і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Взяти участь
Поспішайте взяти участь у вебінарі Арт-терапія в роботі з підлітками і старшокласниками. Шлях до мети
До початку вебінару залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

Метод Рунге-Кутта

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта найбільше часто вживається при чисельному відшуканні розв’язку задачі Коші (1), при умові і дозволяє одержати наближення високої точності.

Геометрично цей метод для задачі Коші також полягає в тому, що на малому відрізку [х; х+h] інтегральна крива у=у(х) рівняння (1) заміняється відрізком прямої, що проходить через точку (х; в(х)). Однак в основу методу покладений більше тонкий, чим у методах Ейлера, підхід до визначення напрямку цього відрізка прямій.

Нехай відрізок розділений на п рівних частин точками , і визначені наближені значення розв’язку диференціального рівняння відповідно в точках . Переходимо до відрізка й відшукання (рис. 1).

Рис. 1

Визначаємо − напрямок дотичної до інтегральної кривої в точці , і точку перетину прямих і , тобто точку .

Знаходимо напрямок дотичної в точці :

і із точки проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом :

до перетину із прямою . Одержуємо точку . Знаходимо напрямок дотичної в точці :

і із точки проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом :

до перетину із прямою . Одержуємо точку . Далі визначаємо напрямок дотичної в точці : .

Остаточний напрямок відрізка ламаної, що представляє наближений розв’язок задачі, буде рівним

і проводимо із точки пряму , до перетинання із прямої в точці , де

вважаємо наближеним значенням розв’язку в точці (див. рис. 1).

Метод Рунге-Кутта здійснює наступний алгоритм.

Алгоритм методу Рунге-Кутта для диференціального рівняння першого порядку

Передбачаються заданими рівняння , початкова умова і відрізок .

1. Задаємо число п точок поділу відрізка й обчислюємо крок . Вважаємо відомими й переходимо до дії 2.

2. Нехай знайдені . Визначаємо

, ,

, ,

,

, .

Якщо (k+1=n), то процес закінчений. Числа представляють наближені значення шуканого розв’язку в точках .

Якщо ж (k+1<n), то повторюємо дію 2, вважаючи вихідним .

Всі розрахунки по алгоритму зручно оформляти у вигляді таблиці.

Обчислення по методу Рунге-Кутта значно ускладнені в порівнянні з методом Ейлера, але за рахунок цього він дає меншу похибку при заміні точного розв’язку наближеним . З теорії наближених методів відомо, що при кроці інтегрування h має місце оцінка ,

так що похибка одного кроку обчислень (визначення по ) має порядок (або ). Сумарна похибка за п кроків, тобто похибка приблизного наближеного розв’язку в точці буде порядку (або ). Звідси, якщо збільшити п у два рази, похибка приблизно зменшиться в 16 разів. Тому для оцінки наближеного розв’язку , отриманого із кроком h, повторюють обчислення із кроком 2h і за абсолютну похибку приймають число

,

де − наближений розв’язок із кроком 2h.

Наведена оцінка є оцінкою методу й не враховує похибку, отриману при округленні.

Завдання для самостійної роботи

Використовуючи метод Рунне-Кутта, скласти таблицю наближених значень інтеграла диференціального рівняння яке задовольняє початковим умовам на відрізку крок Всі розрахунки проводити з чотирма десятковими знаками.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про застосування методу Рунге-Кутта.
  • Додано
    14.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    100
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    1
  • Номер матеріала
    PQ635620
  • Вподобань
    0
Курс:«Розвиток особистості на всіх вікових етапах життя»
Черниш Олена Степанівна
36 години
1400 грн
590 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь