Конспект уроку на тему: "Повторення. Розв'язування логарифмічних рівнянь"

Опис документу:
Конспект уроку з алгебри і початків аналізу для 11 класу на тему: "Повторення. Розв'язування логарифмічних рівнянь". Підготовка до ЗНО. Містить приклади розв'язування основних видів логарифмічних рівнянь та картки для роботи в малих групах.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Тема уроку: Повторення. Розв’язування логарифмічних рівнянь.

Мета уроку: повторити і систематизувати знання і вміння учнів розв’язувати

логарифмічні рівняння різними способами;

формувати вміння й навички учнів розвязувати логарифмічні

рівняння нестандартними способами;

готувати учнів до ЗНО;

розвивати вміння логічно мислити при виборі способу розвязу-

вання рівнянь, правильно висловлювати свої думки усно і у

письмовому вигляді;

виховувати уважність, самостійність, відповідальність,

при виконанні завдань.

Тип уроку: формування знань, вмінь і навичок

Обладнання та наочність: підручники, заготовлені групові завдання

Хід уроку.

І. Організаційний момент.

ІІ. Формування мети і завдань уроку.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Логарифмічними називаються рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд loga х = b, де а > 0 ,а  1, х > 0. З означення логарифма випливає, що ab.

Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння:

loga x  =  loga bде а > 0, а  1, х > 0, b > 0.

Із цього рівняння випливає, що х = b.

В основному, усі логарифмічні рівняння, які ми будемо розв’язувати, зводяться до розв’язування найпростіших рівнянь.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння log3 (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2х + 1 = 32, 2х = 8, х = 4.

Перевірка: log3 (2 ∙ 4 + 1) = log3 9 = 2.

Відповідь: 4.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння log3 х = log3 (6 - х2).

Розв'язання

Із рівності логарифмів чисел випливає

х = 6 - х2; х2 + х - 6 = 0; х1 = -3; х2 = 2.

Перевірка:

1) число - 3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log(- 3) — не визначений;

2) log3х = log32; log3(6 - х2) = log3(6 - 22) = log32.

Відповідь: 2.

Приклад 3. Розвяжіть рівняння logx+1 (2x2 + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2x+ 1 = (х + 1)2; 2x2 + 1 = х2 + 2х + 1; х2 - 2х = 0; х1 = 0; х2 = 2.

Перевірка:

1) значення x = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма x + 1 не повинна дорівнювати 1;

2) log2+1 (2 ∙ 22 + 1) = log3 9 = 2.

Відповідь: 2.

Зазначимо, що в прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не призводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного з одержаних коренів обов’язкова, якщо немає впевненості у рівносильності рівнянь.

Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння log22 х - 3 log2 х = 4.

Розв'язання

Позначимо log2 х через у. Дане рівняння набуває вигляду:

у2 - 3у = 4; у2 - 3у - 4 = 0; у1 = 4; у2 = -1.

Звідси log2= 4, log2x = -1; x = 24x = 2-1x = 16, x = .

Перевірка:

1) log2216 - 31og16 = 16 -12 = 4;

2) log22 - 3log = 1 + 3 = 4.

Відповідь: 16, .

2. Метод потенціювання.

Приклад 5. Розвяжіть рівняння log5 (x - 1) + log5 (х - 2) = log5 (х + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log5 ((х - 1 )(х - 2)) = log5 (х + 2); (х - 1)(х - 2) = х + 2;

х2 - 2х - х + 2 = х + 2; х2 - 4х = 0; х(х - 4) = 0;

х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1) значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log5 (х - 1) і log5 (х - 2) не мають змісту при х = 0;

2) log5(х - 1) + log5(х - 2) = log5(4 - 1) + log5(4 - 2) = log53 + log52 = log5 (2 ∙ 3) = log5 6.

Отже, x = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3. Метод зведення логарифмів до однієї основи.

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння  =3.

Розв’язання

=3;  =3;log3x – 2 ∙  = 3;

log3x + 2log3х = 3; 3log3x = 3; log3x = 1; х = 3.

Перевірка:  = 1 + 2 = 3. Отже, х = 3 — корінь.

Відповідь: 3.

4. Метод логарифмування.

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння хlgx = 100х.

Розв'язання

Прологарифмуємо обидві частини рівності (х > 0) і одержимо

lg хlgx = lg (100х); lg х lg х = lg 100 + lg x; lg2 x - lg x - 2 = 0.

Замінимо lg x = у. Рівняння набуває вигляду:

y- у - 2 = 0; y1 = 2; y= -1.

Тоді: 1lgx = 2; x = 102x = 100.

2) lgx = -1; x = 10-1 = 0,1.

Перевірка:

1xlgx = 100lg100 = 1002; 100x = 100 ∙ 100= 1002. Отже, x = 100 — корінь;

2) xlgx =0,1lg0,1 = 0,1-1 = 1 = 10; 100x = 100 ∙ 0,1 = 10. Отже, x = 0,1 — корінь.

Відповідь: 100; 0,1.

5. Графічний метод розв’язування логарифмічних рівнянь.

Приклад 8. Розв’яжіть рівняння lgх = 1 - х графічно.

Розв'язання

В одній і тій самій системі координат побудуємо графіки функції у= lgx і у = 1- x (рис. 3). Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

Рис. 3

Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба памятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

ІУ. Робота в малих групах.

Завдання для кожної групи:

І група:

ІІ група:

ІІІ група:

ІУ група:

Представлення своєї роботи кожною групою. Оцінювання.

У. Підсумок уроку.

УІ. Завдання додому.

Розв’яжіть рівняння:

  1. Дано рівняння

  1. Указати кількість коренів рівняння;

  2. Знайти найбільший корінь рівняння.

  1. Розв’язати рівняння . У відповідь записати найменший корінь рівняння.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»