Навчальний проект "Музика – математична чи математика – музична?"

Математика

Для кого: 10 Клас, 11 Клас

15.07.2019

4071

126

0

Опис документу:
З давніх пір до нас дійшов афоризм, що математика і музика — сестри. А здавалося б, що спільного між наукою, що користується суворою логікою доказів при вивченні природи і музикою — одним із прекрасних видів мистецтва, твори якого створюються в пориві натхнення?
Перегляд
матеріалу
Отримати код

ЖИТОМИРСЬКИЙ КОЛЕДЖ КУЛЬТУРИ І МИСТЕЦТВ ІМЕНІ ІВАНА ОГІЄНКА

Навчальний проект

Керівник проекту: Лук’янчук І.І.

Житомир, 2019

Зміст

Вступ 3

  1. Історичний аспект: зародження теорії музики як розділу математики 5

  2. Використання математичних знань у музиці 8

    1. Цифрові позначення та ритм 8

    2. Аналогія теоретичних понять 10

    3. Гармонічні коливання у музиці 12

    4. Логарифми у музичній теорії 14

  3. Математичні закономірності у творах видатних композиторів 19

  4. Чи є музика у математиці? 24

Висновки 26

Список використаних джерел 27

Вступ

Послухай: музика навкруг,

Вона невидима в природі

Та для незлічених мелодій

Народжує найкращий звук…

Без музики немає фантазії і злету. Вона живе і дихає не тільки в серці композитора і артиста, але і у кожного з нас. Музика впливає на життя людини, а життя — породжує музику.

Важко собі й уявити життя людей без математики — у цьому не допоможе навіть найсміливіша фантазія.

Математика — це мова плюс міркування. Це мова й логіка разом. Вона може обійтися навіть зовсім без слів. Не існують для неї мовні перешкоди, бо її мова, як мова музики, зрозуміла для всіх людей світу

Незвична краса панує в царині математики, краса подібна не так до краси мистецтва, як до краси природи, до краси музики.

З давніх пір до нас дійшов афоризм, що математика і музика сестри. А здавалося б, що спільного між наукою, що користується суворою логікою доказів при вивченні природи і музикою одним із прекрасних видів мистецтва, твори якого створюються в пориві натхнення?

Світове мистецтво багато чим зобов'язане математиці. Приклад цьому  численні найдавніші споруди, вежі, палаци та інші твори архітектури.

Спробуємо знайти спільні точки дотику точної науки математики і прекрасного, витонченого мистецтва музики.

Мета роботи: встановити зв'язок між музикою і математикою, показати значення математики в розвитку музики та перевірити можливість існування музики в теорії математики.

Гіпотеза: і музика математична, і математика музична; математика – музика розуму, музика — математика почуттів.

Завдання дослідження:

  • розширити свої знання про взаємозв'язок музики і математики;

  • з'ясувати історичні передумови зв'язку математики і музики;

  • описати математичні знання, що використовуються у музичній теорії;

  • знайти математичні закономірності у творах видатних композиторів;

  • дізнатися чи можуть ці знання стати в нагоді нам у повсякденному житті?

Ось, що говорив далекий від математики, відомий піаніст Генріх Нейгауз: «Роздумуючи про мистецтво і науку, про їх взаємні зв'язки і суперечності, я прийшов до висновку, що математика і музика знаходяться на крайніх полюсах людського духу, що цими двома антиподами обмежується і визначається вся творча духовна діяльність людини і, що між ними розміщується все, що людство створило в області науки і мистецтва.»

Американський математик Моріс Клайн стверджував: «Музика може возвеличувати чи умиротворювати душу, живопис - милувати око, поезія – пробудити почуття, філософія – задовольняє потреби розуму, а математика здатна досягнути всього цього.»

Джеймс Джозеф Сильвестр  – англійський математик: «Хіба не можна музику описати як математику почуття, а математику – як музику розуму? Адже суть обох та сама!»

  1. Історичний аспект: зародження теорії музики як розділу математики

Слово «музика» означає мистецтво, що відображає дійсність у звукових художніх образах. Це вид мистецтва, художнім матеріалом якого є звук, особливим чином організований в часі.

Музика в Стародавній Греції була найважливішим засобом впливу на моральний світ людини. Тут зародилися такі поняття як мелодія, гармонія, ритм, хор, оркестр, рапсодія, симфонія. Музика завжди супроводжувала всі спортивні змагання, а також Олімпійські ігри.

Математика - цариця всіх наук, символ мудрості. Краса математики є однією із сполучних ланок між наукою і мистецтвом. Це наука про структури, порядок та відношеннях, яка історично склалася на основі операцій підрахунку, вимірювання та опису форм реальних об'єктів.

Між математикою і музикою розміщується вся творча духовна діяльність людини.

У Стародавній Греції музика прямо вважалася частиною математики, а ще точніше, розділом теорії чисел. Першим, хто спробував висловити красу музики за допомогою чисел, був Піфагор (мал.1) - той самий, чиїм ім'ям названа знаменита теорема, і у XVII столітті французький філософ, фізик, математик Марен Мерсен в трактаті «Істина наук проти скептиків або піроніків" також розглядав музику як галузь математики.

Піфагор був не лише математиком і філософом, а й теоретиком музики. Він займався пошуками музичної гармонії, оскільки вірив у те, що така музика необхідна для очищення душі і лікування тіла, і здатна допомогти розгадати будь-яку таємницю. Одного разу, проходячи повз кузню, Піфагор випадково почув, як удари молотів створюють певне співзвуччя, і після цього зайнявся експериментами, намагаючись знайти співвідношення між висотою тону і числами. За допомогою чаші з водою і однострунної арфи він вивчив взаємозв'язок між рівнем води і довжиною струни і виявив, що половина довжини струни піднімає ноту на одну октаву вгору.

Вісім звуків - до, ре, мі, фа, соль, ля, сі, до - найдавніша музична гама. У наші дні темперована гама включає в себе дванадцять нот, включаючи діези і бемолі, але в основі її лежить винахід, за який ми повинні дякувати Піфагору. Існує припущення, що лад Піфагора - його гаму - удосконалив Архит, але і в античній Греції, і в епоху Відродження гаму з восьми звуків називали діатонічною гамою Піфагора (мал. 2).

Піфагор вивчав інтервали, відкривав математичні співвідношення між різними звуками, використовуючи особливий інструмент – монохорд (мал. 3).

Принципи використання монохорду: одна із струн інструменту АВ слугує тільки для порівняння тону, інша струна СD натягується за допомогою гирі. Підвішуючи різні за вагою гирі, натягуючи більш товсту або тоншу струну, Піфагор досліджував звук струни СD, порівнюючи її з тоном стуни АВ. На основі цього формулювались різні закони коливання струн.

Давньогрецькому мислителю належить наступне висловлювання: «Вивчайте монохорд, і вам відкриються таємниці світобудови.»

Теорія музики Піфагора досягла навіть небес. Піфагор поділяв уявлення про сферичності світобудови і першим назвав Всесвіт «космосом». У ті часи крім Землі, Місяця і Сонця були відомі тільки Меркурій, Венера, Марс, Юпітер і Сатурн. Але ще Піфагор припустив існування «анти-Землі» і при цьому виділяв 10 небесних тіл. Зрозуміло, це твердження було тоді лише теоретичним: число «10» для нього символізувало гармонію Всесвіту. Пізніше він захопився ідеєю «музики сфер», прагнучи пов'язати консонантні (гармонійні) звуки з планетарними сферами. Він виходив з того, що інтервал в просторі між планетами - той же, що і шкала висоти музичного звуку. Кожна планета, рухаючись з постійною швидкістю, проходить певну відстань, створюючи звук. У міру того, як відстань планет від центру збільшується, а обертання планет прискорюється, звук стає вище. Саме так Піфагор уявляв собі музику, яка звучить у всьому Всесвіті. Про вплив музики на людину з давніх-давен було добре відомо багатьом вченим, однак на зв'язок музики і чисел першим вказав саме Піфагор.

Дослідженню музики присвячували свої роботи багато відомих математиків: Рене Декарт, Готфрід Лейбніц, Християн Гольдбах, Жан Д’Аламбер, Леонард Ейлер, Данило Бернуллі. Перша праця Рене Декарта - "Compendium Musicae" ("Трактат про музику”), перша велика робота Леонарда Ейлера - "Дисертація про звук». Ця робота 1727 року починалася словами: «Моєю кінцевою метою в цій праці було те, що я прагнув описати музику як частину математики.» Лейбніц в листі Гольдбаху пише: «Музика є прихована арифметична вправа душі, що не вміє рахувати», і Гольдбах йому відповідає: «Музика - це прояв прихованої математики

  1. Використання математичних знань у музиці

Один із засновників сучасної теоретичної фізики, лауреат Нобелівської премії, почесний доктор двадцяти провідних університетів світу, член багатьох академій наук Альберт Ейнштейн вважав: справжня наука і справжня музика вимагають однакового розумового процесу.

Разом з тим, досить довгий час не вщухають дискусії про те, що музика і така точна наука, як математика, не можуть бути пов'язані.

    1. Цифрові позначення та ритм

Музика є таємнича арифметика душі;

Вона обчислює, сама того не підозрюючи.

Г. Лейбніц

Найважливіші математичні особливості в музиці – це ритм та тривалість.

Музика не може обійтися без нот, кожна з яких має певну тривалість. У назвах тривалості нот застосовуються дроби.  В музиці дроби використовували навіть в давнину.

Шістнадцята, восьма, четвертна, половинна, ціла (мал. 4) - назви тривалості нот є одночасно і назвами чисел: ціла нота – це 1, тобто вона триває 1 цілий такт, половинна нота це довжиною у півтакту, четвертна – це четверть такта і т.д.

Очевидно, що тривалість нот формуються так само, як дроби і виникають, як частина від цілої ноти.

Дроби виражають і розмір музичного твору. Вальс має розмір , марш -

 Знаннями про дроби користувалися майстри, які виготовляли музичні інструменти, наприклад, сопілки: на половині довжини свердлять дірочку – це нота до, на третині – ре на четвертині – мі. Дроби використовують для виготовлення дзвонів. Наприклад, церковний дзвін для красивого звучання повинен мати 81,94 % – міді, 17,21 % – олова, 0,035 % – сірки.

У музиці існує поняття: крапка біля ноти музичне «множення». Крапка біля ноти продовжує її звучання ще наполовину її тривалості.

Ритм – один із найважливіших елементів музики. Ритм – чергування тривалостей.

Від правильно підібраного ритму, залежить звучання мелодії.

    1. Аналогія теоретичних понять

Можна виділити декілька аналогів між математико та музикою:

  1. Варіації.

У математиці: число можна визначити і описати багатьма способами. Числа теж можна задавати словами, іноді це навіть зручніше, ніж звичайний цифровий запис і навпаки.

У музиці: композитор, розробляючи обрану ним тему, може варіювати її мелодійний малюнок, видозмінювати ритм і гармонію, тобто співзвуччя. Він може варіювати одночасно 2 або навіть 3 елементи.

  1. Паралелі.

У музиці, як і в математиці (мал. 6), зустрічаються паралелі.

Паралелі математичні

Паралелі музичні

Перш за все – це нотний запис (мал. 7) - п’ять паралельних прямих, що формують нотний стан.

Чому ноти розміщуються на паралельних прямих?

Музиканта цікавить не просто, що одна нота вище або нижче за іншу, а те на скільки саме вона вище або нижче. Паралельні лінії можна побачити не тільки в нотах, а й у зовнішній формі деяких музичних інструментів: струни арф або органні труби (мал. 8).

  1. Протилежності.

У музиці:

  • Повільний – швидкий темп;

  • високий – низький регістр;

  • гучний – тихий (динаміка);

  • швидкий – повільний (тривалість музичних звуків);

  • мажор – мінор (лад);

  • довгий – короткий (тривалість музичних звуків);

  • багатоголосся – одноголосся.

У математиці:

  • Від’ємне чисто - додатне число;

  • Число х – обернене число;

  • Плюс – мінус;

  • Додавання – віднімання;

  • Множення – ділення;

  • Парне число – непарне число;

  • Дільник – кратне;

  • Більше – менше;

  • Просте число - складене число;

  • Паралельно – перпендикулярно;

  • Пряма – крива.

    1. Гармонічні коливання та музика

У багатьох працях з акустики і звуку констатується факт поширеності механічних коливань в природі і техніці. Відчуття звуку передається нашому вуху за допомогою механічних коливань, частинок повітря, що створюють хвилі тиску і розрідження. У кожній точці повітряного середовища в певний момент часу цей тиск буде приймати певне значення, тому його можна буде виразити числом. А тому, ми зможемо записати осцилограму звукових коливань у вигляді кривої, що показує, як змінюється звуковий тиск у вибраній точці часу (мал. 9).

Графік найпростішого коливання являє собою синусоїду, яка в свою чергу є «портретом» чистого музичного тону, який звучить досить глухо і малоцікавий з музичної точки зору, але має яскраво виражену визначеність висоти. Порівняємо синусоїду з графіком «білого шуму», прикладом якого є шум оплесків або шум морського прибою і, який не має будь-якої певної висоти. Крива такого графіка більш схожа на випадковий, хаотичний набір імпульсів (мал.10).

Отже, звукові хвилі – це гармонічні коливання, що описується функцією синуса або косинуса, а частота – це характеристика цього коливання.

Тож, на основі переглянутого можна дати визначення музичного звуку. Це періодичні коливання, що продовжуються безперервно, і переходять одне в одне. Вони характеризуються висотою тону, гучністю і тембром. Коливання більшої частоти відповідають високому тону і навпаки, чим нижче частота, тим нижче тон.

Граючи мелодію на гітарі, струна набуває форми близької до синусоїди (мал. 11).

    1. Логарифми у музичній теорії

Навіть витончені мистецтва користуються нею.

Хіба музична гама не є набір передових логарифмів?

Е. Брілл

Музиканти рідко захоплюються математикою; більшість з них, маючи до цієї науки почуття поваги, вважає за краще триматися від неї подалі. Тим часом музиканти - навіть ті, які не перевіряють, подібно Сальєрі у Пушкіна, «алгеброю гармонію», - зустрічаються з математикою набагато частіше, ніж самі підозрюють, і до того ж з такими страшними речами, як логарифми.

Коли ми чуємо гру музичних інструментів або спів артиста, ми не замислюємося про природу звуку, покладеного в основу будь-якої музичної дії. Виявляється, існує наука - музична акустика, що об'єднує фізику, музику і математику.

Тон - важливе поняття акустики, безпосереднє сприйняття коливань, що виникають при звучанні струни, голосу. Для того, щоб зрозуміти, як людина відчуває звук, розпочнемо з опису вуха. Одна з частин вуха називається равликом. Назва цілком виправдана, оскільки форма цієї частини вуха дійсно нагадує равлика. Вона є спірально-закрученою трубкою, утвореною з 2,5 витків. Контур «равлика» середнього вуха можна порівняти з логарифмічною спіраллю у математиці.

Логарифмічна спіраль (мал. 12) є траєкторією точки, яка рухається вздовж прямої, що рівномірно обертається, віддаляючись від полюса зі швидкістю, пропорційною пройденій відстані. У логарифмічній спіралі куту повороту пропорційна не сама відстань від полюса до точки кривої, а логарифм цієї відстані. На малюнку видно, що ця спіраль перетинає усі прямі, що проходять через полюс під одним і тим же кутом.

Першим ученим, що відкрив цю дивовижну криву, був Рене Декарт (1596-1650). Особливості логарифмічної спіралі вражали не лише математиків. Її дивовижні властивості, зокрема інваріантність (збереження кута), дивують і біологів, які вважають саме цю спіраль свого роду стандартом біологічних об'єктів самої різної природи.

Розглянемо характеристики звуку. Сила звуку – ця кількість звукової енергії, що проходить через одиницю поверхні в одиницю часу. Ця фізична величина, як це недивно виглядає, не виражає величини нашого звукового відчуття - гучності. Ми стали слухати звуки різних частот, але однакової сили, вони здалися нам такими, що відрізняються по гучності. Ми зацікавилися цим. Таке явище пояснюється різною чутливістю нашого вуха до звуків різної частоти. Ми провели експеримент, стали збільшувати силу звуку в 2, 3, 4 рази, виявилось, що наше звукове відчуття (гучність звуку) в стільки ж разів не збільшується.

У 1846 фізіолог Вебер встановив залежність між відчуттям і роздратуванням, що викликає це відчуття. У 1860 році учений Фехнер піддав закон Вебера математичній обробці, згідно з яким відчуття змінюється пропорційно логарифму роздратування:

де S – відчуття, J0 – початкове роздратування, J – подальше роздратування, k – коефіцієнт пропорціональності.

Упродовж багатьох століть Піфагорова кома античної гами не давала спокою композиторам і музикантам. Її розподіл в музичній гамі був нерівномірний і обтяжував модуляції (переклад мелодії з тональності в тональність). Відкривалися різні музичні системи, які намагалися розв'язати цю проблему. Потрібно було знайти особливий підхід, який мав бути математично точним і музично прийнятним.

На початку XVIII століття, коли відкрили алгебру ірраціональних величин, окреслилися шляхи вирішення цієї старої нелегкої проблеми. Роботи німецьких музикантів А. Веркмайстера і М. Нейгарда дали початок її вирішенню і привели згодом до створення 12-звукового рівномірно темперованого ладу. У новому 12-ступенневому ладі октава стала складатися з 12 рівних півтонів.

Ми стали визначати залежність між частотою звуків ладу. Нехай х - величина, що показує, у скільки разів частота верхнього звуку більша частоти нижнього. Приймемо частоту самого нижнього звуку октави за 1. Відомо, що частота верхнього звуку октави більша частоти її нижнього звуку в 2 рази, а при переході до кожного із 12 півтонів частота збільшується в х разів.

Отримуємо рівняння:

; ; .

Отримане число називається коефіцієнтом темперованого ладу. За допомогою цього коефіцієнта, можна записати частоту кожного звуку музичної гами. Як правило, музиканти налаштовують свої інструменти по звучному ля - 440 герц. Знаючи частоту звуку ля, і використовуючи його, можна отримати усі частоти звуків першої октави фортепіано.

Наприклад, частота звуку ля-дієз дорівнює 4401,059 = 466,16Гц, а соль-дієз - 440 : 1,059 = 415,30Гц.

Отже, логарифми відношення частот дуже точно співпадають з розподілом октави на інтервали, рівні , які відповідають півтонам. Таким чином, два рівні півтони стали майже точно складати цілий тон. Використання логарифмічної шкали дає можливість рівномірно розподілити Піфагорову кому по усьому ладу. Якщо розділити її на 12 рівних частин і розподілити між 12 квінтами цього ладу, то кожна квінта зменшиться на 1/108 тонів. Це зовсім непомітно на слух і цілком прийнятно для музичного співзвуччя.

За допомогою 12-ступеневої шкали можна побудувати інтервали, які найбільш поширені в музиці.

Існує ще дрібніша одиниця - цент, що дорівнює одній сотій темперованого півтону або октави. Застосування цента використовується в музичних дослідах, які приводять до створення все нових і досконалих музичних інструментів.

Октава

Кварта

Септима

Терція

Секста

Секунда

Квінта

Фізик, професор А.А. Ейхенвальд писав: «Мій товариш по гімназії любив грати на роялі, але не любив математики. Він навіть говорив зі зневагою, що музика і математика не мають один з одним нічого спільного. Правда Піфагор знайшов якісь співвідношення між звуковими коливаннями, - але ж Піфагорова гама виявилася неприйнятною для нашої музики. Уявіть, як не приємно був вражений мій товариш, коли я довів йому, що, граючи по клавішах сучасного рояля, він грає, власне кажучи, на логарифмах.»

Допустимо, що нота до найнижчої октави – її будемо називати нульовою октавою - визначена n коливаннями в секунду. Тоді до першої октави робитиме в секунду 2n коливань, а m-й октави 2mп коливань і т.д. Позначимо усі ноти хроматичної гамми рояля номерами p, приймаючи основний тон до кожної октави за нульовий; тоді, наприклад, тон соль буде 7-й, ля буде 9-й і т.д.; 12-й тон буде знову до, тільки октавою вище. Оскільки в темперованій хроматичній гамі кожен подальший тон має в більше число коливань, чим попередній, то число коливань будь-якого тону можна виразити:

Логарифмуючи цю формулу, отримуємо

;

Приймаючи частоту найнижчого до за одиницю (n = 1) і, звівши усі логарифми до основи 2, маємо формулу

Звідси видно, що номери клавіш рояля — це логарифми кількості коливань відповідних звуків. Номер октави — характеристика (тобто ціла частина) логарифма, а номер звуку в даній октаві — його мантиса (тобто дробова частина).

Наприклад, в тоні соль третьої октави, тобто у числі 3+7/12 (≈ 3,583), число 3 є характеристика логарифма числа коливань цього тону, a 7/12 (≈0,583) - мантиса того ж логарифма при основі 2; число коливань, отже, в 23,583, тобто у 11,98 раз більше числа коливань тону до першої октави.

  1. Математичні закономірності у творах видатних композиторів

Роль математики в практичній діяльності людини настільки велика, що наш час називають епохою математичних знань. Годфрі Харді зазначав: «Вважаю, що математика – знаряддя, за допомогою якого людина пізнає і підкорює собі навколишній світ, а також підкорюється їй.»

«Чи не може музика бути описаною як математика почуттів, а математика як музика розуму? Так, наприклад, музикант відчуває музику, математик розуміє музику, – музика це мрія, математика – ділове життя - кожна повинна дістати своє завершення від другої, коли людський розум, піднесений до досконалого зразка, сяятиме далі, уславлений у якомусь майбутньому Моцартом – Діріхле чи Бетховеном – Гауссом – такий союз виразно виявляється в генії і працях Гельмгольца!» – англійський математик Дж. Сильвестр.

Майже всі справжні композитори та музиканти розуміли, що в основі музики лежить математика.

Далеко не всі композитори мали абсолютний слух. Наприклад, Людвігу Ван Бетховену не було ще й тридцяти років, коли він відчув перші ознаки глухоти, яка згодом відокремила його від навколишнього світу і, навіть, наштовхнула його на думку про самогубство. Врятували його від трагічної смерті любов до музики, любов до життя, впевненість у тому, що перемагає той, хто бореться.

Одного разу Бетховен сказав, що коли пише, завжди бачить перед собою картину і просто слідує за її лініями.

І, уявіть собі, як не знаючи математичних закономірностей побудови музики, можна було створити такі шедеври. Відповіді - у принципах, прихованих за прекрасними звуками.

Розглянемо знамениту «Місячну сонату»: вона відкривається повільною та впевненою послідовністю нот у тріолях (мал. 13). Хоч вони звучать оманливо просто, кожна тріоль включає елегантну мелодичну структуру, яка відкриває захоплюючу взаємодію між музикою та математикою. Розглянемо октаву фортепіано, яка складається із 12 клавіш, включаючи півтони(мал. 14).

Стандартна мажорна (мал. 15) і мінорна гами включають 8 з них: 5 інтервалів у тон і 2 півтони.

Перша половина 50 такту складається із 3 нот у ре-мажорі, розділену по терціях, які пропускають кожну наступну ноту в гамі. Якщо взяти кожну третю ноту в гамі: ре, фа-дієз, ля – ми отримаємо гармонічну структуру – тризвук, але це не просто випадкові магічні числа (мал. 16).

Ці числа виражають точне математичне співвідношення між частотами різних нот, які утворюють геометричну прогресію.

Якщо почати з ноти ля малої октави – 220Гц, прогресію можна виразити таким рівнянням (мал.17), де п – номер ноти на клавіатурі.

Тріоль в «Місячній сонаті» використовує значення п = 5; 9; 12, якщо їх підставити у функцію, то можна побудувати графіки для кожної ноти і пробачити закономірність, яку Бетховен не міг чути (мал. 18).

Побудована синусоїда повністю співпадає в т.(0; 0) та (0,042; 0). У цьому проміжку нота ре здійснює 2 повні цикли, фа-дієз – 2,5, а ля – 3. Ця закономірність відома, як консонанс, і його звук приємний для слуху (мал. 19).

Великий композитор В.А. Моцарт, пишучи свої вальси, використовував заснований на теорії ймовірностей «механічний пристрій» кубик.

«Винайдений Моцартом спосіб компонувати мелодію за допомогою гри в кості над спеціальною таблицею, яка визначає вибір наступного такту створюваної п’єси, свідчить про те, що великі композитори чітко усвідомлювали роль випадковості в загальній побудові музичного повідомлення», А. Моль.

Великий німецький композитор XVII століття І. С. Бах писав церковну музику. Пізніше, вже після його смерті, музиканти-дослідники з'ясували, що багато мелодій композитора мають цифрові коди- символи, а твори точно математично прораховані.

В його часи ніхто так не писав музики. Щоб сповна оцінити творчу геніальність та красу музики І. С. Баха (1685-1750), потрібно осмислити математичну точність, з якою були написані його твори. Адже йдеться про сам спосіб створення музики.

 На перший погляд, усе здається простим. Два звуки можуть звучати гарно (консонанс) або погано (дисонанс). Консонанс чи дисонанс визначається за допомогою чисельного співвідношення довжини струн, які створюють звуки. Відношення 1:1 називаються унісон, 1:2 – октавою. Саме октава є досконалим консонансом. 3:2 – це інтервал, названий квінтою, а 4:3 – квартою. Чим менші числа в чисельнику і знаменнику дробу, тим краще. Тому квінта звучить приємніше, ніж кварта, а мала секунда (16:15) є найгіршим дисонансом.     Секрет полягає в техніці, яка називається контрапунктом. Контрапункт (від лат. punctus contra punctus – нота проти ноти) – це набір правил, що дають змогу пов’язувати кілька мелодичних ліній, не порушуючи гармонію.  Ці правила виключають поєднання окремих інтервалів, послідовностей звуків, розписують розташування кульмінаційних моментів в мелодіях, а також містять вимогу їх протилежного руху (тобто якщо одна мелодія йде догори, то інша повинна йти донизу). 

Створення контрапунктної композиції чимось нагадує розв’язок математичного рівняння. На початку твору композитор має творчу свободу, але надалі її частка сильно зменшується. Як наслідок, компонування твору стає схожим не стільки на творчість, скільки на створення алгоритму комп’ютерної програми.

Віртуози контрапункту, можуть навіть відтворити увесь музичний твір за його початковими партіями, що нагадує зворотне розв’язування математичної задачі. 

  Бахівський конрапункт – живий і віртуозний. У ньому відчуваєтся рука генія, який навіть математичній точності надав форму мистецтва.

Ігор Стравінський, який добре знав музику майстрів епохи Ренесансу, також знаходив багато спільного між математикою і музикою. «Спосіб композиторського мислення спосіб, яким я мислю, мені здається, не дуже відрізняється від математичного», «музична форма математична хоча б тому, що вона ідеальна» ці вислови Стравінського яскраво виражають його переконання.

  1. Чи є музика у математиці?

Музика це мрія математика, перша повинна дістати своє завершення від другого.

Дж. Сільвестр

Зараз математики безпосередньо почали займатися музикою. Вони розглядають музичну партитуру як графік, на якому по вертикалі відкладається висота звуку, а по горизонталі час. Інші характеристики тональність, тривалість звучання, паузи, ритм тощо додаються, але за допомогою додаткових символів (що примушує обурюватися істинних математиків). Тепер у нас є докази того, що кожний акорд можна представити не просто за допомогою довільних знаків на папері, але і як точку в геометричному просторі.

Деякі вчені вважають, що музикантам легше дається математика. Наприклад, при складанні дробових чисел, у музикантів краще, ніж у людей без музичної підготовки, активізується та частина мозку, яка задіяна в абстрактному мисленні. Так, один учитель зі школи у штаті Меріленд викликає інтерес до точних наук за допомогою музики стилю peп. Його звати Джейк Скот і він викладає у школі в передмісті Вашингтона.

Математиками вивчено послідовність цифр знаменитого числа π, і з’ясовано, що всі цифри в цьому числі зустрічаються з однаковою частотою. Це число заворожує своєю непокорою. Йому вдавалося протягом тисячоліть тримати в полоні думки і почуття не тільки математиків і астрономів, але й філософів та художників.

Зацікавило число π (мал. 20) і композиторів. Наприкінці березня 2011 року американський музикант Майкл Блейк перетворив число π на мелодію. Для цього він взяв 31 цифру після коми, поставив у відповідність кожній цифрі- ноту (так як нот 7, а цифр 10, то йому довелося «забратися» в сусідню октаву). Використовуючи квінтове коло, він пронумерував відповідні акорди. Потім, використовуючи отримані дані, аранжував мелодію в темпі 157 ударів в хвилину (тобто 314, поділена на два). Ось таким способом автор цієї музики вирішив запам’ятати десяткові знаки числа π, бо запам’ятати музику значно простіше, ніж величезний набір чисел. І хоча мелодія теоретично може звучати вічно, Блейк обмежився кількома десятками знаків після коми.

Молодий піаніст Девід Макдональд з США також експериментував зі звучанням математичної константи. «Я зробив цю мелодію за аналогом числа π. Присвоїв кожній цифрі, яка йде після коми в цій константі ноту в ля-мінорі (тобто 0 дорівнює «ля», 1 – ля-дієз і тому подібне)(мал. 21). Аби гармонізувати звучання, я додав гру лівою рукою», – зазначає піаніст.

Висновки

Математика і музика – два полюси людської культури. Слухаючи музику, ми відчуваємо звукові коливання; розв’язуючи приклади, використовуємо простір чисел. Виявляється, що звуки і простір чисел мають закономірності між собою.

Зв'язок математики і музики зумовлений як історично, так і внутрішньо, незважаючи на те, що математика – найабстрактніша з наук, а музика – найбільш абстрактний вид мистецтва.

Математика – знаряддя, за допомогою якого людина пізнає і підкорює собі навколишній світ, а також підкорюється їй.

Музика – це математика. Виходить, що ноти – це ті ж цифри тільки в більш зручно записаному для музиканта чи виконавця варіанті, шкода, що немає іншої системи відмінної від нотної грамоти в музиці. Якщо все обчислення вчені різного світу розуміють, значить вони говорять однією мовою.

Виходить, що музика теж міжнародна мова, але тільки у вигляді фізичних слухових хвиль, здатних впливати на розум людини, зміни настрою ...

Отже, музичні та математичні операції споріднені і змістовно, і психологічно. Займаючись музикою, людина розвиває і тренує свої математичні здібності. Величезна кількість музичних творів написана за всю історію людства! Але всі вони не що інше, як чергування семи нот!!! Музика позитивно впливає на емоційний стан людини.

Тому можемо зробити висновки, що і музика математична, і математика музична. І там, і тут панує ідея числа, відношення та пропорції.

Список використаних джерел

Література:

  1. Гайденко І.А. Роль музичних комп’ютерних технологій у сучасній композиторській практиці: автореф. дис. канд. мистецтвознав.: спец. 17.00.03./ І.А. Гайденко; Харк. держ. ун-т мистецтв імені І.П. Котляревського. – Х., 2005. – 19 с.

  2. Зацікавити математикою: (методичні матеріали для підвищення інтересу до математики): Методичний посібник. – 2-ге вид., допов. і перероб. – Вінниця: ФОП «Легкун В.М.», 2012. – 181с

  3. «Про математику і математиків». Висловлювання видатних діячів минулого і сучасності. Упорядники А.С. Зоря, С.М. Кіро; К., «Радянська школа», 1981 р.

  4. Шарапкина Е. П. Гармония математики и музыки / П.Е.Шарапкина// Университетские чтения, 2006.

Електронні ресурси:

  1. https://infourok.ru/proekt-matematika-i-muzika-2480221.html

  2. https://galina-himichuk.webnode.com.ua/nasha-komanda/matematika-i-muzika/

  3. https://naurok.com.ua/breyn---ring-matematika---muzika-rozumu-scenariy-pozaklasnogo-zahodu-5601.html

  4. https://mathandmus.blogspot.com/2017/02/blog-post.html

  5. https://livescience.ru/Статьи:Музыка-математика-в-цифрах

  6. http://drobvz.blogspot.com/p/blog-page_91.html

  7. https://ppt-online.org/354695

  8. http://epkznu.com/wp-content/uploads//2016/02/Гармонічні-коливання-та-музика.pdf

  9. http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st113.shtml

  10. https://zbruc.eu/node/41803

  11. https://www.youtube.com/watch?v=KP3IoOfXurc

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу.