Метод квадратних коренів

Опис документу:
У цьому документі йде мова про метод квадратних коренів, пояснення методу та його використання.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

МЕТОД КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ

Цей метод використовується для знаходження розв’язку лінійної системи рівнянь Ах = b, (2) в якій матриця А = (а) симетрична, тобто елементи, симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою: а = а (i, j = 1,2, …, n). Відомо, що симетричну матрицю А завжди можна подати у вигляді добутку двох взаємно транспонованих трикутних матриць А = Т΄Т, (3)

де Т = ; Т΄ = .

Якщо тепер перемножити матриці Т΄ і Т, а потім прирівняти відповідні елементи матриць у рівності (3), то для знаходження елементів t

(i = 1, 2, …, n; j = i, i+1, …, n) матриці Т дістанемо систему рівнянь

(i = 1, 2, …, n; j = i+1, i+2, …, n; i j).

З цієї системи знаходимо послідовно елементи матриці Т (і Т΄).

Маємо (4)

З рівності (3) випливає, що система (2) рівносильна двом системам рівнянь з трикутними матрицями Т΄y = b і Тx = y.

Розв’язавши систему Т΄y = b з нижньою трикутною матрицею Т΄, знайдемо (5)

Розв’язавши потім систему Тx = y з верхньою трикутною матрицею Т, знайдемо шуканий розв’язок системи (2) (6)

Всі обчислення за формулами (4)–(6) доцільно виконувати за спеціальною схемою (табл. 1), в якій забезпечується проміжний і заключний контролі введенням контрольних і рядкових сум. У методі квадратних коренів, як і в методі Гауса, поряд з системою (2) одночасно розв’язують допоміжну систему А=s. (7)

Таблиця 1

Крок пере-тровення

Рядок

Коефіцієнти при змінних

Вільний член

Контроль

x

x

x

Контрольна сума

Рядкова сума

1

2

3

4

n+2

n+3

n+4

n+5

1

1

a

a

a

b

s

2

a

a

b

s

n

a

b

s

2

n+1

t

t

t

y

z

u

n+2

t

t

t

z

u

2n

t

y

z

u

3

2n+1

1

x

1+ x

3n-1

1

x

1+ x

3n

1

x

1+ x

Системи (2) і (7) мають однакову матрицю коефіцієнтів А, але різні вільні члени: у системі (2) – це числа b (i = 1, 2, …, n), а в системы (7) – числа

s = (8)

Розв’язки цих систем зв’язані співвідношенням:

(9)

Оскільки система (7) рівносильна двом системам з трикутними матрицями Т´z=s i T=z, то елементи вектора z обчислюють за формулами

z, z, (1 < i n), (10)

а елементи вектора – за формулами

, , (1 < i n). (11)

Поточний контроль здійснюють порівнянням контрольних сум z (стовпець n+4), які обчислюють за формулами

u (і = 1,2,3 …, n). (12)

Якщо обчислення виконано правильно, то суми збігаються, або внаслідок округлення проміжних обчислень відрізняться між собою на 1-2 одиниці нижчого розряду. Всі проміжні обчислення доцільно виконувати з 1-2 запасними цифрами.

Заключний контроль можна здійснити двояко. Або перевірити виконання рівностей (9) або (і) обчислити нев’язки, підставивши знайдений розв’язок у систему (2).

Розрахункова таблиця 1 складається з трьох частин. У першій записано коефіцієнти і вільні члени системи(2), а також обчислені за формулами (8) контрольні суми s (рядкові суми можна не записувати, бо вони збігаються з контрольними); у другій знайдені за формулами(4) коефіцієнти t (i=1, 2, …, n; j = i+1, і+2, …, n) матриці Т, обчислені за формулами (5) і (10) вектори y i z, а також обчислені за формулами (12) рядкові суми u (i = 1, 2, …, n); у третій – обчислені за формулами (6) і (11) вектори x і . Дві перші частини – це прямий хід, а третя – зворотній .

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
6
дн.
2
3
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!