Методи уточнення кореня

Опис документу:
У цьому документі йде мова про методи уточнення кореня: метод спроб, метод поділу відрізка навпіл, метод хорд, метод дотичної, комбінований метод, метод ітерації

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Методи уточнення кореня: метод спроб, метод поділу відрізка навпіл, метод хорд, метод дотичної, комбінований метод, метод ітерації

Метод половинного розподілу(дихотомії): досить простий, але вимагає значних тривалих обчислень (велике число ітерацій), тому при ручному рахунку метод дихотомії не застосовуються. Нехай відомо, що на [a,b] знаходиться один дійсний корінь. Треба визначити цей корінь із заданою точністю ε. Суть методу полягає в тому, що відрізок [a,b] поділяємо навпіл крапкою c1 = (a+b) / 2 (перше наближення) і розглядає той з відрізків [a,c1] або [c1,b], который містить шуканий корінь. Позначивши цей відрізок через [a1,b1] причому |b1a1| = ½ (b-a), визнач. крапку c2 = (a1+b1) / 2  (друге наближення) і розглядаємо відрізок [a1,c2]  або [c2,b1], утримуючий шуканий корінь, тобто [a2,b2], де |b2a2| = 1/22 |b-a| і т.д. доти поки не одержимо відрізок [an,bn], утримуючий шуканий корінь x0, для якого

|bnan| = 1/2n |b-a|< ε (1)                                    

Крапку cn+1 = (an+bn) / 2 = x приймаємо за наближене значення кореня x0. З (1) очевидно |x-x|< ε.

Комбінований метод:

Методи хорд і дотичних дають наближення кореня з різних сторін відрізку [a,b]. Тому їх часто використовують в поєднанні один з одним, і процес уточнення кореня нелінійного рівняння (4.1) проходить скоріше.

Постановка задачі: Нехай дано рівняння (4.1) f(x)=0, де f(x) неперервна нелінійна функція, яка на відрізку [a,b] монотонна, диференційована і має єдиний корінь  (тобто f(a)f(b)<0). Потрібно знайти наближене значення кореня  з заданою похибкою . Використаємо комбінований метод хорд і дотичних з урахуванням поведінки функції на відрізку [a,b]. Якщо f'(x)f''(x)>0, то метод хорд дає наближення кореня з недостачею, а метод дотичних – з залишком (рис.4.16.а,б). Якщо ж f '(x)f ''(x)<0, то методом хорд отримуємо значення.

Суть методу полягає в тому, що на досить малому відрізку [a,b] (отриманому при відокремлені коренів) дуга функції f(x) з одного кінця відрізка стягується хордою, а з другого – дотичною. Тобто, якщо сумістити обидва методи, то після знаходження коренів відрізок [a,b] на кожному кроці ітерації звужується шляхом переносу кінців відрізка [a,b] в точки перетину хорди та дотичної з віссю Ox.

Наближене значення кореня нелінійного рівняння визначається відповідно до таких правил:

Правило 1. Якщо добуток першої на другу похідну функції f(x) більший за нуль: f '(x)f ''(x)>0, (рис. 4.16 а, б) то рухомим для методу хорд є кінець a, і наближене значення кореня з боку кінця a обчислюється за формулою хорд:

     .     Для методу дотичних рухомим є кінець b, і наближене значення кореня обчислюється за формулою дотичних:

     .    

Геометричний зміст

     

     Рисунок 4.16 – Геометричний зміст комбінованого методу

методом дотичних – з недостачею (рис.4.16.в,г)

Правило 2. Якщо добуток першої на другу похідну функції  менший за нуль:  (рис. 4.16 в, г), то рухомим для методу хорд є кінець b, і наближене значення кореня з боку кінця b обчислюється за формулою хорд:

     .     (4.16)

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
4
дн.
0
5
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!