До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
0
6
дн.
0
4
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Конспект уроку на тему "Основні теореми про границі"

Опис документу:
Тема уроку: Основні теореми про границі. Мета уроку: Познайомити учнів з основними теоремами про гра¬ниці. формування умінь учнів у знаходженні границь деяких функцій. І. Перевірка домашнього завдання. 1. Перевірити виконання вправи № 2 (6) за розв'язком, записа¬ним на дошці до уроку

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 3

Тема уроку: Основні теореми про границі.

Мета уроку: Познайомити учнів з основними теоремами про гра­ниці. формування умінь учнів у знаходженні границь деяких функцій.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Перевірити виконання вправи № 2 (6) за розв'язком, записа­ним на дошці до уроку.

2. Обговорення розв'язання вправи № 12 (1).

а) Що означає, що (2x 1) = 3?

б) Яким повинно бути δ, щоб із нерівності 0 < |х – 2| < δ ви­пливала нерівність |f(x) – 3| < 0,1?

в) Чи визначена функція f(x) = 2х – 1 в точці 2? Чи дорівнює границя функції при х, що прямує до 2, значенню функції в точці 2?

3. Виконання вправи.

а) Доведіть, що (kx + b) = ka + b, k 0.

Розв'язання

Візьмемо довільне число δ>0 і знайдемо число ε таке, що із нерівності 0<|х - а|<δ випливає нерівність |(kx + b) – (ka + b)| < ε. Перетворимо останню нерівність:

|kx + b – ka – b| < ε; |k(x α)| < ε; |k| ·|x α| < ε

оскільки k 0, то |х – α| <.

Отже, якщо взяти δ = , то для всіх х, що задовольняють ε нерівності

0 < | x a | < δ = виконується нерівність |(kx + b) – (ka + b)| < ε.

б) Знайдіть границі.

(x + 2); (3х 1); (2x + 1).

II. Сприймання основних теорем про границі.

У курсі математичного аналізу (в підручнику теж є доведен­ня) доводяться такі теореми, які ми приймемо без доведення.

! 1. Якщо функція f(x) має границю при х а, то ця границя єдина.

! 2. Границя постійної функції дорівнює постійній С = С, де С — постійна.

! 3. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь, при умові, що границі доданків існують.

(f(x) ± g(x)) = f(х) ± g(x).

! 4. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій, якщо границі множників існують

(f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).

! 5. Постійний множник можна виносити за знак границі

(Cf(x)) = С f(x).

! 6. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю

, .

Сформульовані теореми використовуються при знаходженні гра­ниць функцій.

Приклад 1. Знайдіть .

Розв'язання

.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Знайдіть .

Розв'язання

Відповідь: 2.

Виконання вправ

1. Знайдіть границі:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Відомо, що , .

Знайти границі: а) ; б) ;

в) ; г) .

Приклад 3. Знайдіть

Розв'язання

В цьому прикладі безпосередньо скористатися теоремами про границі не можна, бо границя знаменника дорівнює нулю. Оскіль­ки в означенні границі |х – а| > 0, тобто |х — а| 0, то маємо

.

Відповідь: 4.

Приклад 4. Знайдіть

Розв'язання

.

Відповідь: 1.

Виконання вправ

1. Знайдіть границі

а); б) ; в) ; г) .

ІІІ. Сприймання матеріалу про границю відношення при х→ 0.

Розглянемо таблицю відношень , якщо х→ 0.

х

1

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

sin х

0,8415

0,0998

0,010

0,001

0,0001

0,00001

0,8415

0,9983

1

1

1

1

х

- 1

- 0,1

- 0,01

- 0,001

- 0,0001

- 0,00001

sin х

- 0,8415

- 0,0998

- 0,010

- 0,001

- 0,0001

- 0,00001

0,8415

0,9983

1

1

1

1

З таблиці видно, що .

Обґрунтуємо одержану рівність. Розглянемо одиничне коло та гострий кут Р0ОА, хорду Р0В та дотичну до кола

Р0А(рис. 14).

Тоді

Оскільки ,

.

, то , або при . Звідси ; ; .

При х → 0 маємо cos х→ 1; отже, 1 при х 0 . Якщо , то при – х → 0 . Таким чином,

Приклад. Знайти .

Розв'язання

Відповідь: 7.

Виконання вправ
  1. Знайдіть границі:

а); б) ; в) ; г) ; д)

Відповідь: а) 1; б) 5; в) 2; г) ; д) .

IV. Домашнє завдання.

Розділ VI § 6 (приклад 5), § 7. Вправи № 13, 14 (1—3).

V. Підведення підсумків уроку.

Сформулюйте означення границі і основні теореми про границі функцій, користуючись таблицею 3.

Таблиця 3

5

Роганін Алгебра 11 клас, урок 3

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Вчити читати. Літературна освіта в школі: химери чи лабіринти?»
Мацевко-Бекерська Лідія Василівна
30 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.