Методи уточнення корення:

Опис документу:
У цьому документі йде мова про методи уточнення корення, а саме методи спроб, метод поділу, відрізка навпіл, метод хорд , метод дотичної, комбінований метод, метод ітерації.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Методи уточнення корення: методи спроб, метод поділу, відрізка навпіл, метод хорд , метод дотичної, комбінований метод, метод ітерації.

Методи розв’язування систем ліній них рівнянь можна поділити на дві групи: точні й ітераційні.

Точними називають такі методи, які дають змогу знайти точний розв’язок системи f(x) = 0 за допомогою виконання скінченої кількості арифметичних операцій у припущенні, що всі обчислення, виконуються точно, а коефіцієнти системи і вільні члени – точні числа.

Ітераційними називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв’язок системи f(x) = 0 із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитися і без округлень, коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами.

Точний розв’язок системи f(x) = 0 за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченого процесу. Розв’язуючи системи рівнянь ітераційними методами, крім похибок округлення, треба враховувати також похибку методу.

МЕТОД ХОРД

Метод хорд — один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.

Ідея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю є наближеним значенням кореня.

Метод хорд визначається наступним рекурентним співвідношенням:

Як видно з цього відношення, метод хорд вимагає двох початкових точок,  х0 і х1, які в ідеалі мають бути вибрані в околі розв'язку.

Достатні умови збіжності методу хорд дає така теорема.

Теорема. Нехай на відрізку функція неперервна разом із своїми похідними

до другого порядку включно, причому , а похідні і зберігають сталі знаки на , тоді існує такий окіл кореня рівняння , що для будь-якого початкового наближення з цього околу послідовність , обчислена за формулою (1), збігатиметься до кореня .

Достатні умови збіжності методу хорд дає така теорема.

Теорема. Нехай на відрізку функція неперервна разом із своїми похідними

до другого порядку включно, причому , а похідні і зберігають сталі знаки на , тоді існує такий окіл кореня рівняння , що для будь-якого початкового наближення з цього околу послідовність , обчислена за формулою (1), збігатиметься до кореня .

Метод дотичних

Формула xk+1 = xk - , k = 0, 1, 2, … . визначає метод Ньютона. Він має просту геометричну інтерпретацію. Значення xk+1 є абсцисою точки перетину дотичної yf(xk) = f´( xk)(x - xk) до кривої y = f(x) в точці (xk, f(xk)) . Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних. З малюнка видно, що послідовні наближення збігаються до кореня x* монотонно.

Мал. 1 ілюструє такі випадки: а) f´´(x) > 0, f´(x) > 0; б) f´´(x) > 0, f´(x) < 0; в) f´´(x) < 0, f´(x) > 0; г) f´´(x) < 0, f´(x) < 0.

За початкове наближення у методі Ньютона слід брати точку x0 [a;b], в якій f(x0)f´(x0) > 0.

Метод Ньютона є методом послідовних наближень xk+1 = φ(xk), де функція . (2)

Достатні умови збіжності методу Ньютона дає така теорема.

Теорема. Нехай на відрізку [a;b] функція f(x) має неперервні із сталими знаками похідні f´(x) ≠ 0, f´´(x) ≠ 0 і f(a)f(b) < 0. Тоді існує такий окіл R [a;b] кореня x* рівняння f(x) = 0, що для будь-якого x0 R послідовність {xk}, обчислена за формулою (1), збігається до кореня x* .

Комбінований метод

Методи хорд і дотичних дають наближення кореня з різних сторін відрізку . Тому їх часто використовують в поєднанні один з одним, і процес уточнення кореня нелінійного рівняння проходить скоріше.

Суть методу полягає в тому, що на досить малому відрізку  (отриманому при відокремлені коренів) дуга функції  з одного кінця відрізка стягується хордою, а з другого – дотичною. Тобто, якщо сумістити обидва методи, то після знаходження коренів відрізок  на кожному кроці ітерації звужується шляхом переносу кінців відрізка  в точки перетину хорди та дотичної з віссю .

Наближене значення кореня нелінійного рівняння визначається відповідно до таких правил:

Правило 1. Якщо добуток першої на другу похідну функції  більший за нуль: , (рис. 4.16 а, б) то рухомим для методу хорд є кінець a, і наближене значення кореня з боку кінця a обчислюється за формулою хорд:

     .     (4.14)

Для методу дотичних рухомим є кінець , і наближене значення кореня обчислюється за формулою дотичних:

     .     (4.15)

Правило 2. Якщо добуток першої на другу похідну функції  менший за нуль:  (рис. 4.16 в, г), то рухомим для методу хорд є кінець b, і наближене значення кореня з боку кінця b обчислюється за формулою хорд:

     .     (4.16)

Для методу дотичних рухомим є кінець a, і наближене значення кореня обчислюється за формулою дотичних:

     .     (4.17)

Комбінований метод дуже зручний при оцінці похибки обчислень. Ітераційний процес продовжується доти, поки не стане виконуватися нерівність 

Метод інтерацій (метод послідовних наближень)

Суть методу полягає у заміні початкового рівняння    еквівалентним йому рівнянням     .

Приведемо без доказу теорему, яка виражає умову, при якій ітераційний процес розв’язку нелінійного рівняння методом ітерацій на ЕОМ збігається.

Теорема. Нехай на відрізку  знаходиться єдиний корінь рівняння  та у всіх точках цього відрізку похідна  задовольняє нерівності . Якщо при цьому виконується і умова , то ітераційний процес збігається, а за нульове наближення  можна взяти число з відрізку .

При використанні методу простих ітерацій основною операцією є вибір функції  в рівнянні , яку слід підібрати так, щоб  і швидкість сходження послідовності  до кореня  тим вища, чим менше число 

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
1
дн.
1
3
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!