х.

  3. Рівняння sin х = а.

  4. Рівняння cos х = а.

У процесі підготовки до написання цієї роботи ра­зом із учнями бажано розробити загальний план на­писання твору. Для вказаних перших двох тем він однаковий, а саме:

  1. означення синуса (косинуса);

  2. властивості функції;

  3. графік функції;

  4. застосування функції.

План написання твору з двох останніх тем може бути таким:

  1. умови існування розв'язків;

  2. запис чисел з проміжку [0;2 ], значення відпо­відних функцій від яких дорівнюють а;

  3. означення і властивості чисел arcsina(arccosa);

  4. загальний розв'язок рівняння;

  5. окремі випадки, (а =0, );

  6. розв'язки рівняння, які задовольняють певні умови;

  7. застосування рівняння.


4.3 Домашня залікова робота

Для формування домашньої залікової роботи за те­мою «Тригонометричні функції» пропонуються наступні задачі.

  1. Визначте знак виразу:

    1. 2) 3) tg163 4)

  2. Обчисліть значення кожної з тригонометричних функцій, якщо:

    1. ; 2) 2 ;

    1. ; 4)

  1. Спростіть вираз:

    1. ; 3)

    2. 4) ;

    1. ; 6) + .

  1. Користуючись формулами зведення, обчисліть:

    1. 2) 3) tg ; 4) ctg ;

    1. 6) 7) tg ); 8) ctg

  1. Знайдіть усі числа з проміжку [0,2 ], які задо­вольняють умову:

    1. 2) 3) tg )=0;

    1. 3) ctg 4)

  1. Чому дорівнює f(5), якщо функція у = f(x) є пе­ріодичною з періодом 3 і f(-1)=0?

  2. Знайдіть найменший додатний період, якщо він існує, для функції:

    1. y=3sin ; 2) y=2ctg ;

    1. y=tg5x; 4) y=cos3x.

  1. Обчисліть:

    1. 3) tg4440°;

    2. 4) ctg (-3390°).

  1. Дано функцію у = f(x), де f(x) = cos x.

  1. Побудуйте її графік на відрізку [-2 ; ].

  2. Знайдіть на цьому відрізку проміжки, на яких функція спадає.

  3. Порівняйте без обчислювальних засобів числа f і f .

  4. У яких точках проміжку [-2 ; ]функція у = cos x набуває значення

  5. Укажіть проміжки, на яких графік функції у = cos x, лежить нижче від прямої y=-

  1. Дано функцію у = f(x), де f(x)= . Знайдіть:

  1. область її визначення;

  2. проміжки, на яких її знаменник спадає;

  3. чи є функція парною чи непарною;

  4. розв'язки рівняння f(x)= -1;

  5. множину її значень;

  6. найбільше та найменше значення функції, якщо вони існують;

  7. проміжки, на яких функція зростає.

  1. Дано функцію у = f(x), де f(x)=tgx.

  1. Побудуйте її графік на відрізку .

  2. Порівняйте без обчислювальних засобів числа f( ;
    f(-2) і f(-3).

  3. У яких точках проміжку функція y=tgx набуває
    значення - 1?

  4. Укажіть проміжки, на яких графік функції у = tgх, х , лежить нижче від прямої у = -1.

  5. Скільки точок розриву має функція у = f(x) на відрізку ?

  1. Знайдіть область визначення функції y= .

  2. Порівняйте без обчислювальних засобів числа f (- .

12. 3найдіть амплітуду, період і початкову фазу гар­монічного коливання, яке задано формулою.

1) y=2 2) y=

3) y=2 4) y=

13. Напишіть рівняння гармонічного коливання, якщо: амплітуда дорівнює 3, період 0,5 с, початкова фаза - .

14. Знайдіть:

    1. , якщо ;

    2. , , якщо

    3. ,

    4. , 180

  1. Знайдіть:

    1. , , якщо , ;

16. Дано рівняння sin 2x = .

1) Розв'яжіть його.

2) Знайдіть його найменший додатний розв'язок.

3) Знайдіть усі його розв'язки на відрізку [ ;2 ].

4) Скільки розв'язків воно має на відрізку [ ; 10 ]?

5) Знайдіть усі його розв'язки, що задовольняють умову cos х<0.

17. Дано рівняння tg

1) Розв'яжіть його.

2) Знайдіть усі його розв'язки на відрізку [- ; 3 ].

3) Скільки розв'язків воно має на відрізку [0; 10 ]?

4) Знайдіть усі його розв'язки, що задовольняють умову sin х>0.

18. Дано рівняння

  1. Розв'яжіть його.

  2. Знайдіть усі його додатні розв'язки.

  3. Знайдіть його найбільший від'ємний корінь, не користуючись обчислювальними засобами.

4.4 Тематична контрольна робота


Контрольна робота за темою «Тригонометричні функції»

Варіант 1

1. Дано функцію у = f(x), де f(x)=2 .

1) З'ясуйте, чи є функція у = f(x)парною або не­парною.

2) Чи є функція у = f(x) періодичною? Якщо так, то знайдіть її основний період.

3) Побудуйте її графік на проміжку [- ; ].

  1. Знайдіть множину значень функції у = f(x).

  2. Знайдіть координати точок перетину графіка функції у = f(x).

а) з прямою х = ;

б) з віссю абсцис на проміжку [- ; ];

в) з прямою у =-1.

2. Дано рівняння sin2x = .

1) Розв'яжіть його.

2)Знайдіть його найменший додатний корінь.

  1. Знайдіть ті його розв'язки, які належать проміжку [2 ; 3 ].

  2. Знайдіть ті його розв'язки, які задовольняють умову tgx 0.

  3. При яких значеннях х функція у =sin2x набуває значень, менших від ?

Варіант 2

1. Дано функцію у = f(x), де f(x)= .

1) З'ясуйте, чи є функція у = f(x) парною або не­парною.

2) Чи є функція y = f(x) періодичною? Якщо так, то знайдіть її основний період.

3) Побудуйте її графік на проміжку [ ; 3 ].

  1. Знайдіть множину значень функції у = f(x).

  2. Знайдіть координати точок перетину графіка функції у = f(x):

а) з прямою х =

б) з віссю абсцис на проміжку[ ; 3 ];

в) з прямою у = -0,25.

2. Дано рівняння .

1) Розв'яжіть його.

2) Знайдіть його найменший додатний корінь.

  1. Знайдіть ті його розв'язки, які належать проміж­ку[ ; 2 ].

  2. Знайдіть ті його розв'язки, які задовольняють умову tg x 0.

  3. При яких значеннях х функція у = набуває значень менших від

4.5 Приклади завдань з ЗНО

Тригонометричні вирази.

Завдання мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.

1. Спростити вираз

А

Б

В

Г

Д

2. Спростити вираз .

А

Б

В

Г

Д

1

3. Відомо, що .Якого значення може набувати ?

0

Б

В

Г

Д

-1

0

1


4.Знайти значення виразу , якщо .

А

Б

В

Г

Д

2

2,9

3,1

3,96

2,92

5. Знайти значення виразу .

А

Б

В

Г

Д

0



6.

А

Б

В

Г

Д

0

1

2

3

4

7.


А

Б

В

Г

Д

2

0

1

8. =…

А

Б

В

Г

Д

1

9.


А

Б

В

Г

Д

10. =…

А

Б

В

Г

Д

11. =…


А

Б

В

Г

Д

12. Знайти значення виразу .

А

Б

В

Г

Д

0,5

-0,25

-0,5

-2

0,25

13.

А

Б

В

Г

Д

1


14.

А

Б

В

Г

Д

15. Обчислити:

А

Б

В

Г

Д

3

-3

16.

А

Б

В

Г

Д

0,3

17. Розв’язати рівняння

А

Б

В

Г

Д

18. Розв’язати рівняння

А

Б

В

Г

Д

19. Розв’язати рівняння

А

Б

В

Г

Д

20. Розв’язати рівняння

А

Б

В

Г

Д

0


21. Указати рівняння, яке має хоча б один корінь.

А

Б

В

Г

Д

22. Указати рівняння, яке має тільки один корінь.

А

Б

В

Г

Д


23. Розв’язати рівняння .

А

Б

В

Г

Д

24. Знайти корінь рівняння , який належить проміжку .

А

Б

В

Г

Д

25. Розв’язати рівняння

А

Б

В

Г

Д

Рівняння коренів немає

26.Розв’язати рівняння .

А

Б

В

Г

Д


27. Розв’язати рівняння

А

Б

В

Г

Д

28. Розв’язати рівняння .

А

Б

В

Г

Д

29. Розв’язати рівняння .

А

Б

В

Г

Д


30. Розв’язати рівняння .

А

Б

В

Г

Д


До кожного рядка, позначеного ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позначений БУКВОЮ, і поставте позначки на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви)

1. Установити відповідність між виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д).

2. Установити відповідність між виразами (1-4) та виразами, які їм дорівнюють (А-Д).

3. Установити відповідність між виразами (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д)


4. Одна із сторін кута збігається з додатною піввіссю абсцис, а інша перетинає одиничне коло в точці . Установити відповідність між тригонометричними функціями кута (1-4) та їх значеннями (А-Д).










5. – кут І чверті. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д).








6. кут першої чверті, . Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д).

7. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та тотожно рівними їм виразами (А-Д).

8. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д).

9. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д).

10. кут другої чверті, . Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д).

11. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та тотожно рівними їм виразами (А-Д).


12. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та тотожно рівними їм виразами (А-Д).


13. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів на відрізку (А-Д).


14. Установити відповідність між заданими рівняннями (1-4) та множинами їх коренів на проміжку (А-Д).

15. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та множинами їх коренів


16. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренів (А-Д).

17. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та кількістю їх коренів на відрізку (А-Д).

18. Установити відповідність між тригонометричними виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д).

19. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та їх коренів (А-Д).

20. Установити відповідність між рівняннями (1-4) та рівносильними їм рівняннями (А-Д).

Розв’яжіть завдання..






























ДОДАТОК

Теоретичні відомості за програмою з тригонометрії


Основні означення


С инусом числа α називається ордината точки Рα, утвореної пово­ротом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α раді­ан (позначається sin α).

Синус визначений для будь-якого числа α.

Значення синуса змінюється від (-1) до 1, тобто


Косинусом числа α називається абсциса точки Рα, утвореної по­воротом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається cos α)

Косинус визначений для будь-якого числа α. Значення косинуса змінюється від (-1) до 1, тобто .


Т ангенсом числа α називається відношення синуса числа α до його косинуса: .

Тангенс визначений для всіх а, крім тих значень, для яких cos α = 0, тобто, α = + πn, n Ζ.


К отангенсом числа α називається від­ношення косинуса числа α до його синуса: .

Котангенс визначений для всіх α, крім таких значень, для яких sin α 0, тобто, a = π n, n Ζ.






Знаки тригонометричних функцій.


чверть

І

+

+

+

+

ІІ

+

-

-

-

ІІІ

-

-

+

+

ІV

-

+

-

-




Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутів






0


1


0


-1


1


0


-1


0



0


1



-



-1


0


-


-



1


0


-1



-


0





Співвідношення між тригонометричними функціями

одного і того ж аргументу




Формули зведення


Аргумент



Формули додавання

; ;

; ;

;

;



Формули подвійного аргументу


;


Формули половинного аргументу

;

;

;

;

; ;

;

Формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій

у добуток

;

;

;

;


;

;

;

Формули перетворення добутку функцій

;


Формули пониженого степеня




Графік функції


Крива, яка є графіком функції у = sin x, називається синусої­дою.



Графік функції

Крива, яка є графіком функції у = cos x, називається косинусої­дою.

Г рафік функції


Графік функції у = tg називається тангенсоїдою.

Графік функції

Графік функції у = tg x називається котангенсоїдою.


Властивості тригонометричних функцій



















































СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ



  1. http://www.zavuch.info/component/mtree/tochnie/algebra/algebrapresent/prez-po-trigonom.html

  2. http://festival.1september.ru/articles/500293/

  3. http://wiki.kem-edu.ru/index.php5

  4. http://letopisi.ru/index.php/

  5. Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу : підруч. Для 10 кл. загально- освит. навч. закладів : академ.рівень.-Х.: Гімназія, 2010.

  6. Роганін О.М. Тест-контроль. Алгебра і початки аналізу+геометрія. 10 клас.-Харків: ФОП Співак В.Л., 2010.




Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу.

Увага! Автор матеріалу забороняє відтворення, передрук або розповсюдження іншим способом цього матеріалу з сайту «ВСЕОСВІТА» (тексти, фото, відео тощо). Дозволяється лише гіперпосилання на сам матеріал.