і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
! В а ж л и в о
Предмети »

Метод дотичних

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Метод дотичних

Нехай рівняння f(x) = 0 на відрізку [a;b] має ізольований корінь x*, тобто f(a)f(b) < 0, а функції f(x) і f´(x) неперервні і зберігають знак на [a;b].

Нехай xkk-е наближення кореня. Розкладемо f(x) в ряд Тейлора в околі точки xk

f(x) = f(xk) + f´(xk)(x-xk) + f´´(xk)(x-xk)2 + …

Замість рівняння f(x) = 0 розглядатимемо рівняння f(xk) + f´(xk)(x-xk) = 0, яке враховує тільки лінійну відносно x - xk частину ряду Тейлора. Розвязавши його відносно x, дістанемо .

Взявши знайдене значення x за наступне наближення, матимемо

xk+1 = xk - , k = 0, 1, 2, … . (1)

Формула (1) визначає метод Ньютона. Він має просту геометричну інтерпретацію. Значення xk+1 є абсцисою точки перетину дотичної

y–f(xk) = f´( xk)(x - xk) до кривої y = f(x) в точці (xk, f(xk)) (мал. 1). Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних. З малюнка видно, що послідовні наближення збігаються до кореня x* монотонно.

Мал. 1 ілюструє такі випадки: а) f´´(x) > 0, f´(x) > 0; б) f´´(x) > 0, f´(x) < 0; в) f´´(x) < 0, f´(x) > 0; г) f´´(x) < 0, f´(x) < 0.

За початкове наближення у методі Ньютона слід брати точку x0 [a;b], в якій f(x0)f´(x0) > 0.

Метод Ньютона є методом послідовних наближень xk+1 = φ(xk), де функція . (2)

Достатні умови збіжності методу Ньютона дає така теорема.

Теорема. Нехай на відрізку [a;b] функція f(x) має неперервні із сталими знаками похідні f´(x) ≠ 0, f´´(x) ≠ 0 і f(a)f(b) < 0. Тоді існує такий окіл R [a;b] кореня x* рівняння f(x) = 0, що для будь-якого x0 R послідовність {xk}, обчислена за формулою (1), збігається до кореня x* .

Доведення. Для доведення збіжності послідовності {xk} до кореня x* досить показати, що похідна φ´(x) функції (2) задовольняє умови 0 < | φ´(x)| ≤ q < 1 для будь-якого x R, і взяти х0 з околу R кореня x* .

Для похідної φ´(x) маємо вираз

φ´(x) = .

Оскільки f´´(x) неперервна і відмінна від нуля на [a;b], то існують такі додатні m1 і M2, що

|f´(x)| m1, |f´´(x)|M2 для будь-яких x [a;b].

Тоді | φ´(x)| ≤ .

З неперервності функції f(x) випливає, що існує окіл R кореня x* , в якому функція f(x) задовольняє нерівність

, 0 < q < 1.

Внаслідок чого | φ´(x)| ≤ q < 1 для всіх x R.

Таким чином, послідовність {xk}, обчислена за формулою (1), збігається до кореня x* , якщо початкове наближення x0 R.

Теорему доведено.

Оцінимо швидкість збіжності методу Ньютона. Для цього запишемо функцію f(x) в околі точки xk R за формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа

f(x) = f(xk) + f´(xk)(x - xk) + f´´(η)(x - xk)2,

де η лежить між точками х і xk . Поклавши в ній х = х* і врахувавши, що

f(x*)= 0, дістанемо:

.

Звідси і з (1)маємо

.

Поклавши

M2 =, m1 =, (3)

знаходимо . (4)

З оцінки (4) випливає, що метод Ньютона збігатиметься до кореня x*, якщо початкове наближення х0 таке, що

,

причому в цьому випадку збіжність є квадратичною. Це означає, що похибка кожного наступного наближення пропорційна квадрату похибки попереднього наближення.

Зокрема, якщо і , то з (4) маємо: .

Отже, коли наближення хk має m правильних десяткових знаків, то наступне наближення xk+1 матиме щонайменше 2m правильних десяткових знаків.

Для оцінки k-го наближення методу Ньютона можна скористатися формулою (3), в якій m1 =. Тоді ітераційний процес можна закінчити, якщо стане правильною нерівність , де - наперед задана точність наближення xk .

Можна довести, що для методу Ньютона справедлива оцінка

,

де m1 і M2 визначаються за формулами (3).

З цієї оцінки видно, що для досягнення заданої точності ітераційний процес треба продовжувати доти, поки для двох послідовних наближень xk, xk-1 не виконуватиметься нерівність

.

Якщо на відрізку [a;b] справедлива нерівність M2 < 2m1, то ітераційний процес можна закінчити, коли виконується умова .

З формули (2) видно, що чим більше значення |f´(x)| в околі кореня, тим менша поправка додається до попереднього наближення. Тому метод Ньютона зручно застосовувати тоді, коли в околі кореня графік функції y = f(x) має значну крутість. Крім того, методом Ньютона можна знаходити не тільки дійсні корені рівнянь, а й комплексні. Метод Ньютона поширюється і на розвязування систем нелінійних рівнянь з багатьма невідомими.

Недоліком методу Ньютона є те, що на кожній ітерації треба обчислювати не тільки значення функції f(x), а й значення її похідної f´(x). Обчислення похідної f´(x) може бути значно складнішим від обчислення f(x). У таких випадках похідну f´(xk) замінюють її наближеним значенням

.

Якщо похідна f´(x) мало змінюється на [a;b], то кількість обчислень у методі Ньютона можна зменшити, коли значення похідних f´(xk) у точках xk , k= 1, 2, …замінити значенням f´(x0) у точці x0. Тоді формула (1) набере вигляду

, k = 0, 1, 2, … (5)

В результаті дістали спрощений метод Ньютона. Геометрично він означає, що дотичні в точках (xk,f(xk)) замінюються прямими, паралельними дотичній, проведеній до кривої y = f(x) у точці (x0,f(x0)).

Приклад. Методом дотичних знайти корінь рівняння

x3 + 1,76439x2 + 2,21584x – 3,31344 = 0

з точністю до 0, 00005 на проміжку [0;1].

З виразів для f´(x) і f´´(x)

f´(x) = 3x2 + 3,52878x + 2,21584;

f´´(x) = 6x + 3,52878

знаходимо, що f´´(x) > 0 і f´(x) > 0 при довільних x [0;1], .

Обчислення подані в таблиці:

k

xk

f(xk)

f´(xk)

0

1

2

3

4

1,00

0,81

0,790

0,78560

0,78544

1,67

0,17

0,03

0,0011

0,00000

8,74

7,04

6,88

6,8396

0,75

0,08

0,01

0,0005

0,00000

З таблиці знаходимо, що x* = 0,78544 з точністю до 0,00005.

ЗАВДАННЯ

1) Відокремити корені рівняння графічно й уточнити один з них методом дотичних з точністю до 0,001.

2) Відокремити корені рівняння аналітично й уточнити один з них з точністю до 0,001 методом дотичних.

1. 1) 2)

2. 1) 2)

3. 1) 2)

4. 1) 2)

5. 1) 2)

6. 1) 2)

7. 1) 2)

8. 1) 2)

9. 1) 2)

10. 1) 2)

11. 1) 2)

12. 1) 2)

13. 1) 2)

14. 1) 2)

15. 1) 2)

16. 1) 2)

17. 1) 2)

18. 1) 2)

19. 1) 2)

20. 1) 2)

21. 1) 2)

22. 1) 2)

23. 1) 2)

24. 1) 2)

25. 1) 2)

26. 1) 2)

27. 1) 2)

28. 1) 2)

29. 1) 2)

30. 1) 2)

31. 1) 2)

32. 1) 2)

33. 1) 2)

34. 1) 2)

35. 1) 2)

36. 1) 2)

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про метод дотичних та його використання.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Протидія шкільному насильству»
Черниш Олена Степанівна
72 години
790 грн
395 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти