Лінійна крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь

Опис документу:
У цьому документі йде мова про наближене розв'язування лінійнох крайової задачі звичайних диференціальних рівнянь.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

1. Постановка задачі

Нехай дано лінійне диференціальне рівняння другого порядку (1)

де - відомі неперервні на відрізку [a,b] функції.

Лінійна крайова задача для рівняння (1) полягає в знаходженні функції , котра всередині відрізка [a ,b] задовольняє рівняння (1), а на його кінцях – лінійні крайові умови.

(2)

де - задані сталі , причому не дорівнюють одночасно нулю

Якщо А=В=0, то крайові умови (2) називають однорідними.

Лінійна крайова задача називається однорідною, якщо однорідні диференціальне рівняння (1) і крайові умови (2).

У противному разі крайова задача (1), (2) називається неоднорідною. Оскільки умови (2) повинні виконуватись у двох точках – на кінцях інтервалу [a,b], їх називають двоточковими крайовими умовами, а крайову задачу – двоточковою крайовою задачею.

Точний розязок крайової задачі можливий у рідких випадках. Тому на практиці часто використовують наближені методи роз’язування лінійної крайової задачі, котрі можна поділити на дві групи: 1) різницеві; 2) аналітичні.

Розглянемо один із різницевих методів – метод скінченних різниць.

2. Метод скінченних різниць

Одним із найпростіших методів роз’язування лінійної крайової задачі (1), (2) є зведення її до системи скінченнорізницевих рівнянь.

Розіб’ємо відрізок [a,b] на n рівних частин довжиною h (крок), де

Позначимо точки поділу відрізка [a,b] , (i=1, 2,…, n-1);

Замінимо наближено в кожній внутрішній точці відрізка [a,b] похідні та скінченнорізницевими відношеннями:

(i=1,2,…,n-1) (3)

Для межових точок та візьмемо

(4)

Використовуючи формули (3) і (4), наближено замінимо рівняння (1) і крайові умови (2) системою n+1 лінійних алгебраїчних рівнянь з n+1 невідомими що є значеннями шуканої функції у точках

(5)

Розвязавши цю систему, якщо це можливо, одержимо таблицю наближених значень шуканої функції .

На практиці часто похідні і у внутрішніх точках відрізка заміняють центрально-різницевими відношеннями

(6)

а для межових точок та як і раніше слушні формули (4) .

Тоді система рівнянь для визначення набуває вигляду

(7)

Для оцінки похибки методу скінченних різниць на практиці зазвичай застосовують таку наближену рівність:

де -значення точного розвязку крайової задачі в точці - значення наближеного розвязку , обчислене в точці з кроком h; - значення наближеного розвязку , обчислене в точці з кроком h/2.

Щоб знайти наближений розв’язок крайової задачі із заданою точністю , потрібно обчислити з кроком h чи h/2 і порівняти отримані результати.

Якщо , то, отже, і значення можна взяти за шуканий розвязок крайової задачі.

3. Метод прогонки

З великого безпосередній розвязок систем (5), (7) стає досить громіздким. Розглянемо метод, розроблений спеціально для розвязування таких систем, який дістав назву методу прогонки.

Нехай маємо систему (5). Розглянемо перші рівняння:

Після найпростіших перетворень одержимо:

(8)

Увівши позначення

(9)

запишемо (8) у вигляді

(10)

Розвязуючи (10) відносно , отримаємо:

(11)

Неважко переконатися в тому, що виключивши з рівняння (11) за допомогою крайових умов системи (5), одержимо це рівняння у вигляді:

(12)

де - деякі коефіцієнти.

Нехай, наприклад, і=0, тоді рівняння (11) матиме вигляд

(13)

Знайдемо із крайової умови і підставимо цей вираз у (13). Після перетворень одержимо:

Позначимо

(14)

На підставі (12) запишемо:

Підставимо цей вираз у рівняння (10), одержимо

звідки

(15)

Порівнюючи (12) і (15), одержимо для визначення і рекурентні формули:

(16)

На підставі формул (14) визначаємо коефіцієнти і , потім послідовно застосовуючи рекурентні формули (16), одержимо значення , (і=1, 2, …, n-2) (прямих хід).

Зворотній хід починається з визначення . Використовуючи другу крайову умову системи (5) у формулу (12) при і=n-2, запишемо систему двох рівнянь:

(17)

Розв’язавши цю систему відносно , одержимо

(18)

Підставивши в цю формулу вже знайдені прямим ходом значення , , визначимо . Потім обчислимо , , , … , , послідовно застосовуючи рекурентну формулу (12):

(19)

Схема методу прогонки. Таблиця 1.

i

xi

mi

ki

fi

Прямих хід

Зворотний хід

0

x0

m0

k0

f0

c0

d0

y0

1

x1

m1

k1

f1

c1

d1

y1

2

x2

m2

k2

f2

c2

d2

Y2

n-2

xn-2

mn-2

kn-2

fn-2

cn-2

dn-2

yn-2

n-1

xn-1

yn-1

n

xn

yn

Значення знаходимо за формулою:

(20)

одержаною з першої крайової умови системи (5).

Обчислення зручно розташовувати у вигляді таблиці (таб. 1).

Однією з переваг методу прогонки є те, що помилки округлення не зумовлюють необмеженого зростання похибки розв’язання.

Завдання для самостійного опрацювання . Використовуючи а)метод скінченних різниць, б)метод прогонки, скласти розв’язок крайової задачі для звичайного диференціального рівняння з точністю ; крок а) ;б) .

1. ,

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. ,

25. ,

26. ,

27. ,

28. ,

29. ,

30. ,

31. ,

32. ,

33.

34.

35.

36. ,

Зразок виконання завдання

а) метод скінчених різниць

,

Розбивши відрізок на частини з кроком (рис. ) отримаємо вузлові точки з абсцисами ; ;;. Дві точки та є крайовими, а дві інші внутрішніми.

Дане рівняння у внутрішніх точках замінимо скінечнно-різницевим рівнянням

(і=1,2).

Із крайових умов складемо скінечнно-різницевим рівняння у крайових точках:

Дана задача зводиться до розв’язання системи рівнянь

Виконавши перетворення, маємо

Підставивши значення в третє рівняння, отримаємо для визначення інших невідомих систему

Для розв’язання отриманої системи скористаємось, наприклад, схемою «головних елементів».

Вільні члени

-0,00113507

0,526788

-1

-2,9

315,9

0

4

-841

391,6

-1

464,1

-881

0,1

4,2

-1045,66

0,2

3,2

-1535,06

0,00560179

-1

-2,9

375,9

3,55551

-643,7098

1,28690

-546,6411

1,94240

-805,4511

-1

-0,79429

-1,77527

-2,56957

2,2350

3,2351

2,1849

3,1849

2,1580

3,1580

Відповідь.

х

у

х

у

2,0

2,1

2,235

2,185

2,2

2,3

2,158

2,150

б) метод прогонки

В цій крайовій задачі ,, А = 1, , , В =2,15; вузлові точки мають абсциси ; коефіцієнти , ;

(і = 0, 1, 2,…, 6).

Метод прогонки складається із «прямого ходу», в якому визначають коефіцієнти

, , ,

а також

, , ,

.

Після виконання «прямого ходу» переходять до виконання «оберненого ходу», який полягає у визначенні значень шуканої функції за формулами

, .

Тут

, ,

(і = 1, 2, …, 5),

.

Всі обчислення запишемо в таблиці:

і

0

1

2

3

4

5

6

2,00

2,05

2,10

2,15

2,20

2,25

2,30

-1,903077

-1,900803

-1,898535

-1,896273

-1,894017

-0,902497

0,900238

0,897983

0,895734

0,893491

0,002378

0,002375

0,002372

0,002370

0,002367

-1,02564

-1,02308

-1,02063

-1,01830

1,01611

-1,01406

0,025000

0,095519

0,025878

0,026090

0,026167

0,026123

2,2490

2,2178

2,1933

2,1748

2,1618

2,1537

2,15

Відповідь.

х

у

х

у

2,00

2,05

2,10

2,15

2,249

2,218

2,193

2,175

2,20

2,25

2,30

2,162

2,154

2,150

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
1
дн.
1
5
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!