Деякі термодинамічні передумови газодинаміки
Внаслідок змінності густини газу рівняння руху та нерозривності не утворюють замкнену систему і потребують застосування термодинамічних співвідношень.
Однієюз основних ідеалізацій класичної термодинаміки є уведення поняття оборотності процесів. Традиційно прийнято уважати,що умови оборотності термодинамічного процесу складаються з рівноважності, квазістатичності переходу від одного рівноважного процесудо другого та повної відсутності незворотності при перетворенні роботи в теплоту. Термодинамічна система (газ, двохфазна система) досягає рівноважного стану, коли її параметри досягають сталих («рівноважних») значень при збереженні зовнішніх умов незмінними необмежено довго — тоді градієнти параметрів газу в просторі та їх зміни в часі відсутні. Ідеалізація в класичній термодинаміці також передбачає наступне: при повільній зміні зовнішніх умов можна уважати кожний проміжний стан термодинамічної системи рівноважним при відповідно повільній зміні її параметрів протягом процесу. Таким чином, нерівноважну в строгому розумінні систему розглядають у вигляді певної суми «локально рівноважних» підсистем.
Нагадаємо, що за характером взаємодії з оточуючим середовищем термодинамічні системи розрізняють на такі типи: ізольовані системи — які не обмінюються ні енергією, ні речовиною з оточуючим середовищем; закриті (замкнені) системи — коли існує обмін з оточуючим середовищем лише енергією, але не речовиною; відкриті системи — при наявності як енерго-, так і масообміну з оточуючим середовищем. В частинному випадку відкритої системи — так званій проточній системі — газ може входити до цієї системи через одні ділянки контрольної поверхні, що обмежує систему, а через інші – виходити з неї. Щодо відкритих систем існує поняття стаціонарного стану або руху, якщо поля температури, тиску, профілі швидкостів потоці зберігаються постійними в часі при наявностізагальних градієнтів температур, тисків і швидкостей. З огляду на це, рівноважний стан системи можна розглядати як граничний стан відносно стаціонарного.
Якщо при зміні зовнішніх умов стани системи змінюються із скінченною швидкістю,тобто не є рівноважними, то і сам процес зміни термодинамічного стану відповідно є нерівноважним. Асимптотичний процес спрямування внутрішніх термодинамічних і хімічних параметрів газу або двофазних середовищ, у тому числі при їхньому русі, дорівноважних значень при зміні зовнішніх умов (наприклад, встановлення з плином часу порушеної рівноваги середовища) називають «релаксацією» (від лат. relaxatio — послаблення, наприклад поступове послаблення напруженого стану середовища після припинення дії факторів, що викликали цей стан). За час релаксації τr приймається відрізок часу, за який різниця між вихідною величиною будь-якого параметра стану та його новим рівноважним значенням зменшилась в e разів при раптовій зміні зовнішніх умов. Якщо τrє порівняним з характерним часом зміни зовнішніх умов для частинок середовища в потоці, то розрахункова модель має враховувати нерівноважний характер досліджуваного процесу. Яскравим прикладом нерівноважного і необоротного процесу в газодинаміці є ударне адіабатне стискання газу в стрибку ущільнення і його рух через стрибок. Цей процес супроводжується незворотною втратою механічної енергії,яка переходить в теплову з відповідним зростанням ентропії на стрибкуущільнення. Існують також інші види ударних хвиль: стрибки конденсації і детонаційні хвилі. Вони відбуваються з підводом (відводом) теплоти.
Загальні закони збереження
В газодинаміці закони збереження формулюються для довільного рухомого об’єму газу V(t), який може деформуватися за часом t, зберігаючи масу незмінною (натомість, якщо розглядається незмінний об’єм, зафіксований в просторі, то позначатимемо його через V). Згідно з методом Лагранжа опису руху рідин, запишемо загальні рівняння фізичних законів збереження, подальші розв’язки яких визначатимуть розподіли параметрів у високошвидкісних потоках.
а) Закон збереження маси:d òrdV = 0 , (1.1)
dt V (t )
де r — густина середовища, кг/м3.
б) Закон збереження кількості руху, зміна якої, оскільки рухомий об’єм газу V(t) не є ізольованою термодинамічною системою, відбувається під дією зовнішніх сил:
d òru→dV =→R , (1.2)
dt V (t )
де u — вектор швидкості, м/с; R — головний векторсил, прикладених до об’єму, Н.
в) Закон збереження повної енергії, зміна якої у загальному випадку відбувається як за рахунок роботи А зовнішніх сил, так і за рахунок підведення теплоти Q¢ :æ ö
d ç ò rEdV ÷ = А + Q¢ ,ç ÷
è V (t ) øu 2
де E = u + — повна питома (зведена до одиниці маси газу) енергія, Дж/кг; u — питома 2
внутрішня енергіягазу.
Зміна повної енергії за одиницю часу
d ò rEdV = N + Q , (1.3)
де N =Аt dt V (t ) потужність зовнішніх сил; Q =Q¢t
тепловий потік,Вт.
г) У загальній механіцірідин і газів розглядається також закон моменту кількості руху, який в інтегральній формі записується таким чином:
ddt V (t )
→ → → →
LdV = M+ M + M вн→SМ вн ,де L= Lорб + Lвн— повний моменткількості руху маси газу, що складається з орбітального моменту відносно→ →початку координат Lорб = ò [r , ru ]dV , пов’язаного з рухом частинки як цілого, та внутрішнього моменту
V (t ) кількості руху за рахунок обертаньмолекул Lвн = ò V (t ) rlмdV , де lм
— внутрішній момент кількості руху одиниці маси газу;
M = ò éë →
F ùû dV— головний орбітальний момент масових сил, Н·м; MS ò[r , pn
dS —головний орбітальний момент поверхневих сил;
M вн =ò r PdV
V— внутрішній моментвід об’ємно-розподілених джерел моменту, де P — внутрішній момент, віднесений до одиниці маси газу;
→вн = p→ dS
внутрішній момент, що проникаєчерез поверхню S, де
pn — щільність проникнення внутрішнього моменту.
За звичайних умов через хаотичність зіткнень молекул і атомів між собою, що призводить до їх обертання, сума внутрішніх моментів кількості руху дорівнює нулю. Якщо ізотропність розподілу цих моментів порушується, наприклад, при дії потужних магнітних або інших полів, сумарний внутрішній момент кількості руху відмінний від нуля. Даний курс лекцій не передбачає вивчення теорії турбомашин, тому, враховуючи його мету та обсяг, цей закон далі розглядатися не буде.
Для замикання системи рівнянь (1.1) – (1.3), яка узагальнено містить чотири невідомізмінні ( r,u→, E, Q) , додамо рівняння стану, наприклад, рівняння Клапейрона для термічно ідеального газу:
p =RT , (1.4)
де R =RM
Mг— газова стала, Дж/(кг·K);
RM = 8,314 Дж( моль × K )
універсальна газова
стала; Мг — молярна маса газу, кг/моль; р — абсолютний термодинамічний тиск, що відповідає рівновазі газу, Па; Т — абсолютна термодинамічна температура, K (як міра кінетичної енергіїпоступального руху молекул газу, що дорівнює внутрішній енергії, оскількиу термічно ідеального газу відсутня потенціальна енергія взаємодії молекул).
