Найбільший спільний дільник і Найменше спільне кратне

Опис документу:
Набір нестандартних задач для підготовки до олімпіад та конкурсів

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Серветник В.Г.

Найбільший спільний дільник і

Найменше спільне кратне

( рівень конкурсних

і олімпіадних задач )

6 клас

Блок 1.

1. Чи може НСД двох нерівних чисел бути більшим за їх різницю?

Розв’язання

Нехай d – НСД чисел а і b. Складемо різницю а – b ( вважаючи, що а > b). Оскільки а : d і b : d, то й а – b ділиться на d. Але а – b ≠ 0. Натуральне число а – b може ділитися на d лише у випадку, якщо а – bd, тобто НСД двох чисел не може бути більшим за їх різницю.

Відповідь. Ні.

2. Знайдіть НСД двох чисел і 11 111 111.

Розв’язання

= 11 111 111 ∙ k + 1 111,

11 111 111 = 1 111 ∙ 10 001. Відповідь. 1 111.

3. Сума двох натуральних чисел дорівнює 153. Яке найбільше значення може мати НСД цих чисел?

Відповідь. 51.

Вказівка. Шуканий НСД повинен бути дільником числа 153, відмінним від 153.

4. Чи ділиться різниця двох нерівних чисел на НСД цих чисел?

Відповідь. Так. Зменшуване і від’ємник діляться на НСД.

5. Різниця двох непарних чисел дорівнює 8. Який НСД цих чисел?

Розв’язання

Нехай А і В – непарні числа і А – В = 8. Непарні числа не можуть мати парних дільників.

Припустимо, що А і В мають спільний непарний дільник ( він не більший 7 ). Тоді А = 3k і В = 3k, k і k - натуральні числа. Рівність 3k - 3k = 8 неможлива, бо k - k - натуральне число.

Легко переконатися в неможливості й таких рівностей: 5( k - k )= 8 і 7(k - k) = 8. Отже, А і В – взаємно прості числа, тому НСД ( А, В) = 1.

6. Сума непарних чисел дорівнює 16. Доведіть, що ці числа взаємно прості.

7. Різниця двох непарних чисел дорівнює 32. Доведіть, що ці числа взаємно прості.

Блок 2.

8. Знайдіть найменше число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, 8 і 9 дає в остачі 1.

Розв’язання

Якщо від шуканого числа відняти одиницю, то дістанемо число. кратне 5, 8 і 9. Отже, шукане число дорівнює 361, бо 5 ∙ 8 ∙ 9 + 1 = 361.

9. . Знайдіть двоцифрове число, яке при діленні на 3, 4 і 5 дає в остачі 1.

10. Яке найменше натуральне число, що ділиться на 7, а при діленні на 2, 3, 4, 5 і 6 дає в остачі 1 ? ( Районна олімпіада. 1990 р. )

11. Знайдіть число, яке при діленні на 2 дає в остачі 1, при діленні на 3 – остачу 2, при діленні на 4 – остачу 3, при діленні на 5 – остачу 4.

Розв’язання

Знайдемо число, яке на 1 більше від шуканого. Це нове число поділиться без остачі на 2, 3, 4, 5, тобто буде НСК цих чисел, що становить 60, а шукане число 59.

12. Знайдіть найменше число, яке при діленні на 2 дає в остачі 1, при діленні на 3 – остачу 2, при діленні на 4 – остачу 3, при діленні на 5 – остачу 4 і при діленні на 6 дає в остачі 5.

Відповідь. 59.

13. Знайдіть найбільше трицифрове число, яке при діленні на 4 дає остачу 3, при діленні на 5 – остачу 4 і при діленні на 6 дає в остачі 5.

Відповідь. 959.

14. Знайдіть найменше число, яке при діленні на 2 дає в остачі 1, при діленні на 3 – остачу 2, при діленні на 4 – остачу 3, при діленні на 5 – остачу 4, при діленні на 6 дає в остачі 5, при діленні на 7 – остачу 6, при діленні на 8 – остачу 7, при діленні на 9 – остачу 8, при діленні на 10 – остачу 9.

Розв’язання

Якщо додати до шуканого числа одиницю, то отримане число буде ділитися на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9 і на 10. Таким найменшим числом є число 2 520, бо 10 ∙ 9 ∙ 4 ∙ 7 = 2 520, а шукане число на одиницю менше, тобто 2 519.

15. Знайдіть найменше натуральне число, яке при діленні на 4, 5, 9, 11 дає відповідно остачі 3, 4, 8, 10.

16. Чи може бути таке число, яке при діленні на 3 дає в остачі 1, при діленні на 4 – в остачі 2, при діленні на 5 – в остачі 3, при діленні на и6 – в остачі 4 ?

( районна олімпіада. 1975 р. )

17.Якщо від задуманого тризначного числа відняти 7, то отримане число поділиться на 7, якщо відняти від задуманого числа 8, то результат поділиться на 8, а якщо відняти 9, то результат поділиться на 9. Яке число було задумано?

Розв’язання

Нехай задумано число а. Тоді за умовою різниці а – 7, а – 8, а – 9 кратні відповідно семи, восьми і дев’яти. Тому й шукане число кратне 7, 8 і 9. Серед тризначних чисел таке число одне – 504, бо 7 ∙ 8 ∙ 9 = 504.

18. Якщо від задуманого трицифрового числа відняти 9, то отримане число поділиться на 9, якщо відняти від задуманого числа 10, то результат поділиться на 10, а якщо відняти 11, то результат поділиться на 11. Яке число було задумано?

19. В корзині лежить менше 100 яблук. Їх можна поділити порівну між 2, 3 або 5 дітьми, але не можна поділити порівну між 4 дітьми. Скільки яблук в корзині?

Розв’язання

Шукане число повинно ділитися на 2, 3 і 5, тобто на 30. Серед чисел, які менші за 100, таких три – 30, 60 і 90. Але 60 ділиться на 4, а 30 і 90 – ні. Отже, в корзині лежить або 30, або 90 яблук.

20 .Корзина наповнена яблуками. Якщо їх виймати по 2, по 3, по 4, по 5 і по 6, то в корзині залишиться по одному яблуку, а якщо виймати по7, то остачі не буде. Скільки яблук в корзині, якщо вона може вмістити не більше 500 штук?

Розв’язання

Позначимо через М число яблук в корзині. Виходячи з умови задачі число М можна подати в такому вигляді: М = 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ k + 1 = 60 k + 1, де k – деяке натуральне число.

Якщо виймати по 7 яблук, то корзина стає порожньою. Отже,М повинно ділитися на 7. Найменшим натуральним числом, при якому М ділиться на 7, є k = 5.

Отже, в корзині було М = 60 ∙ 5 + 1 = 301 яблуко.

21. На столі лежать зошити, які треба упакувати. Якщо загортати їх по 4, по 5, по 6, то кожного разу буде залишатися один зайвий зошита якщо упаковувати по 7 зошитів, то зайвих зошитів не залишиться. Яке найменше число зошитів може бути на столі?

Розв’язання

Шукане число при діленні на 4, 5, 6 в остачі дає 1, але воно ділиться націло на 7. Спочатку знайдемо найменше спільне кратне чисел 4, 5, 6. НСК( 4, 5,6 ) =60.Кратними числу 60 є числа виду 60п, де п – натуральне число. Додамо до кожного з цих чисел одиницю. Отримаємо множину чисел { 6, 12, 181, 241, 301, 361, … } , в якій є й числа, які націло діляться на 7. Найменше таке число 301. Тому на столі міг бути 301 зошит.

22. Хлопчик розкладав горіхи. Коли він їх розкладав по 2, по 3, по 4, по 5 і по 6, то кожного разу залишався один горіх. Скільки було горіхів у хлопчика, якщо відомо, що їх було менше 100?

Блок 3.

23. Найменше спільне кратне двох чисел, які не діляться одне на одного, дорівнює 630, а найбільший спільний дільник їх дорівнює 18. Знайдіть ці числа.

Розв’язання

630 : 18 = 35 ( 5 ∙ 7 - добуток різних множників даних чисел ). Оскільки одне число не ділиться на друге, то ці числа можуть бути тільки 5 ∙ 18 = 90 і 7 ∙ 18 = 126.

24. НСК двох чисел, які не діляться одне на одне, дорівнює 1998, а НСД дорівнює 37. Знайти ці числа.

Розв’язання

1998 = 2 ∙ 33 ∙ 37.

1) 37 2 = 74 і 37 3 = 111;

2) 37 2 = 74 і 37 3 3 = 333 ;

3) 37 2 = 74 і 37 3 9 = 999.

Відповідь : 74 і 111; 74 і 333; 74 і 999.

25. У скільки НСК двох чисел більше за їх НСД, якщо частка від ділення більшого числа на менше дорівнює чотирьом?

Розв’язання

Якщо одне число ділиться на друге, то їх більше число є найменшим спільним кратним цих чисел, а менше – найбільшим спільним дільником їх.

Відповідь: у 4 рази.

26. Коли НСК двох чисел дорівнює їх НСД ?

Відповідь: якщо числа рівні.

27. Чи можна твердити, що НСК будь – яких двох натуральних чисел ділиться на НСД цих чисел?

Розв’язання

При знаходженні НСК беруть всі прості множники одного з чисел; до складу НСК ввійде і група спільних множників, тобто НСД.

Відповідь: так.

28. Доведіть, що НСК двох сусідніх натуральних чисел дорівнює їх добутку.

Розв’язання

Спочатку доведемо, що два сусідніх натуральних числа взаємно прості. Припустимо супротивне. Нехай п ділиться на k і п+1 ділиться на k, де k 1. Оскільки сума (п + 1) і один із доданків (п) ділиться на k, то й другий доданок (1) повинен ділитися на k. Отже, k = 1, що суперечить припущенню. Протиріччя доводить, що два сусідніх натуральних числа не мають спільних дільників, крім 1. Тому, за правилом знаходження НСК двох чисел, НСК чисел п і п + 1 дорівнює їх добутку.

29. Знайдіть два натуральних числа, якщо їх сума дорівнює 85, а їх найменше спільне кратне – 102.

Розв’язання

Розкладемо число 102 на прості множники: 102 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 17. Запишемо ряд чисел, найменшим спільним кратним яких є число 102: 1; 2; 3; 17; 2 ∙ 3 = 6; 2 ∙ 17 = 34; 3 ∙ 17 = 51; 2 ∙ 3 ∙ 17 = 102.

Умова а + b = 85 виконується тільки для однієї пари чисел 34 і 51.

Відповідь: 34 і 51.

30. Сума двох чисел дорівнює 221, а їх найменше спільне кратне – 612. Знайдіть ці числа.

Розв’язання

Нехай а + b =221. (1)

Числа а і b повинні містити дільники НСК. 612 =22 ∙ 32∙ 17. З умови (1) слідує, що одне з чисел – парне, а інше – не парне. Тому дільники 2 і 2 повинні належати одному числу. 221 не ділиться на 3, значить на 3 ділиться тільки один доданок. Тільки сімнадцять – спільний дільник. За сумою чисел визначаємо їх: а = 2 ∙ 2 ∙ 17= 68, b =3 ∙ 3 ∙ 17 = 153.

Відповідь 68 і 153.

31. Подати число 10 у вигляді суми натуральних доданків так, щоб їх найменше спільне кратне було найбільшим.

Розв’язання

Найбільше значення найменшого спільного кратного доданків числа 10 отримується при поданні його у вигляді 10 = 2 + 3 + 5 і НСК (2, 3, 5)= 30.

32. Серед перших ста натуральних чисел знайдіть два числа, найбільший спільний дільник яких найбільший, і два числа, найменше спільне кратне яких найбільше.

Розв’язання

Будемо вважати спочатку, що в умові задачі мається на увазі, що два шуканих числа повинні бути різні. Зрозуміло, що найбільший спільний дільник двох різних двоцифрових чисел не може бути більше за 50 і дорівнює 50 тільки у випадку, коли одне з чисел дорівнює 100, а друге дорівнює 50.

Найбільше найменше спільне кратне отримується, якщо взяти числа 100 і 99. Їх найменше спільне кратне дорівнює 9900 і є взагалі найбільшим із добутків двох натуральних чисел від 1 до 100.

Якщо ж вважати, що шукані числа можуть співпадати, то найбільше значення найбільшого спільного дільника отримується, якщо розглянути числа 100 і 100, а найменше спільне кратне отримує найбільше значення для тих самих чисел – 99 і 100.

Блок 4.

33. Пароплави першої лінії відправляються з порту через кожні 12 днів, а другої – через 21 день. 1 січня 2004 року два пароплави обох ліній вийшли з одного й того ж порту одночасно. Знайдіть найближчий день, коли обидва пароплави знову вийдуть одночасно з порту.

Розв’язання

Знайдемо НСК (12 і 21)= 84.

Отже, через 84 дні знову пароплави вийдуть з порту одночасно . 2004 рік – високосний. Тому лютий має 29 днів, а січень – 31 день. 84 = 31 + 29 + 24. Отже, обидва пароплави знову одночасно вийшли з порту 24 березня 2004 року.

34. Два учні вийшли одночасно із пункту А. крок одного з них дорівнює 60 см., а другого - 69 см. Першого разу їх кроки співпали через 17 секунд після початку руху, а після п’яти хвилин руху їх кроки співпали перший раз в пункті В. визначте відстань від А до В.

Розв’язання

Оскільки НСК (60, 69)= 1380, то першого разу кроки співпали на відстані 1 380 см. Перший раз після 5 хв руху кроки співпали через 306 = 17 ∙ 18 (с), і учні пройшли за цей час 1 380 ∙ 18 = 24 840 (см).

Відстань від А до В дорівнює 248, 4 м.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
1
дн.
1
7
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!