Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця
Метод Ейлера
Якщо інтеграл у правій частині формули (5) обчислити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо
у(хк+1)=у(хк)+hf(xk,y(xk))+O(h2) (6)
Відкинувши в цій рівності доданок порядку O(h2), дістанемо розрахункову формулу
ук+1=ук+hf(xk,yk) (k=0,1,2,..., n-1), h=xk+1-xk, (7)
яку називають формулою Ейлера. Тут і далі скрізь ук і y(xk) – відповідно, наближене і точне значення шуканого розв’язку задачі (1)-(2) у точці xk. Різницю ук-y(xk) називають похибкою наближеного значення в ук точці хк.
Оскільки дотична до графіка функції у(х) в точці (хк,ук) має кутовий коефіцієнт k, який дорівнює значенню похідної , то рівняння дотичної до інтегральної кривої у(х) задачі (1)-(2) в точці (хк,ук) має вигляд
або
.
Звідси для ординати точки ук+1 перетину цієї дотичної з прямою х= хк+1 дістанемо формулу (7). А це означає, що на кожному з відрізків [хk; xk+1], (k=0,1,...,n-1) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (хк,ук).
Якщо в площині Оху позначити точки Мк(хк,ук), k=0,1,...,n і сполучити їх по порядку відрізками, то дістанемо ламану (її називають ламаною Ейлера), яка наближено зображує графік шуканого розв’язку задачі (1)-(2). У цьому полягає геометричний зміст методу Ейлера (рис. 1).
Зазначимо, що похибка методу Ейлера на кожному кроці є величина порядку O(h2). Точність методу досить мала і з переходом від точки хк до точки хк+1 її похибка систематично зростає.
Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»