Метод Ейлера

Метод Ейлера

Якщо інтеграл у правій частині формули (5) обчислити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо

у(х_к+1)=у(х_к)+hf(x_k,y(x_k))+O(h²) (6)

Відкинувши в цій рівності доданок порядку O(h²), дістанемо розрахункову формулу

у_к+1=у_к+hf(x_k,y_k) (k=0,1,2,..., n-1), h=x_k+1-x_k, (7)

яку називають формулою Ейлера. Тут і далі скрізь у_к і y(x_k) – відповідно, наближене і точне значення шуканого розв’язку задачі (1)-(2) у точці x_k. Різницю у_к-y(x_k) називають похибкою наближеного значення в у_к точці х_к.

Оскільки дотична до графіка функції у(х) в точці (х_к,у_к) має кутовий коефіцієнт k, який дорівнює значенню похідної , то рівняння дотичної до інтегральної кривої у(х) задачі (1)-(2) в точці (х_к,у_к) має вигляд

або .

Звідси для ординати точки у_к+1 перетину цієї дотичної з прямою х= х_к+1 дістанемо формулу (7). А це означає, що на кожному з відрізків [х_k; x_k+1], (k=0,1,...,n-1) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (х_к,у_к).

Якщо в площині Оху позначити точки М_к(х_к,у_к), k=0,1,...,n і сполучити їх по порядку відрізками, то дістанемо ламану (її називають ламаною Ейлера), яка наближено зображує графік шуканого розв’язку задачі (1)-(2). У цьому полягає геометричний зміст методу Ейлера (рис. 1).

Зазначимо, що похибка методу Ейлера на кожному кроці є величина порядку O(h²). Точність методу досить мала і з переходом від точки х_к до точки х_к+1 її похибка систематично зростає.