До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
1
дн.
0
6
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Конспект уроку на тему "Задачі, які приводять до поняття похідної"

Опис документу:
Тема уроку: Задачі, які приводять до поняття похідної. Мета уроку: Познайомити учнів із задачами, які приводять до по¬няття похідної: задача про миттєву швидкість; зада¬ча про дотичну до кривої. І. Перевірка домашнього завдання.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 5

Тема уроку: Задачі, які приводять до поняття похідної.

Мета уроку: Познайомити учнів із задачами, які приводять до по­няття похідної: задача про миттєву швидкість; зада­ча про дотичну до кривої.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Перевірити виконання вправ № 16 (4), 15 за записами на дошці, зробленими до початку уроку, та відповісти на запи­тання, що виникли в учнів при розв'язуванні вправ.

2. Самостійна робота.

І варіант

1) Розв'яжіть рівняння |2х — 3| = 9 – х. (3 бали)

2) Розв'яжіть нерівність |2х – 3| < 2 – х. (3 бали)

3) Знайдіть границі функції:

а) ; б) . (6 балів)

II варіант

1) Розв'яжіть рівняння |1 – 3х| = 4 – х. (3 бали)

2) Розв'яжіть нерівність |3х + 2| > 2х + 3. (3 бали)

3) Знайдіть границі функції:

а) ; б) . (6 балів)

Відповідь: І варіант. 1) -6; 4; 2) ; 3) а) 2; 6) -6.

ІІ варіант. 1) -1,5; 1,25; 2) (-;-1)U(l;+); 3) a) ; б) 4.

II. Мотивація навчання.

Поняття похідної — фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в при­родничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагріванні, значення електричного струму та ін.) приводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної. Отже, наша найближча мета — по­знайомитися з поняттям похідної, навчитися знаходити похідні елементарних функцій та застосовувати поняття похідної до до­слідження функцій, вивчення деяких фізичних явищ, до ви­вчення геометричних понять.

III. Сприймання і усвідомлення поняття миттєвої швидкості прямолі-нійного руху матеріальної точки.

Нехай матеріальна точка Μ рухається прямолінійно по зако­ну s = f(t) (рис. 20).

В момент часу t0 вона зайняла положення М0 і пройшла шлях S0 = f(t0). Знайдемо швидкість точ­ки в момент часу t0.

Припустимо, що за довільно вибраний проміжок часу Δt, по­чинаючи з моменту t0, точка перемістилася на відстань Δs і за­йняла положення М1. Тоді

t1 = t0 + Δt, s1 = f(t1) = s0 + Δs.

За проміжок часу Δί матеріальна точка проходить шлях

Δx = f(t1) - f(t0) = f(t0 + Δt) - f(t0). Середня швидкість υ руху на проміжку Μ0М1 дорівнює: .

Ця величина дає лише приблизне уявлення про швидкість руху матеріальної точки на розглянутому проміжку. Вона буде більш точніша, якщо проміжок Δt буде зменшуватися.

Таким чином, можна вважати, якщо Δt наближається до нуля, то середня швидкість буде наближатися до швидкості в момент часу t0.

!Миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, в мо­мент часу t0 називається границя середньої швидкості при умові, що Δt наближається до нуля.

Числа Δt, Δs називаються відповідно приростом часу, прирос­том шляху.

Отже, миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямоліній­но, є границя відношення приросту шляху Δs до відповідного приросту часу Δt, коли приріст часу наближається до нуля.

Приклад 1.

Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 5t2 + t + 3 (s — шлях в метрах, t час в секундах). Знайдіть швидкість точки:

а) в довільний момент t0; б) в момент часу t = 2 с.

Розв'язання

а) 1) нехай значення аргументу t0 одержало приріст Δt, тоді t1 = t0 + Δt .

2) Знайдемо відповідний приріст шляху

Δs = s(t0 + Δt) - s(t0) = 5(t0 + Δt)2 + (t0 + Δt) + 3 – (5 t02 + t0 + 3) = 5 t02 +10 t0 Δt +t2 + t0 + Δt + 3 – 5t02t0 3 = 10t0Δt +t2 + Δt.

3) Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (се­редню швидкість):

4) Знайдемо границю відношення приросту шляху до приро­сту часу (середньої швидкості):

Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент часу t0 дорівнює 10t0 + 1.

Отже, при заданому законі руху s(t) миттєва швидкість v(t) в довільний момент часу t обчислюється по формулі v(t) = 10t + 1.

б) Якщо t = - 2 с, то маємо v(2) = 10 · 2 +1 = 21 ;

Відповідь: а) 10t + 1; б) 21.

Виконання вправ

1. Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 3t2 4t + 2.

Знайдіть: а) швидкість точки в довільний момент часу t ;

б) швидкість точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: а) 6t0 - 4; б) 2.

2. Точка рухається по закону s(t) = (вільне падіння).

Знайдіть: а) швидкість точки в довільний момент часу t0;

б) швидкість точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: a) gt0; б) g.

3. Точка рухається по закону s(t) = (м) (рівноприскорений рух з початковою швидкістю v0 та прискоренням а).

Знайдіть швидкість точки: а) в довільний момент часу t0;

б) в момент часу t = 1 с.

Відповідь: a) v0 + at0; б) ( v0 + a).

4. Величина кута φ повороту точки навколо осі в залежності від часу задано формулою φ(t) = 3t2 2t + 7 (рад). Виведіть форму­лу для обчислення миттєвої кутової швидкості x та обчисліть її значення при t = 1 с.

Відповідь: x = 6t2; 4 .

5. При нагріванні тіла його температура змінюється в залежності від часу нагрівання t по закону T(t) = 0,5t2 + 4t. Виведіть фор­мулу для обчислення миттєвої швидкості Χ зміни температу­ри тіла.

Відповідь: х = t + 4.

IV. Сприймання і усвідомлення поняття дотичної до кривої.

В курсі геометрії ви познайомились з означен­ням дотичної до кола: дотичною до кола нази­вається пряма, яка лежить в площині кола і має з колом лише одну спільну точку. Таке оз­начення дотичної не може бути перенесено на всі криві (парабола, синусоїда, гіпербола тощо).

Наприклад, вісь ΟΥ має тільки одну спільну точку з графіком функції у = х3, проте її не мож­на вважати дотичною до кубічної параболи в точці 0 (рис. 21).

Пряма у = 1 і синусоїда у = sinx мають безліч спільних точок (рис. 22), проте пряму у = - 1 вважають дотичною до синусоїди.

Для введення означення дотич­ної до кривої розглянемо функцію у = f(x) і її графік — криву лінію (рис. 23). Нехай точки А і Μ нале­жать графіку функції у = f(x), про­ведемо січну AM.

Зафіксуємо точку А. Нехай точ­ка М, рухаючись по кривій, набли­жається до точки А. При цьому січна AM буде повертатися навко­ло точки А і в граничному поло­женні при наближенні точки М до точки А січна займе поло­ження прямої АТ. Пряму АТ називають дотичною до даної кри­вої в точці А.

Дотичною АТ до графіка функції у = f(x) в точці А називається граничне положення січної AM, коли точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А.

Слід мати на увазі, що не в уся­кій точці кривої можна провести до неї дотичну. На рис. 24 зображено криву у = f(x), яка в точці А не має дотичної, бо якщо точка М буде на­ближатися до точки А по лівій час­тині кривої, то січна МА займе гра­ничне положення AQ.

Якщо точка N буде наближатися по правій частині кривої, то січна ΝΑ займе граничне положення AT. Одержуємо дві різні прямі AQ і АТ, це означає, що в точці А до даної кривої дотичної не існує.

Поставимо задачу: провести дотичну до графіка функції у = f(x) в точці А(х0; у0).

Дотична — це пряма, а положення прямої у= kx + b, яка проходить через точку А(х0; у0) визначається кутовим коефіцієнтом прямої k = tg α, де α — кут між прямою і додатнім напрямом осі ОХ (рис. 25).

Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число k.

Нехай в точці А(х0; у0) (рис. 26) кривої у = f(x) існує дотична, визна­чимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

1) Надамо аргументу х0 приросту Δх, одержимо нове значення аргументу х0 + Δх.

2) Знайдемо відповідний приріст функції: Δу = f0 + Δх) - f0)

3) Знайдемо відношення . Із трикутника АМК маємо: = tgМАК. Так як ΜΑΚ = φ — куту нахилу січної AM з додатним напрямом осі ОХ, то = tg φ.

4) Якщо Δх→0, то Δу→0 і точка М буде переміщуватися по кривій, наближаючись до точки А.

При цьому січна AM буде повертатися навколо точки А, а величина кута φ буде змінюватися зі зміною Δх. Граничним положенням січної AM при Δх→0 буде дотична АТ, яка утворює з додатним напрямом осі ОХ деякий кут, величину якого позна­чимо через α.

Отже, кутовий коефіцієнт дотичної. Виконання вправ

  1. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = х2 4х в точці з абсцисою х = 2,5.

Відповідь: k = 1.

  1. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = х2 + х в довільній точці з абсцисою х = х0.

Відповідь: 2х + 1.

  1. Знайдіть кут між дотичною до параболи у = х2 2х + 3 і до­датним напрямом осі абсцис у точці:

а) х0 = 1,5; б) х0 = 0,5; в) х0 = 1; г) х0 = 2.

Відповіді: а) 45°; б) 135°; в) 0°; г) arctg 2.

V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ VII § 1. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 1-5, 7-10. Вправи № 2, 9.

6

Роганін Алгебра 11 клас, урок 5

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Впровадження веб-квестів в освітній процес»
Левченко Ірина Михайлівна
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.