До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
0
5
дн.
0
6
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Логічні задачі у шкільному курсі математики

Опис документу:
Курсова робота. В даній роботі виділено значення логічних задач у шкільному курсі математики. Проведено класифікацію логічних задач, наведено приклади різних задач та їхні розв'язки. Описано методику розв'язання логічних задач.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

53

ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ У ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ

ЗМІСТ

ВСТУП………………………………………………………………………….……3

РОЗДІЛ 1…………………………………………………………….………………5

1.1. Програмні вимоги щодо вивчення математики у 4-11 класах та їх взаємозв’язок з логічними задачами………………………………………………..5

1.2.Класифікація логічних задач у шкільному курсі математики………………..8

РОЗДІЛ 2…………………………………………………...………………………12

2.1. Методика розв’язування логічних задач……………………..……………...12

2.2 Логічні задачі для учнів 4-11класів…………………………………………...30

ВИСНОВКИ………………………………………………………….…….………52

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ………………………………….54

ВСТУП

За допомогою логіки доводять, за допомогою інтуїції винаходять.

А. Пуанкаре

На сучасному етапі розвитку освіти школа поступово переходить на нові

структуру і зміст. Зросли вимоги до якості освіти, створено сприятливі умови для посилення практичної спрямованості навчання та для розвитку творчого, логічного та критичного мислення. Адже сучасне суспільство потребує мислячої, творчої та незалежної людини, яка не дивлячись на перешкоди буде працювати над створенням комфортних умов життя.

Щоб досягти значних успіхів у будь-якій сфері діяльності необхідно володіти навичками аналізу та порівняння, необхідно вміти оцінювати ті чи інші явища, ситуації. Формування цих навичок відбувається в процесі розвитку логічного мислення. Отже, розвиток логічного мислення – одне з основних завдань вивчення математики. Саме тому у шкільному курсі математики вивчаються логічні задачі.

Актуальність теми, її практичне значення зумовили вибір теми курсового дослідження : «Логічні задачі у шкільному курсі математики». Ми вирішили детальніше розглянути особливості вивчення логічних задач, а саме класифікацію та методику розв’язання.

Об’єктом дослідження є логічні задачі у шкільному курсі математики.

Предмет дослідження – особливості та методика навчання логічних задач у шкільному курсі математики.

Мета дослідження полягає у доведенні необхідності вивчення логічних задач у шкільному курсі математики, класифікації логічних задач та розкритті методики вивчення логічних задач.

Завдання дослідження:

  1. Розглянути програмні вимоги щодо вивчення математики у 4-11 класах та їх зв'язок з логічними задачами.

  2. Визначити особливості логічних задач.

  3. Провести класифікацію логічних задач.

  4. Описати методику розв’язання логічних задач.

У курсовій роботі використано такі методи науково-педагогічного дослідження:

• вивчення та аналіз літературних джерел,

• аналіз і синтез,

• узагальнення,

• порівняння,

• систематизація,

• вивчення передового педагогічного досвіду.

Курсова робота складається з вступу, двох розділів, висновків, списку використаної літератури ( 24 джерела). Загальний обсяг курсової роботи – 56 сторінок.

РОЗДІЛ 1

Математика цікава тоді, коли дає поживу нашій винахідливості й здатності до міркувань.

Прокл

1.1.Програмні вимоги щодо вивчення математики у 4-11 класах та їх взаємозв’язок з логічними задачами.

У шкільному курсі математики особливе місце посідають логічні задачі. Такі задачі приваблюють учнів, своїм життєвим спрямуванням, нестандартним цікавим формулюванням умови, що сприяє формування у нас зацікавленості до предмету математики, розвиває мислення, уяву та увагу. Розв’язування задач такого змісту вчить аналізувати, порівнювати, робити висновки, а іноді й шукати нестандартні способи розв’язання. Такі вміння допоможуть учням у майбутньому не лише оволодіти математикою чи іншою наукою, а ще й шукати вихід із складних життєвих ситуацій.

Отже, розвиток навичок логічного мислення, аналізу, порівняння… потрібно розпочинати з дошкільного віку, а вивчення логічних задач слів розпочинати із початкової школи. Одним із завдань навчання математики є формування в учнів здатності розпізнавати практичні проблеми, які можна розв’язати із застосуванням математичних методів. У зв’язку з цим особливо значуща роль у початковій школі відведена змістовій лінії «Сюжетні задачі». Сюжетні задачі виступають важливим засобом ілюстрації і конкретизації навчального матеріалу; розвитку пізнавальних процесів, оволодіння прийомами розумової діяльності; виховання вольових якостей, естетичних почуттів; розвитку вміння будувати судження, робити висновки; формування в учнів мотивації їхньої навчальної діяльності, інтересу та здатності до цієї діяльності. Саме у цій змістовій лінії зосереджена основна кількість завдань із логічним навантаженням.

Логічні задачі забезпечують зв’язок математики із реальним життям дитини. Уміння розв’язувати задачі є не лише показником навченості, а й здатності до самостійної навчальної діяльності. [19]

Мета базової загальної середньої освіти: розвиток та соціалізація особистості учнів, формування їхньої національної самосвідомості, загальної культури, світоглядних орієнтирів, екологічного стилю мислення і поведінки, творчих здібностей, дослідницьких навичок і навичок життєзабезпечення, здатності до саморозвитку та самонавчання в умовах глобальних змін і викликів.

Провідним засобом реалізації вказаної мети є запровадження компетентнісного підходу у навчально-виховний процес загальноосвітньої школи шляхом формування предметних і ключових компетентностей.

Курс математики основної школи логічно продовжує реалізацію завдань математичної освіти учнів, розпочату в початкових класах, розширюючи і доповнюючи ці завдання відповідно до вікових і пізнавальних можливостей школярів. В основу побудови змісту та організації процесу навчання математики покладено компетентнісний підхід, відповідно до якого кінцевим результатом навчання предмета є сформовані певні компетентності, як здатності учня застосовувати свої знання в навчальних і реальних життєвих ситуаціях, повноцінно брати участь в житті суспільства, нести відповідальність за свої дії. Навчання математики в основній школі передбачає формування предметної математичної компетентності, сутнісний опис якої подано у розділі «Очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності» цієї програми. Формування зазначеної компетентності підпорядковується реалізації загальних завдань шкільної математичної освіти.

Математична компетентність:

Уміння: оперувати числовою інформацією, геометричними об’єктами на площині та в просторі; встановлювати відношення між реальними об’єктами навколишньої дійсності (природними, культурними, технічними тощо); розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту; будувати і досліджувати найпростіші математичні моделі реальних об'єктів, процесів і явищ, інтерпретувати та оцінювати результати; прогнозувати в контексті навчальних та практичних задач; використовувати математичні методи у життєвих ситуаціях.

Ставлення: усвідомлення значення математики для повноцінного життя в сучасному суспільстві, розвитку технологічного, економічного й оборонного потенціалу держави, успішного вивчення інших дисциплін.

Навчальні ресурси: розв'язування математичних задач, зокрема таких, що моделюють реальні життєві ситуації. [18]

У навчальній програмі для 10-11 класів доводиться те, що формування навичок застосування математики є однією із головних цілей викладання математики. Радикальним засобом реалізації прикладної спрямованості шкільного курсу математики є широке систематичне застосування методу математичного моделювання протягом усього курсу. Це стосується введення понять, виявлення зв’язків між ними, характеру ілюстрацій, системи вправ і, нарешті, системи контролю. Інакше кажучи, математики треба так навчати, щоб учні вміли її застосовувати. Забезпечення прикладної спрямованості викладання математики сприяє формуванню стійких мотивів до навчання взагалі і до навчання математики зокрема. [20]

1.2.Класифікація логічних задач у шкільному курсі математики

Логіка - це русло думки.

Геннадій Матюші

Логічними називають задачі які навчають учнів розмірковувати, критично мислити, аналізувати умову, виділяти з неї головне та зайве, знаходити правильне розв’язання проблеми опираючись на уже відоме.

У шкільному курсі математики доцільно розглядати наступну класифікацію логічних задач:

1.Задачі теоретико - множинного (комбінаторного) змісту.

2.Задачі на використання закону суперечності.

3.Задачі на використання методу «від супротивного».

4.Задачі на несуперечність множини висловлень.

Детальніше ознайомимося із задачами кожного класу.

Задачі теоретико-множинного змісту передбачають розуміння основного апарату теорії множин (поняття множина, операція над множинами, їх основних властивостей). Процес розв’язання таких задач стає більш наочним та зрозумілим із використанням графічної моделі, яка відображує зв’язок із даними умови і шуканими величинами.

«У класі 35 учнів. З них 20 займаються в математичному гуртку, 11 у біологічному. 10 учнів не відвідують жоден гурток. Скільки біологів займаються математикою?»

Задачі на використання закону суперечності. Цей клас задач розв’язується шляхом виключення випадків, що суперечать будь-якій із умов задачі.

« Денис, Назар, Остап і Артур – чотири спортсмени. Один з них футболіст, другий- боксер, третій- тенісист, четвертий –баскетболіст. Хто яким видом спорту займається? Назар і Остап не займаються командними видами спорту. Артур і Остап не займаються тенісом. Денис і Назар не займаються футболом».

Задачі на використання методу «від супротивного». Під час розв’язування задачі методом «від супротивного», роблять припущення, протилежне даному в задачі. І шляхом міркування приходять до твердження що суперечить умові задачі, або іншим відомим фактам.

«У магазин привезли 51 саджанець троянди, п’яти сортів. Чи серед цих рослин знайдеться 11 саджанців одного сорту?»

Задачі на несуперечність множини висловлень.

«Остап, Борис і Маркіян знайшли в землі посудину. Кожен з них висловив два твердження.

Остап: «Ця посудина фінікійська, 3століття»;

Борис: «Ця посудина грецька, 5століття»;

Маркіян: «Ця посудина не грецька, 4 століття».

Вчитель історії сказав, що кожен з хлопців правий тільки в одному з тверджень. Де і в якому столітті була виготовлена посудина?» [21]

Ми можемо виділити ще кілька класів логічних задач:

  1. Задачі на переливання.

  2. Задачі на перекладання.

  3. Задачі на визначення легших чи важчих предметів.

  4. Задачі на рівновагу.

  5. Задачі на визначення ваги.

Задачі на переливання. Задачу на переливання називають задачею Пуассона: Симеон Дені Пуассон (1781-1840) — відомий французький математик, механік i фізик. Коли Пуассон був юнаком i коливався у виборі життєвого шляху, приятель показав йому тексти декількох задач, з якими ніяк не міг впоратися сам. Пуассон менш ніж за годину розв'язав усі. Але особливо йому сподобалася така задача:

«Хтось має 12 пінт соку (пінта дорівнює приблизно 0,568 л) i хоче подарувати половину, але не має посудини в 6 пінт; у нього дві посудини: одна — у сім, друга — у п'ять пінт. Яким чином налити 6 пінт у посудину восьми пінт?»

«Ця задача визначила мою долю, — казав він згодом. — Я вирішив, що неодмінно буду математиком».

Задачі на перекладання. Задачі цього типу зводяться до одержання визначеної кількості рівних за кількістю та масою об'єктів.

«Три посудини заповнені (не доверху) водою. В одній посудині 44 л води, у другій — 28 л, у третій — 24 л. У кожну посудину можна налити з іншої стільки води, скільки в ній було налито. Як розлити воду так, щоб у кожній посудині була рівна кількість води?»

Задачі на визначення легших чи важчих предметів.

«В експериментальному цеху заводу виготовлено вісім деталей для машини, зовсім однакових за формою. Сім деталей виготовлено iз одного металу, восьму деталь — із більш легкого сплаву. Тільки 2 рази зваживши деталі за допомогою терезів i не користуючись при цьому гирями, визначте, яка з цих восьми деталей більш легка».

Задачі на рівновагу. У задачах цього типу необхідно з рівноваги об'єкти зробити висновок про масу певного об'єкта (важчий або легший він порівняно з іншими об'єктами, i, якщо можливо, вказати, у скільки разів) або вказати спосіб урівноважування предмета за допомогою заданого набору гирь.

«На прилавку 3 капустини, 2 кавуни i буряк. Усі три капустини важать однаково, i в кавунів однакова маса. За допомогою рисунка, визначте у скільки разів гарбуз важчий від буряка?»

Задачі на визначення ваги.

«Каністра з бензином важить 24 кг, а така ж каністра, наповнена бензином до половини, важить 14 кг. Скільки бензину вміщує каністра?» [22-24]

РОЗДІЛ 2

Пам’ятайте, хочете навчитися плавати, сміливіше входьте у воду. Хочете навчитися математики, беріться за завдання. Кожне розв’язання є своєрідним мистецтвом пошуку.

Михайло Пилипович Кравчук

2.1. Методика розв’язування логічних задач

Успішне розв’язання логічних задач залежить від уміння учня мислити, бути кмітливим, здатності вести цілеспрямований пошук плану, будувати складні судження – міркування зі сполучниками: і, чи, якщо…, то. Зміст кожного завдання з логічним навантаженням дає змогу учням включати в пошук міркування, цілісно і синтетично уявити і, завдяки цьому, глибоко вникнути в ситуацію, спланувати свої дії на три-чотири кроки вперед, передбачити результат (навіть негативний) і на основі цих міркувань вибрати ланцюжок дій, який найбільш швидко та економно приведе до очікуваного результату.

Процес розв’язування завдань з логічним навантаженням має такі етапи:

- Підготовчий – уміння аналізувати структуру завдання, зіставляти дане завдання з відомими.

- Визрівання нової ідеї, формулювання гіпотези (передбачення) – уміння знаходити приховані зв’язки між даними і невідомими елементами.

- Перевірка гіпотези – уміння аналізувати гіпотезу щодо можливого розв’язання завдання.

- Розвиток ідеї – уміння логічно опрацьовувати знайдене розв’язання завдання.

Розвиток навичок розв'язування задач, безумовно, сприяє підвищенню рівня інтелекту, а під час дозвілля - це дуже корисне тренування. Головна цінність цих завдань полягає в тому, що дитина впевненіше підходить до розв'язування власних особистісних проблем, а не тільки цікавих головоломок. Адже одні й другі мають багато спільного, зокрема методи розв'язування задач. І там, і тут можна досягти значних успіхів шляхом вправляння й тренування. Читаючи задачу, учень застосовує всю свою спостережливість і вміння зосередитися, відбирає з неї ті факти, які потрібні для розв'язування. Такі задачі розвивають в дитини такі якості, як раціональність та практична кмітливість, комбінаторне мислення, вміння відшукати оптимальний шлях, продумати виграшну стратегію. Використання таких завдань на уроках сприяє вихованню в учнів інтересу до вивчення математики, бажання пізнати нове, розширити кругозір. Разом з тим вони полегшують процес засвоєння навчального матеріалу, розвивають пізнавальну діяльність та творчу ініціативу дітей. [14;15]

Відповідно до класифікації логічних задач розкриємо методику їх розв’язання та наведемо приклади їх розв’язування.

Задачі теоретико-множинного змісту. Перед розв’язуванням задач даного типу радимо наочно проілюструвати виконання операцій над множинами, побудувати діаграми для всіх можливих випадків взаємного розташування множин. Зазвичай у цих задачах мова йде про скінченні множини, доцільно встановити, як пов’язані кількість елементів що входять до об’єднання і перерізу множини з кількістю елементів даних множин для випадку двох множин і трьох множин.

У процесі розв’язання задач цього типу потрібно з’ясувати логічний зміст таких слів і словосполучень : «і», «або», «або…або», «тільки одне», «хоча б одне» та побудувати відповідну їм теоретико-множинну модель.

Задача №1

Є дві множини А та В до складу яких входять 50 і 20 людей. Знайти максимальну та мінімальну кількість людей, що можуть входити до об’єднання цих множин та їх перерізу.

Розв’язок:

(Здебільшого, учні роблять висновки , виходячи із наочного ілюстрування можливих випадків.)

Випадок 1

n (A)=50;

n (B)=20;

n (A B)= n(A)+n(B)-n(A B)=50+20-0=70;

n(A B)= n(A)+n(B)-n(A B)=50+20-70=0;

Випадок 2

n (A)=50;

n (B)=20;

n (A B)= n(A)+n(B)-n(A B)=50+20-20=50;

n(A B)= n(A)+n(B)-n(A B)=50+20-50=20;

Відповідь: max n(AB)=70, min n(AB)=50, max n(AB)=50, min n(AB)=0.

Задача №2

Кожен учень у класі вивчає англійську чи французьку мову. Англійську вивчають – 25, французьку -27, а ту і другу -18 учнів. Скільки учнів у класі.

Розв’язок:

Англійську мову – n(A)=25;

Французьку мову - n(B)=27;

Дві мови – n(A B)=18.

n (A B)= n(A)+n(B)-n(A B)=25+27-18=34

Відповідь: 34 учні у класі.

Задача № 3

У класі 35 учнів. З них 20 займаються в математичному гуртку, 11 у біологічному. 10 учнів не відвідують жоден гурток. Скільки біологів займаються математикою?

Розв’язок:

35-10=25 – учні, що займаються в гуртках.

n (A)=20- займаються в математичному гуртку;

n (B)=11- займаються у біологічному гуртку.

n (A B)=25.

n(A B)= n(A)+n(B)-n(A B)=20+11-25=6.

Відповідь: 6 учнів займаються в математичному і біологічному гуртках.

Задачі на використання закону суперечності. Під час розв’язання задач даного типу у шкільному курсі математики будуємо таблицю, в клітинки якої вписуємо різні комбінації елементів розглядуваних множин. Таблиця допоможе проаналізувати умови задачі, виявити зайві з них, перевірити суперечності та дає можливість розбити задачу на підзадачі.

Задача №1

« Денис, Назар, Остап і Артур – чотири спортсмени. Один з них футболіст, другий- боксер, третій- тенісист, четвертий –баскетболіст. Хто яким видом спорту займається? Назар і Остап не займаються командними видами спорту. Артур і Остап не займаються тенісом. Денис і Назар не займаються футболом.

Розв’язок:

(Розв’язуємо задачу, виключаючи ті випадки, які суперечать будь-якій умові задачі. Для зручності будуємо таблицю, в яку по горизонталі запишемо імена хлопців, а по вертикалі – вид спорту.)

Денис

Назар

Остап

Артур

Футболіст

-

-

-

+

Боксер

+

Тенісист

+

-

-

Баскетболіст

+

-

-

Задача №2

Дмитро, Роман, Олександр, Михайло – чотири талановиті молоді людини. Один з них – танцюрист, другий – художник, третій – співак, четвертий – письменник. Ось що відомо про них.

Дмитро і художник були в театрі в той вечір коли, співак виступав там з концертом. Роман і письменник разом позували художнику. Письменник написав біографічну повість про свого друга Михайла, і планує написати про іншого друга Дмитра. Назвіть імена танцюриста, художника, співака і письменника.

Розв’язок:

Дмитро

Роман

Олександр

Михайло

Танцюрист

+

Художник

-

-

+

Співак

-

+

Письменник

-

-

+

-

Задача №3

В купе одного з вагонів їдуть шість пасажирів, які живуть в різних містах: Львові, Києві, Луцьку, Тернополі, Вінниці, Миколаєві. Їх імена: Ігор, Олег, Іван, Борис, Руслан, Тарас. Під час посадки Іван допомагав чоловіку з Миколаєва вантажити речі. У дорозі виявили, що Ігор та львів’янин лікарі, а Руслан і чоловік з Києва – вчителі, Іван і чоловік з Луцька – механіки. Олег і Тарас – військові, а чоловік з Луцька в армії не служив. Ігор і чоловік з Вінниці вийшли в Тернополі, а Іван поїхав далі. Тарас вів суперечку із чоловіком з Києва про користь нових ліків. Визначте місце проживання кожного і їхні професії.

Розв’язок:

Ігор

Олег

Іван

Борис

Руслан

Тарас

Львів

-

-

-

-

-

+++

Лікар

Київ

-

+++

-

-

-

-

Вчитель

Луцьк

-

-

-

+++

-

-

Механік

Тернопіль

-

-

+++

-

-

-

Вінниця

-

-

-

-

+++

Миколаїв

+++

-

-

-

-

-

Лікар

Механік

Вчитель

Задачі на використання методу «від супротивного». Розв’язуючи задачі даного типу робимо припущення, яке є протилежним тому, яке стверджує задача. Шляхом міркувань приходимо до твердження, що суперечить умові задачі. Робимо висновок щодо «істинного» чи «хибного» твердження. Розв’язання логічних задач методом «від супротивного» дозволяє школярам опанувати цей математичним методом доведення і в подальшому використовувати його під час доведення теорем.

Задача №1

У магазин привезли 51 саджанець троянди, п’яти сортів. Чи серед цих рослин знайдеться 11 саджанців одного сорту?

Розв’язок:

Припустимо, що серед привезених саджанців не можна знайти 11 саджанців одного сорту. Тоді саджанців одного сорту не буде більше ніж 10. У такому випадку всіх саджанців буде не більше 50 (10*5=50). А це суперечить умові задачі (Привезли 51 саджанець), припущення хибне.

Отже знайдеться 11 саджанців одного сорту.

Задача №2

У квадрат зі стороною 1м кинули 51точку. Доведіть, що три з них можна накрити квадратом стороною 20см.

Розв’язок:

Припустимо, що серед 25 утворених квадратів не знайдеться квадрата, в якому буде 3 точки. Тоді в кожному з цих квадратів максимальна кількість точок рівна 2. У такому випадку, кількість точок не може бути більшою 50 (2*25=50). Це суперечить умові (50<51), тому припущення хибне.

Отже знайдуться 3 точки, які можна накрити квадратом із стороною 20см.

Задачі на несуперечність множини висловлень. У шкільному курс алгебри задачі розв’язують за допомогою складання рівнянь і систем рівнянь, які виражають кількісні відношення між відомими і невідомими величинами. Під час розв’язування логічних задач ми працюємо із певними твердженнями, а їх логічний зв’язок виражається своєрідними рівняннями алгебри висловлень, або системами даних рівнянь. Коли нам дані висловлення ми знаходимо в них певний взаємозв’язок. Отримавши взаємозв’язок, шукаємо нові висловлення, які відповідають на поставлене в логічні й задачі питання.

Задача №1

У змаганнях з гімнастики беруть участь Наталя, Ірина, Марта, Софія. Вболівальники висловлюють свої думки щодо майбутніх переможців:

Першою буде Марта, а Наталя буде другою.

Другою буде Марта, а Ірина – третьою.

Софія буде другою, а Ірина четвертою.

Після закінчення змагань виявилося, що в кожному реченні тільки одне висловлення –істинне, а друге- хибне. Яке місце на змаганнях зайняла кожна з учасниць, якщо всі виявилися на різних місцях.

Розв’язок:

Даними задачі є висловлення і знайти потрібно висловлення. Позначимо дані висловлення буквами з індексами ( бука – ім’я дівчини, індекс – місце).

У кожному реченні вболівальників тільки одне твердження істинне, а друге – хибне. Тому з’єднаємо твердження словом «або», тобто диз’юнкцією.

Отримаємо систему логічних рівнянь:

М1 або Н2= 1

М2 або І3= 1

С2 або І4= 1

Перемножимо перше рівняння на друге:

(М1^H2)*(M2^I3)= (M1^M2)^(M1^I3)^(H2^M2) ^(H2^I3)=1

Відкинемо І і ІІІ логічні добутки, адже одна дівчинка не може посісти одразу два місця і дві дівчини не можуть зайняти одне місце.

М1^I3^H2^I3=1

Отриманий результат помножимо на третє рівняння:

((M1^I3)^(H2^I3))*(C2^I4)=1

(M1^I3)^C2^ (H2^I3)^C2^(M1^I3)^I4^(H2^I3)^I4=1

Отримуємо результат:

М1^I3^C2=1

А це означає, що Марта отримала 1 місце, Софія-2місце, Ірина- 3 місце, Наталя- 4 місце.

Задача №2

Остап, Борис і Маркіян знайшли в землі посудину. Кожен з них висловив два твердження.

Остап: «Ця посудина фінікійська, 3століття»;

Борис: «Ця посудина грецька, 5століття»;

Маркіян: «Ця посудина не грецька, 4 століття».

Вчитель історії сказав, що кожен з хлопців правий тільки в одному з тверджень. Де і в якому столітті була виготовлена посудина?

Розв’язок:

Посудина не грецька => посудина фінікійська – істинне твердження Остапа та Маркіяна. 5 століття- істинне твердження Бориса.

Отже посудина фінікійська, 5 століття. [21]

Задачі на переливання. Задачі на переливання рідини можна розв'язувати з кінця. Другий спосіб полягає в переборі різних варіантів переливань. Але це більш довгий шлях.

Задача №1

Як за допомогою 5-літрового бідона i 3-літрової банки набрати на березі річки 4 л води?

Розв’язок:

Спосіб 1. Спробуємо додати необхідну кількість води за допомогою переливання з 3-літрової банки в 5-літровий бідон.

Налиємо двічі 3 літри води в 5-літровий бідон, у 3-літровій банці залишиться 1 л води. Звільнивши бідон від води, вливаємо в нього 1 л води i потім додаємо ще 3 л.

Будемо надалі оформляти розв'язання задач більш коротко за допомогою таблиці.

3 л

3

0

3

1

1

0

3

0

5 л

0

3

3

5

0

1

1

4

Спосіб 2. Спробуємо дістати необхідну кількість води за допомогою переливання з 5 - літрового бідона в 3-літрову банку.

Наповнимо бідон i налиєм 3 літри води в банку. Тоді в бідоні залишиться 2 л води. Звільнивши банку, налиєм в неї ще 2 л води. Знову наповнимо бідон i налиєм в банку 1 л. У бідоні залишиться 4 л води.

3 л

0

3

0

2

2

3

5 л

5

2

2

0

5

4

Задача №2

Десятилітровий бідон наповнений водою. Як за допомогою семилітрового i трилітрового порожніх бідонів виміряти 5 літрів води?

Розв’язок:

Нехай шукані 5 л води в результаті переливань опиняться у 7 –літровому бідоні. Необхідно заповнити 10-літровий бідон, спустошуючи послідовно 3 – літровий i 7 – літровий бідони.

10 л

7 л

3 л

5

5

3

2

5

3

2

5 + 2 = 7

3-2=1

2 + 7 = 9

7-7 = 0

1

9

0 + 1 = 1

1-1 = 0

9-3=6

1

0+3=3

6-3=3

4

0+3=3

3

3+4=7

3-3=0

3+7=10

7-7=0

0

В останньому рядку вихідна умова задачі.

Під час розв'язування деяких задач на переливання можна скористатися подільністю чисел.

Задача №3

Чи можна, скориставшись 9 i 12-літровим посудинами, виміряти 4 л води?

Розв’язок:

Зазначимо, що ємкості 9 л i 12 л мають спільний дільник, який дорівнює 3. Залишається довести, що будь-яка ємкість, яку можна виміряти за допомогою цих посудин, ділиться на 3.

Якщо число а ділиться на 3, то його можна подати у вигляді а = 3k.

Нехай маємо два числа, що діляться на 3 без остачі: , де k і т — натуральні. Тоді їхня сума i різниця теж діляться на 3 без остачі.

Оскільки на початку обидві посудини були порожні й ємкості в них ділилися на 3, то й далі вони будуть кратними 3.

Відповідь. Hе можна.

Задачі на перекладання. Задачі цього типу зводяться до одержання визначеної кількості рівних за кількістю та масою об'єктів.

Задача №1

Три посудини заповнені (не доверху) водою. В одній посудині 44 л води, у другій — 28 л, у третій — 24 л. У кожну посудину можна налити з іншої стільки води, скільки в ній було налито. Як розлити воду так, щоб у кожній посудині була рівна кількість води?

Розв’язок:

У трьох посудинах разом 96 л, отже, в кожній посудині повинно бути в кінцевому результат 32 л. Задача зводиться до одержання трьох чисел «32» за допомогою додавання i обчислювання даних: 32 =(44-28)+16 = 16+16; 32=(28+28)-24 = 56-24; 32 = (24+24)-16 = 48-16.

Процес переливання можна зобразити у вигляді таблиці.

44 л

28л

24л

44

28

24

44-28=16

28 + 28 = 56

24

16

56-24 = 32

24 + 24 = 48

16+16 = 32

32

48-16=32

У задачі результат здобули шляхом додавання i обчислювання даних.

У задачах такого типу іноді використовують рівняння після деякого числа операцій (перекладань).

Задача №2

Маємо 6 гир вагою 1 г, 2 г, 3 г, 4г, 5 г, 6 г; необхідно розкласти їх на три рівні за вагою купки.

Розв’язок:

Знайдемо сумарну вагу:

1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. У кожній купці повинно бути 21 : 3 = 7 (г). Це можна зробити так:

1 купка

2 купка

3 купка

1

2

3

6

5

4

Задача №3

Є 12 гир вагою 1 г, 2 г, ... 11 г, 12 г. Необхідно розкласти їх на три piвні купки.

Розв’язок:

Знайдемо сумарну вагу:

1+2+3+...+10+11+12 =(1+12)+(2+11)+...= 13-6 = 78(г).

Отже, вага кожної купки: 78 : 3 = 26 (г).

У попередній задачі ми розглянули розподіл гир вагою 1 г, ..., 6 г. Залишилося розподілити гирі вагою 7 г, ..., 12 г. Зробимо це так само:

1 купка

2купка

3купка

1

2

3

6

5

4

7

8

9

12

11

10

Задачі на визначення легших чи важчих предметів. Розв'язуючи такі задачі, не забувайте розібрати всі можливі варіанти. Під час розв'язування задач на зважування для виявлення фальшивих монет рекомендується ділити монети на 3 купки (за такого поділу кількість зважувань скорочується).

Задача №1

В експериментальному цеху заводу виготовлено вісім деталей для машини, зовсім однакових за формою. Сім деталей виготовлено iз одного металу, восьму деталь — із більш легкого сплаву. Тільки 2 рази зваживши деталі за допомогою терезів i не користуючись при цьому гирями, визначте, яка з цих восьми деталей більш легка.

Розв’язок:

Розділимо деталі на 3 купки: 3, 3, 2. Покладемо на шальки терезів по 3 деталі Можливі такі варіанти:

1)терези будуть знаходитися в рівновазі;

2)одна шалька терезів опуститься.

У першому випадку більш легкою є одна з двох деталей, що не лежить на терезах. Другим зважуванням визначимо більш легку з них.

У другому випадку більш легка — одна з трьох деталей на тій шальці терезів, що піднялася.

Звільнивши терези, візьмемо будь-які дві з трьох деталей i покладемо їх на терези. Якщо терези урівноважені, то деталь, що не покладена на терези, більш легка. Якщо ж одна шалька терезів піднялася, то на ній лежить легка деталь.

Задача №2

У чотирьох коробках лежать монети, в одній iз них монети фальшиві. Потрібно одним зважуванням визначити, у якій коробці монети фальшиві. Відомо, що маса справжньої монети 10 г, фальшивої — 9 г. Із першої коробки взяли 1 монету, iз другої — 2, iз третьої — 3, з четвертої — 4 монети. Сумарна маса вcix монет 97 г. У якій коробці були фальшиві монети?

Розв’язок:

Число 97 можна подати у вигляді суми двох добутків iз множником 9 в одному добутку i множником 10 в іншому так: . Отже, фальшиві монети — у третій коробці.

Задачі на рівновагу.

Задача №1

Одна морквина i дві редиски важать стільки ж, скільки дві морквини й одна редиска. Що легше: морквина чи редиска?

Розв’язок: морквина та редиска важать однаково.

Задача №2

Миколі подарували терези, i він почав зважувати іграшки. Машину врівноважили м'яч i два кубики, а машину з кубиком — 2 м'ячі. Скільки кубиків зрівноважать машину?

Розв’язок:

Машина = М’яч і 2 кубики

1 м’яч = 3кубики

Машина і кубик = 2м’ячі

Отже, машину врівноважать 5кубиків.

Задача №3

Маємо 9 кг крупи i шалькові терези з двома гирями 50 г i 200 г. Спробуйте за 3 зважування відважити 2 кг крупи.

Розв’язок:

І зважування - 9кг:2 = 4кг500г;

ІІ зважування - 4кг 500г :2= 2кг 250г;

ІІІ зважування - 2кг 250г- 250г.

Задачі на визначення ваги.

Задача №1

Каністра з бензином важить 24 кг, а така ж каністра, наповнена бензином до половини, важить 14 кг. Скільки бензину вміщує каністра?

Розв’язок:

Можемо обчислити, скільки важить бензин, що заповнює половину каністри: 24-14 = 10 (кг). Отже, вся каністра вміщує 10*2 = 20 (кг).

Задача №2

Бідон з молоком важить 3 2 кг, бідон без молока — 2кг. Скільки важить бідон, заповнений молоком наполовину?

Розв’язок:

32-2=30(кг) – маса молока у бідоні;

30:2=15(кг)- маса половини молока;

15+2=17(кг)-маса бідона наполовину заповненого молоком.

Задача №3

Пляшка, до половини наповнена соняшниковою олією, важить 900 г, порожня пляшка — 400 г. Скільки важить пляшка, наповнена олією?

Розв’язок:

900-400=500 (г)- маса олії в пляшці наполовину наповненій;

500*2=1000 (г)- маса олії у заповненій пляшці;

1000+400=1400 (г) – маса пляшки наповненої олією. [14; 15; 23]

2.2 Логічні задачі для учнів 4-11класів

Хто з дитячих років займається математикою, той розвиває увагу, тренує свій мозок, свою волю, виховує наполегливість і завзятість у досягненні мети.

О. Маркушевич

4 клас:

Задача №1

Скільки маршрутів веде з міста А до міста С через місто В ? [10,6]

А В С

Відповідь : 6 маршрутів веде з міста А до міста С через місто В.

Задача №2

Відомо, що Тетянка молодша за Аню. Кіра старша за Марію, але молодша, ніж Олег, який найстарший. Тетяна і Кіра - однолітки і народилися в один день. У якій послідовності діти відсвяткують своє десятиріччя? [10,17]

Тетянка

Аня

Кіра

Марія

Олег

1

+

2

+

3

+

+

4

+

Задача №3

У черзі до їдальні стоять Олег, Тетяна, Іра, Світлана, Матвій. Відомо, що Олег купить булочку пізніше від Матвія, але раніше від Тетянки, яка стоїть останньою, а Ірина пізніше від Світлани, яка стоїть у черзі після Олега. У якій послідовності діти стоять у черзі до їдальні? [10,19]

Олег

Тетяна

Іра

Світлана

Матвій

1

+

2

+

3

+

4

+

5

+

Задача №4

У корзині лежать яблука трьох сортів. Які найменшу кількість яблук треба взяти не дивлячись, щоб серед них точно було 2 яблука одного сорту? [10,33]

Відповідь: потрібно взяти 4 яблука.

Задача №5

У пакеті лежать цукерки двох сортів. Яку найменшу кількість цукерок треба взяти не дивлячись, щоб серед них точно було 2 цукерки одного сорту? [,35]

Відповідь: потрібно взяти 3 цукерки.

Задача №6

У шухляді лежать однакові за розміром кульки: 5 чорних і 7 білих. Скільки кульок треба вийняти із шухляди, не зазираючи в неї, щоб серед них було 3 кульки одного кольору? [10,11]

Відповідь: 5 кульок.

Задача №7

30 колод завдовжки 4 м кожна треба розпиляти на метрові частини. Скільки всього розпилів треба зробити? [10,14]

Відповідь:

Щоб розпиляти одну колоду довжиною 4 м потрібно зробити 3 розпили. Щоб розпиляти 30 колод потрібно зробити 90 розпилів (30*3=90).

Задача №8

У класі 40 учнів. Чи є місяць року, у якому день народження відзначають не менше ніж 4 учні цього класу? [16,20]

Розв’язок

Припустимо, що максимальна кількість учнів, які святкують день народження в один місяць – 3. Тоді максимальна кількість учнів, що святкують день народження – 36 (3*12=36). А це суперечить умові задачі, адже в класі 40 учнів.

Відповідь: є місяць року, у якому день народження святкують не менше 4 учнів.

Задача №9

Три дівчинки Мальва, Маргарита і Лілія тримали в руках квіти: мальви маргаритки і лілії. Жодна з них не тримала квіти, від назви яких походить її ім’я. Маргарита уважно розглядала лілії, які тримала її подруга. Хто які квіти тримав? [16,91]

Відповідь:

Мальва

Маргарита

Лілія

Мальви

-

+

-

Маргаритки

-

-

+

Лілії

+

-

-

Задача №10

Маса 9 кульок дорівнює масі 2 кубиків і 2 шайб. Шайба у 2 рази легша за кубик. Скільки кульок треба взяти, щоб їх маса дорівнювала масі 1 кубика? [16,109]

Розв’язок

2 шайби = 1 кубику

9 кульок = 3 кубикам (9:3=3)

Відповідь: треба взяти 3 кульки, щоб їх маса дорівнювала масі кубика.

5 клас:

Задача №1

У цьому році день народження батька був у неділю. У який день тижня святкувала день народження мама, якщо вона на 62 дні молодша від батька? [4,12]

Відповідь: мама святкувала день народження у вівторок. (62:7= 8 (ост. 6), від неділі відраховуємо 6 днів.)

Задача №2

Укажіть найменше натуральне число, сума цифр якого дорівнює 101. [4,24]

Відповідь : 299 999 999 999 (2+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9=101).

Задача №3

Сім гномів зібрали разом 28 грибів, причому всі вони зібрали різну кількість грибів і в жодного не було порожнього кошика. Скільки грибів зібрав кожен гном? [4,44]

Відповідь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 –грибів.

Задача №4

Кабінки розважального атракціону «Колесо огляду» послідовно пронумеровані числами 1, 2, 3… . Скільки всього є кабінок , якщо відомо, що коли кабінка з номером 24 займає найвищу позицію, то кабінка з номером 10 – найнижчу? [4,64]

Відповідь: 28 кабінок.

Задача №5

У трьох ящиках лежать кульки: у першому -2 білі, у другому – 2 чорні, у третьому – біла і чорна. На ящиках наклеєно етикетки: ББ, ЧЧ, БЧ так, що вміст кожного не відповідає етикетці. Як, вийнявши одну кульку, дізнатися, що в якому ящику лежить? [4,69]

ББ

ЧЧ

БЧ

Бб

-

=

+

Чч

+

-

=

Бч

=

+

-

Відповідь: спершу беремо кульку із ящика БЧ, якщо попадеться чорна кулька – в ящику 2 чорні кульки, якщо біла – в ящику 2 білі кульки. Якщо в цьому ящику чорні кульки, то в ящику з позначкою ЧЧ – білі кульки, а в ящику з позначкою ББ- біла і чорна кульки. Якщо в ящику БЧ – білі кульки, то в ящику ББ – чорні кульки і в ящику ЧЧ-біла і чорна кулька.

Задача №6

Відстань між містами А і В 30км. Із міста A в місто B виїхав велосипедист, який рухався зі швидкістю 15 км/год. Одночасно з ним з міста B у напрямку міста A вилетів птах зі швидкістю 30 км/год. Зустрівшись із велосипедистом, птах розвернувся і полетів назад. Прилетівши в місто B, він знову розвернувся і полетів назустріч велосипедисту. Зустрівшись із ним, птах розвернувся і полетів назад у місто B. Птах літав таким чином доти, доки велосипедист не приїхав у місто B. Скільки кілометрів пролетів птах? [4,72]

Розв’язок

30:15=2 (год)- велосипедист був у дорозі.

30*2=60(км)- пролетів птах.

Задача №7

Равлик удень піднімається вгору по жердці на 3м, а вночі з’їжджає по ній на 2м вниз. На який день він добереться до вершини жердини, довжина якої 20м? [4,80]

Відповідь: на 18 день равлик добереться до вершини.

Задача №8

Лимони однакової маси продають поштучно. Маса кожного лимона, виражена в грамах, є натуральним числом. Купили більше 2, але менше 7 лимонів. Маса всієї покупки становить 850 г. Яка маса одного лимона?[4,84]

Відповідь: маса одного лимона 170г (850:5=170).

Задача №9

Кожен учень гімназії вивчає принаймні одну з двох іноземних мов. Англійську мову вивчають 328 учнів, французьку мову — 246 учнів, а англійську та французьку одночасно — 109 учнів. Скільки всього учнів навчається в гімназії? [4,89]

Розв’язок

Англійську мову – n(A)=328;

Французьку мову - n(B)=246;

Дві мови – n(A B)=109.

n (A B)= n(A)+n(B)-n(A B)=328+246-109= 465

Відповідь: 465 учнів у гімназії.

Задача №10

У 5 класі навчаються троє друзів: Михайлик, Дмитрик і Сашко. Один із них займається футболом, другий — плаванням, а третій — боксом. У футболіста немає ні брата, ні сестри, він наймолодший із друзів. Михайлик старший за боксера й товаришує із сестрою Дмитрика. Яким видом спорту займається кожний із друзів? [4,110]

Розв’язок

Михайлик

Дмитрик

Сашко

Футболіст

+

Плавець

+

Боксер

-

+

Задача №11

У черзі за квитками в цирк стояли Мишко, Наталка, Петрик, Дмитрик і Марійка. Марійка купила квиток раніше, ніж Мишко, але пізніше за Наталку, Петрик і Наталка не стояли поруч, а Дмитрик не був поруч ні з Наталкою, ні з Марійкою, ні з Петриком. Хто за ким стояв у черзі? [4,128]

Розв’язок

Мишко

Наталка

Петрик

Дмитрик

Марійка

1

+

2

+

3

+

4

+

5

+

Задача №12

Учні Федоренко, Дмитренко і Петренко входять до складу збірної школи із шахів. Імена цих учнів — Федір, Дмитро та Петро. Відомо, що прізвище Федора не Петренко, волосся Дмитра рудого кольору й навчається він у шостому класі; Петренко навчається в сьомому класі, а волосся Федоренка чорного кольору. Укажіть прізвище та ім’я кожного хлопчика. [4,186]

Розв’язок

Федоренко

Дмитренко

Петренко

Федір

+

-

Дмитро

-

+

-

Рудий, 6кл

Петро

+

Чорне волосся

7кл

Задача №13

Як розділити порівну 7 яблук між 12 друзями, якщо кожне яблуко можна розрізати не більше ніж на 4 частини? [4,195]

Відповідь: спершу візьмемо 4 яблука і розділимо їх на 3 частини, роздамо кожному по шматочку. Наступні 3 яблука розділимо на 4 частини і знову кожному дамо по шматочку.

Задача №14

Конверти завозять до поштового відділення в пачках по 1000 штук. Листоноші треба якнайшвидше взяти 850 конвертів. За який час він може це зробити, якщо за 1 хв він відраховує 100 конвертів? [4,200]

Відповідь: за 1хв 30с (1000-150=850).

Задача №15

У п’ятих класах навчаються 100 учнів. Із них 75 учнів вивчають німецьку мову, 85 учнів — французьку, а 10 учнів не вивчають жодної з цих мов. Скільки учнів вивчають тільки французьку, а скільки — тільки німецьку мову? [4,221]

Розв’язок

100-10=90 – учні, що займаються в гуртках.

n (A)=75- вивчають німецьку;

n (B)=85-вивчають французьку.

n(A B)= n(A)+n(B)-n(A B)=75+85-90=70- вивчають 2 мови.

75-70=5-вивчають німецьку;

85-70=15-вивчають французьку.

6 клас:

Задача №1

На дошці записано числа 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Дозволяється до будь-яких двох записаних чисел додати одне й те саме натуральне число. Чи можна, виконавши таку операцію кілька разів, досягти того, щоб усі записані числа були рівними? [5,140]

1

0

1

0

0

1

0

0

2

1

1

0

0

1

0

0

2

2

2

0

0

1

0

0

2

2

2

2

2

1

0

0

2

2

2

2

2

2

1

0

2

2

2

2

2

2

2

1

Задача №2

Від натурального числа, яке не більше ніж 100, відняли суму його цифр. Від отриманого числа знову відняли суму його цифр і так робили кілька разів. Після 11 таких віднімань уперше отримали 0. Знайдіть початкове число. [5,144]

99

18

81

9

72

9

63

9

54

9

45

9

36

9

27

9

18

9

9

9

0

0

Задача №3

Два хлопчики каталися річкою на човні. До них звернулася група туристів із проханням допомогти переправитися на другий берег. У човен вміщаються або двоє хлопчиків, або один турист. Чи зможуть хлопчики допомогти туристам?

Відповідь: Хлопчики зможуть допомогти. Один хлопчик залишається на протилежному від туристів березі, а інший доправляє човен до туристів. Перший турист переправляється через річку. Хлопчик повертається до туристів, забирає другого хлопчика на протилежний бік річки. Знову один з хлопчиків доправляє човен до туристів….

Задача №4

Для настилання підлоги завширшки 6 м є дошки завширшки 17 см і 15 см. Скільки треба взяти дощок того й другого розмірів, якщо вважати, що довжина кімнати і довжина дощок однакові, і дошки кладуться вздовж кімнати?

Відповідь: 30 дощок по 17см і 6 – по 15 см.

Задача №5

На трасі 800 м треба прокласти газові труби. На складі є труби довжиною 11 м і 13 м. Як найекономніше використати ці труби?

Відповідь: 59 труб по 13м і 3 – по 11м.

Задача №6

Хтось купив 30 птахів за 30 монет; з числа цих птахів: за кожних 3 горобців було заплачено 1 монету, за кожних двох горлиць також одну монету і, нарешті, за кожного голуба - по дві монети. Скільки куплено птахів кожного виду?

Відповідь: 9 горобців – 3монети; 10 горлиць – 5 монет; 11 голубів – 22 монети.

Задача №7

Якщо кожна сім’я змарнує за день 100г хліба, то скільки хліба буде втрачено за день у нашому селі, де проживає 194 сім’ї.

Відповідь: 19 кг 400г.

7 клас:

Задача №1

Знайдіть найменше п’ятицифрове число, яке ділиться на 9 і всі цифри якого різні.

Відповідь: 10 269.

Розв’язання. Число буде найменшим, якщо якомога меншими є його перші цифри, зокрема якщо перша цифра числа — 1, а друга цифра — 0. За умовою цифри числа не мають повторюватися, тож найменше можливе значення третьої цифри — 2. Для того, щоб число було кратним 9, треба, щоб сума двох його останніх цифр та цифр 1, 0 і 2 була кратною 9, тобто дорівнювала 9 чи 18. Це означає, що сума двох останніх цифр числа повинна дорівнювати 6 або 15. У першому випадку двома останніми цифрами можуть бути 06, 15, 24, 33, 42, 51 або 60; жодна з цих пар не дасть разом із цифрами 102 число, всі цифри якого різні. Якщо ж сума двох останніх цифр — 15, це або 69, або 78, або 87, або 96. Пара цифр 69 і дає найменше число, що задовольняє умову: 10 269.

Задача №2

Чи можна розфарбувати всі 12 частин рис. 3 у три кольори так, щоб жодні дві частини, пофарбовані однаково, не мали спільної межі?

Відповідь: не можна.

Розв’язання. Спробуємо розфарбувати рисунок у червоний, зелений та синій кольори. Центральний круг можна зафарбувати у довільний із трьох кольорів. Пофарбуймо його червоним. Усі 11 секторів мають спільну межу із центральним кругом, а отже жоден із них фарбувати у червоний колір після цього не можна.

Розглянемо перший сектор. Його слід фарбувати або в зелений, або в синій колір. Пофарбуймо його зеленим. Тоді другий сектор не може бути ні зеленим, ні червоним, тобто маємо зробити його синім. Тепер третій сектор не може бути синім і не може бути червоним, отже фарбуємо його зеленим і т. д. Вийде так, що 11-й сектор ми пофарбуємо зеленим кольором. Але тоді сусідні 1-й та 11-й сектори матимуть однакові кольори. Отже, розфарбувати рисунок потрібним чином не вдасться.

Задача №3

Леся написала на дошці кілька попарно різних натуральних чисел. Андрійко не зміг вибрати серед цих чисел трьох, сума яких ділилася б на 3. Яку найбільшу кількість чисел могла виписати Леся?

Відповідь: 4 числа.

Розв’язання. Леся могла написати на дошці, приміром, такі чотири числа: 3, 4, 6, 7. Те, що сума жодних трьох із них не ділиться на 3, легко перевірити безпосереднім перебором.

8 клас:

Задача №1

Знайти натуральні розв’язки рівняння а2 b – 1 = 2011 ?

Розв’язання

Запишемо дане рівняння у вигляді а2 b = 2012 = 22 · 503. Існує тільки один повний квадрат, що є дільником добутку 22 · 503. Отже, 22 · 503 – 1 = 2011.

Відповідь. а = 2, b = 503.

Задача №2

Обчисліть значення виразу:

.

Відповідь: 4 044 119.

Розв’язання. Проведемо такі перетворення:

Задача №3

У першій коробці кілька жовтих кульок, а у другій — кілька блакитних. Андрій перекладає декілька кульок із першої коробки в другу, після чого перемішує вміст другої коробки. Далі Леся перекладає таку ж саму кількість кульок із другої коробки в першу. Яких кульок тепер більше: жовтих у другій коробці чи блакитних у першій?

Відповідь: їх однакова кількість.

Розв’язання. Нехай діти перекладали з коробки в коробку по n кульок, причому серед n кульок, які переклала Леся, жовтих було m, а блакитних — . Тоді жовтих кульок у другій коробці після Андрієвого перекладання було n, а після Лесиного стало . Блакитних же кульок у першій коробці після Андрієвого перекладання не було взагалі, а після Лесиного стало — стільки ж, скільки й жовтих кульок у другій коробці.

Задача №4

A й B — точки перетину кіл та таких, що центр кола лежить на колі , а центр кола лежить на колі . Точку C, відмінну від точки B, вибрано на колі так, що . Знайдіть кути трикутника ABC.

Відповідь: усі кути дорівнюють по

Задача №5

Баба ішла на ярмарок продавати кошик яєць. Дорогою вона зіткнулась з перехожим і впала, усі яйця розбилися. Перехожий захотів заплатити за яйця і спитав, скільки їх усього було. «Я не пам’ятаю цього, сказала жінка, - знаю тільки добре, що коли я клала яйця по 2, то залишилося 1 яйце. Так само завжди залишалося по 1 яйцю, коли я їх перекладала по 3, по 4, по 5, по 6. Коли я перекладала по 7, то не залишилося жодного яйця». Скільки яєць було в кошику?

Відповідь: 301 яєць.

9 клас:

Задача №1

За яких значень параметра a рівняння має рівно два різних дійсних корені?

Відповідь:

Розв’язання. Число x буде коренем рівняння тоді й лише тоді, коли або ж і (а якщо так, то ). Тобто для того, щоб рівняння мало два різних корені, необхідно і достатньо, щоб існувало таке , що . Це справджується для всіх

Задача №2

Від’ємні числа a, b, c, d задовольняють такі умови: , , . Яке число більше: a чи c?

Відповідь:

Розв’язання. Виразимо b із кожного з трьох рівнянь:

Тоді , а також . Оскільки всі числа від’ємні, .

Зауважимо, що набір чисел, які задовольняють умову, існує: приміром,

Задача №3

Дванадцять людей несуть 12 хлібин: кожний чоловік несе по 2 хлібини, кожна жінка – по півхлібини, дитина – по чверті хлібини. Скільки було чоловіків, жінок і дітей ?

Відповідь: 5 чоловіків, 1 жінка, 6 дітей.

10 клас

Задача №1

У скільки способів можна розфарбувати всі 13 частин рис. 6 у три кольори так, щоб жодні дві частини, пофарбовані однаково, не мали спільної межі? Два розфарбування вважаються різними, якщо хоча б одна з 13 частин пофарбована по-різному.

Відповідь: 6.

Розв’язання. Центральну частину можна пофарбувати в один із трьох кольорів. Тоді всі 12 секторів доведеться фарбувати в інші два кольори, адже кожен із секторів має спільну межу із центральною частиною. Сектор 1 можна пофарбувати у довільний із двох кольорів, а кольори решти секторів встановлюються після цього автоматично: сектор 2 має бути пофарбовано в колір, відмінний від кольору центральної частини і сектора 1; сектор 3 повинен бути пофарбований у колір, відмінний від кольору центральної частини й сектора 2 і т. д. Легко бачити, що таке розфарбування справді задовольнятиме умову задачі, адже пара секторів 12 і 1 також буде розфарбована по-різному.

Отже, маємо 3*2=6 варіантів розфарбування.

Задача №2

У три відра налито воду. Якщо чверть води з першого відра перелити до другого, а потім чверть води з другого перелити у третє, то в кожному відрі буде по 9 літрів води. Скільки літрів води було спочатку у третьому відрі?

Відповідь:

1 відро

2 відро

3 відро

9

9

9

12

9

6

Задача №3

Серце нормально тренованої людини б’ється з частотою 70 ударів за хвилину, а серце курця має робити на 5 – 7 ударів на хвилину більше. Скільки додаткових ударів змушене робити серце курця на добу ?

Відповідь: 7200-14400.

Задача №4

Людина робить за 1 хвилину 15 вдихів, забираючи 0,55 л повітря за кожний вдих. Яку масу повітря вона вдихає за 1 годину ? Яку масу повітря вдихає людина за добу, якщо маса 1л дорівнює 1,3 г ?

Відповідь: 643,5 г за 1 год, 1544,4 г за добу.

Задача №5

Здатність середньостатистичної людини запам’ятовувати будь-яку інформацію становить 40 % від здатності тренованої людини. Скільки довільно названих за певний час слів вони запам’ятовують разом, якщо звичайна людина запам’ятала на 12 слів менше, ніж тренована ?

Відповідь: 28 слів.

11 клас

Задача №1

Позначимо через P(n) та S(n) відповідно добуток та суму цифр натурального числа n. Наприклад, , . Знайдіть усі двоцифрові числа n, для яких справджується рівність: .

Відповідь: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

Розв’язання. Нехай шукане двоцифрове число , . Рівняння з умови набуває такого вигляду:

Отже, умову задовольняють усі двоцифрові числа, що закінчуються на 9, і лише вони.

Задача №2

У кожній клітинці квадратної таблиці міститься число 0 або число 1. Поряд із таблицею записали 10 чисел: суми значень у кожному з 4 рядків, суми значень у кожному з 4 стовпчиків і суми чисел на кожній із 2 великих діагоналей (тих діагоналей, що містять по чотири клітинки). Доведіть, що серед одержаних десяти чисел є принаймні три однакових.

Розв’язання. У кожному рядку, стовпчику та на кожній діагоналі містяться чотири числа, кожне з яких дорівнює 0 або 1, тому кожна записана сума може бути одним із п’яти чисел: 0, 1, 2, 3, 4. Якби серед 10 сум не було трьох однакових, це означало би, що кожне з п’яти можливих значень трапляється серед сум рівно двічі. Нехай це справді так. Розгляньмо одну з двох ліній, сума чисел на якій дорівнює 4; така лінія складається виключно з одиниць. Це не може бути діагональ, адже тоді в кожному рядку й у кожному стовпчику містилася би принаймні одна одиниця, тобто кількість ліній із сумою 0 була б меншою за дві. Хай тоді, без втрати загальності, лінія із сумою 4 — рядок. Це означає, що в кожному стовпчику й на кожній діагоналі є принаймні одна одиниця. Тоді дві лінії із сумою чисел 0 — теж рядки. Але в такому випадку друга лінія із сумою 4 теж не може бути ані стовпчиком, ані діагоналлю, тобто є рядком. Отже, маємо по два рядки із сумами 0 та 4, що означає, що сума чисел у кожному з чотирьох стовпчиків дорівнює 2, а це суперечить припущенню, що кожне значення від 0 до 4 трапляється серед сум рівно двічі. Одержана суперечність і завершує доведення.

ВИСНОВКИ

У курсовій роботі досліджувалось питання: вивчення логічних задач у шкільному курсі математики. На основі опрацьованої методичної та наукової літератури, розв’язаних задач можна зробити такі висновки:

  1. Розглянули програмні вимоги щодо вивчення математики у 4-11 класах та їх зв'язок з логічними задачами. Основним завданням сучасної школи є формування в учнів ключових компетентностей. Однією із них є математична компетентність. Це одна з найважливіших складових життєвих компетентностей, визначених Державним стандартом базової та повної загальної середньої освіти. Математична компетентність складає основу для формування ключових компетентностей. За С. Раковим, під поняттям «математична компетентність» розуміють спроможність особистості бачити та застосовувати математику в реальному житті, розуміти зміст і методи математичного моделювання, будувати математичну модель, досліджувати її методами математики, інтерпретувати отримані результати, оцінювати похибку обчислень. Отже на уроках математики одночасно із формуванням математичної компетентності необхідно розвивати в учнів логічне мислення. І тому на цих уроках доцільно використовувати задачі із логічним навантаженням.

  2. Визначили особливості логічних задач. Дані задачі не мають чіткої структури чи алгоритму розв’язування. Логічні задачі спонукають до роздумів, вчать: критично мислити, аналізувати умову, виділяти з неї головне та зайве, знаходити правильне розв’язання проблеми опираючись на уже відоме.

  3. Провели класифікацію логічних задач, які зустрічаються у шкільному курсі математики:

  • Задачі теоретико - множинного (комбінаторного) змісту.

  • Задачі на використання закону суперечності.

  • Задачі на використання методу «від супротивного».

  • Задачі на несуперечність множини висловлень.

  • Задачі на переливання.

  • Задачі на перекладання.

  • Задачі на визначення легших чи важчих предметів.

  • Задачі на рівновагу.

  • Задачі на визначення ваги.

  1. Описали методику розв’язування визначених типів задач. Надали зразки розв’язування задач кожного виду.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

  1. Концепція Нової української школи [Електронний ресурс]: [ Веб-сайт].- Електронні дані.- Київ: МОН України, оn/zagalna –serednya/ua – sch-2016/ konczepczsya.htm (дата звернення 3.09.2017) –Назва з екрана. Нова українська школа. Концептуальні засади реформування середньої школи.

  2. Закон України «Про Загальну середню освіту» (редакція від 19.02.2016. – Стаття №5.

  3. Проект Державного Стандарту загальної освіти .- 2017.

  4. А.Г.Мерзляк. Математика. 5 клас: підручник для закладів загальної середньої освіти / Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. – Вид. 2-ге, доопрац. відповідно до чин. навч. програми. – Х.:Гімназія, 2018.–272 с.:іл.

  5. А.Г.Мерзляк. Математика. 6 клас: підручник для закладів загальної середньої освіти / Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. -Х.:Гімназія, 2014. – 399 с.: іл.

  6. А.Г.Мерзляк. Алгебра і початки аналізу. 10 клас: підручник для закладів загальної середньої освіти / Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. -Х.:Гімназія, 2018. – 512 с.: іл.

  7. А.Г.Мерзляк. Алгебра і початки аналізу. 11 клас: підручник для закладів загальної середньої освіти / Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. -Х.:Гімназія, 2011. – 431 с.: іл.

  8. А.М. Басанько. За лаштунками підручника з математики. 5-7 клас / Басанько А.М., Романенко А.О.. – Тернопіль: Підручники і посібники. – 2005.

  9. В.В. Атамась. Збірник задач з веселої математики / Атамась В.В. – Черкаси. – 1997.

  10. В.Г. Бевз. Збірник підсумкових контрольних робіт з математики. 4 клас./ Бевз В.Г., Васильєва Д.В. – К.: Видавничий дім «Освіта», 2018.- С.48.

  11. Г.П. Бевз. Алгебра: підруч. для 7 класу загальноосвіт. навч. закл. / Бевз Г.П., Бевз В.Г. – К.: Видавництво «Відродження», 2015. -288с.

  12. Г.П. Бевз. Алгебра: підруч. для 8 класу загальноосвіт. навч. закл. / Бевз Г.П., Бевз В.Г. – К.: Видавництво «Основа», 2016. -256с.

  13. Г.П. Бевз. Алгебра: підруч. для 9 класу загальноосвіт. навч. закл. / Бевз Г.П., Бевз В.Г. – К.: Видавництво «Основа», 2017. -272с.

  14. Г.П. Лишенко. Систематизація та методика розв'язування задач з логічним навантаженням. /Лишенко Г.П. // Початкова школа. – 1986. – №1. – С. 7-10.

  15. М.А. Волосюк. Математичний тренажер./ Волосюк М.А. – Х.:ТОВ «Нова тема». – 2009. – 144с.

  16. М.В. Богданович, Г.П. Лишенко. Математика: підручник для 4 класу загальноосвітніх навчальних закладів/ Богданович М.В., Лишенко Г.П.- Київ: Генеза, 2015. -177 с.

  17. Методичні рекомендації МОН України про викладання навчальних предметів у початковій школі загальноосвітніх навчальних закладів України у 2016/2017 навчальному році.

  18. .М. І. Бурда, Б. В. Кудренко, О. Я. Біляніна. Навчальна програма для загальноосвітніх навчальних закладів, 5-9 клас. Математика./ Бурда М. І., Кудренко Б. В. , Біляніна О. Я., Азаренкова А. І., Буковська О. І., Кіндюх Т. С., Лисенко О. Є., Миляник А. В., Панова Н. В., Паньков А. В. - Київ: МОН України – 2017.

  19. Навчальні програми. 4 клас: методичні рекомендації щодо організації навчально- виховного процесу в 2016/2017 навчальному році з коментарем провідних фахівців. – Х: Вид-во «Ранок», 2016. -176 с.

  20. Навчальна програма з математики для учнів 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту. - Київ: МОН України – 2018.

  21. О. В. Вірхова , Г. М. Білоусова. Навчання розв’язуванню логічних задач на уроках математики / Вірхова О. В. , Білоусова Г. М. // Шляхи вдосконалення технологій навчання математики.- C.61-65.

  22. О. І. Буковська. Математична логіка. 5-9класи / Буковська О.І. – X.: Основа. – 2005.

  23. О. О. Глюза . Задачі на переливання та зважування.// Математика в школах України. – № 15(279), 2010р. – С.13.

  24. Т.М. Кривошея. Розкриймо дітям красу математичних міркувань / Кривошея Т.М. // Початкова школа. – 2000. – № 3. – С. 11-14.

  • 26.07.2019
  • Математика
  • 4 Клас, 5 Клас, 6 Клас, 7 Клас, 8 Клас, 9 Клас, 10 Клас, 11 Клас
  • Наукова робота
  • 525
  • 0
  • 30
  • Стежити

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Розвиток особистості на всіх вікових етапах життя»
Черниш Олена Степанівна
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.