Метод ітерації розв’язування нелінійних рівнянь

Опис документу:
У цьому документі йде мова про метод ітерації та його використання при розв’язуванні нелінійних рівнянь.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Метод ітерації розв’язування нелінійних рівнянь

Припустимо, що рівняння f(x)=0 за допомогою деяких тотожних перетворень зведене до вигляду . Відмітимо, що таке перетворення можна робити різними способами, і при цьому матимемо різні функції в правій частині рівняння. Рівняння f(x)=0 еквівалентне рівнянню для будь-якої функції . Таким чином, можна взяти і при цьому вибрати функцію (або постійну) так, щоб функція задовольняла тим властивостям, які знадобляться нам для забезпечення знаходження кореня рівняння.

Для знаходження кореня рівняння виберемо деяке початкове наближення x0 (розташоване, по можливості, близько до кореня). Далі будемо обчислювати подальші наближення за формулами і так далі, тобто використовуючи кожне обчислене наближення до кореня як аргумент функції в черговому обчисленні. Такі обчислення за однією і тією ж формулою , коли отримане на попередньому кроці значення використовується на подальшому кроці, називаються ітераціями. Ітераціями називають часто і самі значення xi, отримані в цьому процесі (тобто, в нашому випадку, послідовні наближення до кореня). Відмітимо той факт, що x*корінь рівняння , означає, що x* є абсциса точки перетину графіка з прямою y=x. Якщо ж при якому-небудь x0 обчислено значення і взято за новий аргумент функції, то це означає, що через точку графіка проводиться горизонталь до прямої y=x, а звідти опускається перпендикуляр на вісь. Там і знаходитиметься новий аргумент x1.

Прослідкуємо, як змінюються послідовні наближення xi при різних варіантах взаємного розташування графіка і прямої y=x.

1) Графік розташований, принаймні в деякому околі кореня , що включає початкове наближення x0, в деякому куті зі сторонами, що мають нахил менше до горизонталі (тобто сторони кута –прямі , де 0<k<1):

Рис.2.Графік перетинає пряму y=x під малим кутом: варіанти розташування.

Якщо припустити додатково, що функція має похідну , то цей випадок відповідає тому, що виконується нерівність , при x, близьких до кореня x*. Простежимо в цьому випадку за поведінкою послідовних наближень

Рис.3.Наближення, що збігаються до кореня у випадку .

Ми бачимо, що кожне наступне наближення xi+1 буде в цьому випадку розташовано ближче до кореня x*, ніж попереднє xi. При цьому, якщо графік при x<x*, лежить нижче за горизонталь , а при x>x* вище за неї (що, у разі наявності похідної, вірно, якщо ), то наближення xi поводяться монотонно: якщо xo<x*, то послідовність {xi} монотонно зростає і прямує до x*, а якщо xo>x*, то монотонно спадає і також прямує до x*. Якщо ж графік функції лежить вище за горизонталь при x<x* і нижче за неї при x>x* (якщо ), то послідовні наближення поводяться інакше: вони "скачуть" навколо кореня, з кожним стрибком наближаючись до нього, але так само прямують до x* при .

Відмітимо, що якщо функція не монотонна в околі точки x*, то послідовні наближення можуть поводитися нерегулярно (тобто не монотонно і не потрапляючи почергово то лівіше, то правіше кореня, а роблячи стрибки відносно кореня при довільних номерах.

2) Графік розташований, принаймні в деякому околі кореня, що включає початкове наближення x0, в деякому куті зі сторонами, що мають нахил більше до горизонталі (тобто сторони кута – прямі , де k>1):

Рис.5.Графік перетинає пряму y=x під великим кутом: варіанти розташування.

Якщо функція має похідну , то при x, близьких до кореня x* виконується нерівність .

Рис.6.Послідовність розбіжна у випадку .

Кожна наступна ітерація xi+1 буде в цьому випадку розташована далі від кореня x*, ніж попередня xi. При цьому, залежно від того, чи перетинає графік пряму y=x "знизу вгору" або "згори донизу", послідовність {xi} монотонно віддаляється від кореня x* або ж ітерації віддаляються від x* , потрапляючи почергово то справа, то зліва від кореня.

Ще одне зауваження: якщо не виконується ні умова , ні , то ітерації можуть зациклюватися. Напри-лад, якщо рівняння має вигляд: x=2x*-x:

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
3
дн.
0
2
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!