і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Предмети »

Метод Ейлера

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Метод Ейлера

Якщо інтеграл у правій частині формули (5) обчислити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо

у(хк+1)=у(хк)+hf(xk,y(xk))+O(h2) (6)

Відкинувши в цій рівності доданок порядку O(h2), дістанемо розрахункову формулу

ук+1к+hf(xk,yk) (k=0,1,2,..., n-1), h=xk+1-xk, (7)

яку називають формулою Ейлера. Тут і далі скрізь ук і y(xk) – відповідно, наближене і точне значення шуканого розв’язку задачі (1)-(2) у точці xk. Різницю ук-y(xk) називають похибкою наближеного значення в ук точці хк.

Оскільки дотична до графіка функції у(х) в точці (хкк) має кутовий коефіцієнт k, який дорівнює значенню похідної , то рівняння дотичної до інтегральної кривої у(х) задачі (1)-(2) в точці (хкк) має вигляд

або .

Звідси для ординати точки ук+1 перетину цієї дотичної з прямою х= хк+1 дістанемо формулу (7). А це означає, що на кожному з відрізків [хk; xk+1], (k=0,1,...,n-1) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (хкк).

Якщо в площині Оху позначити точки Мккк), k=0,1,...,n і сполучити їх по порядку відрізками, то дістанемо ламану (її називають ламаною Ейлера), яка наближено зображує графік шуканого розв’язку задачі (1)-(2). У цьому полягає геометричний зміст методу Ейлера (рис. 1).

Зазначимо, що похибка методу Ейлера на кожному кроці є величина порядку O(h2). Точність методу досить мала і з переходом від точки хк до точки хк+1 її похибка систематично зростає.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про метод Ейлера та його використання.
  • Додано
    14.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    88
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    NV850034
  • Вподобань
    0
Курс:«Розвиток особистості на всіх вікових етапах життя»
Черниш Олена Степанівна
36 годин
1400 грн
590 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь