і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Взяти участь
Поспішайте взяти участь у вебінарі Ефективність методу асоціативних символів на початковому етапі вивчення англійської мови
До початку вебінару залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

Метод квадратних коренів

Перегляд
матеріалу
Отримати код

МЕТОД КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ

Цей метод використовується для знаходження розв’язку лінійної системи рівнянь Ах = b, (2) в якій матриця А = (а) симетрична, тобто елементи, симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою: а = а (i, j = 1,2, …, n). Відомо, що симетричну матрицю А завжди можна подати у вигляді добутку двох взаємно транспонованих трикутних матриць А = Т΄Т, (3)

де Т = ; Т΄ = .

Якщо тепер перемножити матриці Т΄ і Т, а потім прирівняти відповідні елементи матриць у рівності (3), то для знаходження елементів t

(i = 1, 2, …, n; j = i, i+1, …, n) матриці Т дістанемо систему рівнянь

(i = 1, 2, …, n; j = i+1, i+2, …, n; i j).

З цієї системи знаходимо послідовно елементи матриці Т (і Т΄).

Маємо (4)

З рівності (3) випливає, що система (2) рівносильна двом системам рівнянь з трикутними матрицями Т΄y = b і Тx = y.

Розв’язавши систему Т΄y = b з нижньою трикутною матрицею Т΄, знайдемо (5)

Розв’язавши потім систему Тx = y з верхньою трикутною матрицею Т, знайдемо шуканий розв’язок системи (2) (6)

Всі обчислення за формулами (4)–(6) доцільно виконувати за спеціальною схемою (табл. 1), в якій забезпечується проміжний і заключний контролі введенням контрольних і рядкових сум. У методі квадратних коренів, як і в методі Гауса, поряд з системою (2) одночасно розв’язують допоміжну систему А=s. (7)

Таблиця 1

Крок пере-тровення

Рядок

Коефіцієнти при змінних

Вільний член

Контроль

x

x

x

Контрольна сума

Рядкова сума

1

2

3

4

n+2

n+3

n+4

n+5

1

1

a

a

a

b

s

2

a

a

b

s

n

a

b

s

2

n+1

t

t

t

y

z

u

n+2

t

t

t

z

u

2n

t

y

z

u

3

2n+1

1

x

1+ x

3n-1

1

x

1+ x

3n

1

x

1+ x

Системи (2) і (7) мають однакову матрицю коефіцієнтів А, але різні вільні члени: у системі (2) – це числа b (i = 1, 2, …, n), а в системы (7) – числа

s = (8)

Розв’язки цих систем зв’язані співвідношенням:

(9)

Оскільки система (7) рівносильна двом системам з трикутними матрицями Т´z=s i T=z, то елементи вектора z обчислюють за формулами

z, z, (1 < i n), (10)

а елементи вектора – за формулами

, , (1 < i n). (11)

Поточний контроль здійснюють порівнянням контрольних сум z (стовпець n+4), які обчислюють за формулами

u (і = 1,2,3 …, n). (12)

Якщо обчислення виконано правильно, то суми збігаються, або внаслідок округлення проміжних обчислень відрізняться між собою на 1-2 одиниці нижчого розряду. Всі проміжні обчислення доцільно виконувати з 1-2 запасними цифрами.

Заключний контроль можна здійснити двояко. Або перевірити виконання рівностей (9) або (і) обчислити нев’язки, підставивши знайдений розв’язок у систему (2).

Розрахункова таблиця 1 складається з трьох частин. У першій записано коефіцієнти і вільні члени системи(2), а також обчислені за формулами (8) контрольні суми s (рядкові суми можна не записувати, бо вони збігаються з контрольними); у другій знайдені за формулами(4) коефіцієнти t (i=1, 2, …, n; j = i+1, і+2, …, n) матриці Т, обчислені за формулами (5) і (10) вектори y i z, а також обчислені за формулами (12) рядкові суми u (i = 1, 2, …, n); у третій – обчислені за формулами (6) і (11) вектори x і . Дві перші частини – це прямий хід, а третя – зворотній .

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про метод квадратних коренів, пояснення методу та його використання.
  • Додано
    14.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    141
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    FM009105
  • Вподобань
    0
Курс:«Використання веб-квестів в освітньому процесі»
Левченко Ірина Михайлівна
36 години
1400 грн
590 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь