Мотивація вивчення теми 1 «Функції, рівняння і нерівності» та теми 2 «Степенева функція»

Опис документу:
Додатковий матеріал до уроку

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Мотивація вивчення теми 1 «Функції, рівняння і нерівності» та теми 2 «Степенева функція»

(Алгебра 10 клас, І семестр)

Серветник Василь Григорович

НВК «СЗШ І-ІІІ ступенів №1-гімназія»

смт. Муровані Курилівці

І семестр

Тема 1. Функції, рівняння і нерівності (12 год.)

уроку

Тема уроку

Мотивація навчальної діяльності

1

Множини, операції над множинами

- Давайте на хвилиночку забудемо, що ми на уроці алгебри, і послухаємо уривок художнього твору: «Зіронька! Красуня! Лиска! - підганяє пастух корів, що йдуть на пасовисько. Так і дивися, якась поверне до лісу або загубиться. Особливо Красуня: тільки замислився - шукай вітру в полі! Зіронька - та нічого: поки батогом не підженеш, з місця не зсунеться. А з Лискою своя біда: дуже бодлива, не підчепила б когось на роги...»

Для пастуха кожна корова - особлива: у кожної свій характер, свої звички. Для дачників усі корови на галявині однакові - просто стадо.

Ось що значить точка зору! Для одного - неповторні індивідуальності. Для іншого - сукупність, що розглядається як єдине ціле.

Взагалі, людині властиво розглядати те або інше зібрання предметів, споріднених за якою-небудь ознакою, як самостійний об’єкт.

Перша скрипка, друга скрипка, альт, віолончель, контрабас, флейта, труба, литаври. Про все це, взяте разом, ми говоримо: оркестр.

Посуд для кави, молока, цукру, декілька чашок і стільки ж блюдець. А все це разом - сервіз.

А, Б, В, Г, Д, ..., Ю, Я. Всі разом - алфавіт.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... Разом усі ці числа утворюють натуральний ряд чисел.

Невипадково кожну з цих сукупностей ми називаємо іменниками в однині: оркестр, сервіз, алфавіт, ряд - ідея об’єднання помітна навіть у такій граматичній категорії.

У математиці подібні об’єднання прийнято називати одним словом - МНОЖИНА.

2

Числові множини. Множина дійсних чисел

Дійсне число посідає в курсі математики дуже важливе місце. Повторивши й систематизувавши все, що ми знаємо про множину дійсних чисел та її підмножини, ми підготуємо грунт для вивчення числових функцій дійсної змінної, а також для вивчення початків математичного аналізу.

3

Числові функції. Способи задання числових функцій

Процеси реального світу тісно пов'язані між. собою. Серед різноманіття явищ вчені виділили такі, у яких взаємозв'язок величин настільки тісний, що, знаючи значення однієї з них, можна визначити значення другої величини.

Наприклад, знаючи сторону квадрата, можна знайти його площу або периметр.

(запитання до учнів)

  1. Що називають функцією?

  2. Що називають числовою функцією?

  3. Як називаються змінні х та у?

  4. Як позначаються функції?

  5. Яким чином можна задати функцію?

  6. Що називають областю визначення функції та областю значень функції?

Дійсно, залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню χ відповідає єдине значення у, називається функцією.

З поняттям функції ви знайомилися в курсі алгебри 7-9 класів. Поняття «функції» є важливим поняттям курсу алгебри і початків аналізу, отже, ми повинні згадати і узагальнити відомості про функції. Крім того, досліджуючи властивості функцій, ми маємо можливості ґрунтовніше пізнати реальний світ.

4

Властивості функцій: область визначення, область (множина) значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості функції, проміжки зростання, спадання, сталості функції, парність, непарність функції, найбільше та найменше значення функції

Тема сьогоднішнього уроку має пропедевтичний характер. Дослідження функцій розглянемо знову після вивчення похідної.

Властивості функцій є базою для розгляду питання щодо розв’язування рівнянь і нерівностей. Адже, розв’язати рівняння означає знайти нулі відповідної функції, а знайти проміжки знакосталості – розв’язати відповідну нерівність.

З деякими властивостями функцій ви ознайомилися в попередніх класах. Це такі властивості, як нулі функції, знакосталість, зростання та спадання функції. Проте вивченого недостатньо для того, щоб розв’язувати деякі практичні задачі (наприклад, будувати графіки функцій). Тому першочерговим стає питання щодо повторення відомих властивостей, а також розгляд інших властивостей функцій. Основним завланням сьогоднішнього уроку є вивчення цих властивостей та формування вміння застосовувати їх до розв’язування залач.

5

Властивості і графіки основних видів функцій

Виконаємо таке завдання. Розв’язати графічно рівняння . Під час фронтальної бесіди спрямовую учнів на повторення сутності та алгоритму графічного способу розв’язання рівнянь. З’ясовуємо: для того щоб розв’язати графічно рівняння, необхідно в одній координатній площині побудувати графіки функцій і у=х2+4х та знайти абсциси точок перетину цих графіків. Знайдені абсциси точок перетину і є розв’язками рівняння. Нагадую учням, що властивості та графіки цих і деяких інших елементарних функцій вивчалися в попередніх класах. Зважаючи на те, що функція є основним поняттям математичного аналізу, проведемо огляд основних видів функцій, їх властивостей та графіків.

6

Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій

Спочатку аналітично дослідимо властивості функції у=(х-3)2+2, а потім дослідимо властивості цієї функції за її графіком і порівняємо обидва способи дослідження функції. Учні переконуються, що дослідження функції за графіком є більш простим, ніж за формулою. Тому зрозумілою є необхідність формувати вміння будувати графіки функцій, що не є елементарними.

7

Обернена функція

Розглядаючи різні функції, часто доводиться розв’язувати не тільки пряму задачу про знаходження значення функції за відомим значенням аргумента, а й обернену задачу про знаходження аргумента за відомим значенням функції. Наприклад, із формули s(t)=v0t. що описує функціональну залежність шляху s від часу t, можна знайти обернену залежність часу t від пройденого шляху.

Чи для будь-якої залежності або функції можна знайти обернену?

Які властивості має функція, обернена до заданої?

Який вигляд має графік функції, оберненої до заданої?

Ці питання і будуть предметом вивчення на цьому уроці.

8

Рівносильні перетворення рівнянь. Рівняння-наслідки

Поняття рівняння тісно пов’язується із поняттям функції, яке ми розглядали протягом останніх уроків. Обидві частини рівняння розглядаються як функції змінних, що входять до рівняння; область визначення (або область допустимих значень) рівняння визначається як перетин областей визначення функцій, що містять обидві частини рівняння.

Під час розв’язування рівнянь застосовуються графічний спосіб, що вимагає побудови графіків відповідних функцій, та спосіб застосування властивостей функцій, який буде розглянутий на наступному уроці. Тому сьогодні ми ознайомимося із поняттям рівносильності рівнянь а також розв’язуватимемо рівняння за допомогою рівносильних перетворень та рівнянь-наслідків.

9

Застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь

Розв’яжемо рівняння (2х+1)3=(3х-2)3.

Якщо під час розв’язування рівняння діяти традиційним способом, тобто розкрити дужки, звести подібні доданки і т. д., то дістанемо повне рівняння третього степеня, розв’язування якого є досить громіздким і не завжди можливим у рамках шкільної математики. Але існує інший спосіб розв’язання цього й багатьох інших рівнянь, а саме, застосування властивостей функцій. Отже, сьогодні ми будемо вчитися використовувати властивості функцій для розв’язування рівнянь.

10

Рівносильні перетворення нерівностей, метод інтервалів

В попередніх класах ви ознайомилися з поняттям рівносильних нерівностей та деякими теоремами про рівносильність нерівностей.

Запишемо нерівність, рівносильну заданій, яку буде одержано в результаті множення обох частин нерівності:

А) 3х-2> на число 54

Б) 4-0,5х<-3,5 на число -2.

Учні пригадують відповідні теореми про рівносильність перетворень нерівностей.

Поставити запитання про множення (або ділення) обох частин нерівності не на число, а на деякий вираз, що містить змінну.

Чи зберігається при цьому рівносильність нерівностей? Якщо так, то за яких умов?

Вивчення цього питання є одним із завдань уроку.

Виникає наступне запитання: навіщо встановлювати рівносильність нерівностей? Звичайно, для того, щоб їх розв’язувати. Під час розв’язування нерівностей наслідки не використовуються (а використовуються рівносильні перетворення), оскільки, зазвичай неможливо виконати перевірку всіх здобутих розв’язків нерівності-наслідку. Метод рівносильних перетворень – один із методів розв’язання нерівностей. Ще один метод – це метод інтервалів, який також буде розглянутий на цьому уроці.

11

Рівняння і нерівності, що містять знак модуля. Рівняння і нерівності з параметрами

Знання цього матеріалу потрібне для того, щоб успішно скласти незалежне тестування.

12

Контрольна робота №1

Тема 2. Степенева функція: корінь п-го степеня (7 год.)

уроку

Тема уроку

Мотивація навчальної діяльності

13

Корінь п–го степеня. Арифметичний корінь п–го степеня, його властивості

Пропоную учням розв’язати рівняння х2=81. Звісно, що учні легко встановлюють, що х=9 або х=-9, тобто або .

А тепер ваше припущення щодо розв’язання рівняння хп=81. При цьому виникають запитання: чи завжди із даного числа можна добути корінь п-го степеня; скільки таких коренів існує; які властивості мають такі корені.

Знайти відповідь на ці запитання і є завданням уроку.

14

Перетворення коренів. Дії над коренями

Спочатку пропоную учням порівняти числа і . Спочатку пригадайте правило внесення множника під знак квадратного кореня та відповідну властивість квадратних коренів (або властивість функції ). А тепер порівняйте числа 2 і . В цьому випадку також необхідно внести множник під знак кореня, але не квадратного, а п-го степеня, і порівняти корені п-го степеня.

Тому завданням цього уроку є вивчення властивостей кореня п-го степеня та формування вмінь застосовувати ці властивості до перетворення виразів, що містять корені п-го степеня.

15

Функція та її графік

Функціональна лінія є провідною у вивченні алгебри і початків аналізу. Ви вже знайомі з деякими видами функцій, вмієте досліджувати їх властивості, застосовувати властивості функцій до розв’язування рівнянь, маєте уявлення про обернену функцію та її властивості.

Задайте формулою функцію, обернену до функції у = хп . Наше завдання – сформувати поняття функції , дослідити її властивості, навчитися будувати графік. Знання властивостей функції є теоретичним підґрунтям для вивчення способів розв’язування ірраціональних рівнянь,які ми будемо вивчати на наступному уроці.

16

Ірраціональні рівняння

Завданням цього уроку є ознайомлення із способами розв’язування рівнянь, в яких змінна міститься під знаком кореня.

17

Ірраціональні рівняння

Сьогодні ми опануємо деякі інші способи розв’язування ірраціональних рівнянь, а саме: за допомогою заміни змінних і використанням властивостей функцій.

18

Ірраціональні нерівності. Системи ірраціональних рівнянь

Сьогодні ми ознайомимося з поняттям ірраціональної нерівності, способами розв’язування ірраціональних нерівностей та систем ірраціональних рівнянь.

Знання цього матеріалу потрібне для того, щоб успішно скласти незалежне тестування.

19

Контрольна робота №2

Тема 3. Степенева функція: степінь із раціональним показником

(7 год.)

уроку

Тема уроку

Мотивація навчальної діяльності

20

Степінь з раціональним показником, його властивості

Завдання цього уроку – розширити поняття степеня на раціональні показники.

21

Степінь з раціональним показником, його властивості

Основним завданням цього уроку є вивчення властивостей степенів із раціональними показниками.

22

Перетворення виразів, які містять степінь з раціональним показником

Завданням уроку є формування вміння перетворювати вирази, що містять степені з раціональними показниками.

23

Перетворення виразів, які містять степінь з раціональним показником

Завданням уроку є удосконалення знань властивостей степенів із раціональним показником та навичок їх застосування до перетворення виразів.

24

Степенева функція, її властивості та графік

Ви вже знайомі з деякими степеневим функціями, а саме: у = х, у = х2, у = х3, , . Розширення відомостей про степеневі функції збільшить можливості побудови математичних моделей реальних процесів та явищ. Основним завданням уроку є вивчення степеневої функції у = xr, де r – довільне раціональне число.

25

Степенева функція, її властивості та графік

Існує багато реальних процесів, які описуються за допомогою степеневих функцій. Отже, завданням цього уроку є поглиблення знань властивостей степеневих функцій, уміння застосовувати їх до розв’язування вправ, розгляд прикладів таких процесів, які описуються за допомогою степеневих функцій.

26

Контрольна робота №3

7

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
3
дн.
0
2
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!