Метод простої ітерації

Опис документу:
У цьому документі йде мова про метод простої ітерації, його викорисатння та приклад задачі з використанням цього методу.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Метод простої ітерації

Розглянемо метод простої ітерації. Нехай задано систему лінійних рівнянь

(1)

(2)

Нехай діагональні елементи (i=1, 2, …,n) матриці А відмінні від нуля. Тоді, розв’язавши перше рівняння системи (1) відносно, а друге відносно і т.д., дістанемо систему

(3)

де , , (4)

Ввівши до розгляду матриці , , (5)

Систему (3) запишемо у вигляді . (6)

Систему (6) називають системою нормального виду.

Розв’яжемо її методом послідовних наближень. За початкове наближення візьмемо, наприклад, стовпець вільних членів, тобто .

Тоді послідовно знаходимо

(k = 0, 1, 2, …) (7)

або в розгорнутому вигляді

, , i = 1,2,…n; k = 0, 1, 2… (8)

Якщо послідовність наближень , , …,, … має границю , то ця границя і буде розв’язком системи (6).

Справді, перейшовши до границі, коли , у рівності (7), маємо

,

або .

Таким чином, вектор є розв’язком системи (6).

Метод послідовних наближень, який визначається формулами (7) або (8), називається методом простої ітерації або просто методом ітерації.

Праву частину рівності (6) можна розглядати як задання деякого оператора , який відображає вектор n-вимірного векторного простору у вектор y цього самого простору. При цьому

, i = 1,2,…n.

Тому знаходження розв’язку системи (6) зводиться до відшукання нерухомої точки відображення , яке визначається формулою

. (9)

Якщо відображення є стискуючим, то розв’язок рівняння , тобто рівняння (6), можна знайти методом послідовних наближень за формулами (7), починаючи з довільного вектора .

Теорема 1. Якщо матриця системи рівнянь (6) задовольняє одну з умов , або , то система (6) має єдиний розв’язок , який можна дістати як границю послідовності , побудованою за формулою (7), починаючи з початкового довільного вектора .

Метод простої ітерації слід закінчити, якщо стане справедливою нерівність , (10)

Теорема 2. Якщо елементи матриці А задовольняють одну з умов

, , i = 1,2,…n;

або , то система рівнянь (1) має єдиний розв’язок , який можна дістати як границю послідовності , побудованої за формулою , i = 1,2,…n; k = 0, 1, 2…, починаючи з довільного початкового наближення .

Метод ітерації легко реалізовується на ЕОМ. Алгоритм розв’язування системи виду (2) передбачає:

  1. Обчислення величини .

  2. Перевірку умови . Якщо ця умова не виконується, то процес обчислень закінчується і видається повідомлення про те, що метод застосувати не можна.

  3. Обчислення допустимої похибки.

  4. Вибір початкового наближення ( = 1, 2, …, ).

  5. Обчислення наступного наближення ( = 1, 2, …, ) через попередні ( = 1, 2, …, ).

  6. Перевірку умови . Якщо ця умова виконується то процес ітерацій завершується, інакше переходять до виконання п.5.

3

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
6
дн.
0
9
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!