До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
0
9
дн.
2
2
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Конспект уроку на тему "Неперервність функції"

Опис документу:
Тема уроку: Неперервність функції. Мета уроку: Познайомити учнів з поняттям неперервності функції в точці та на проміжку. І. Перевірка домашнього завдання. 1. Два учня відтворюють розв'язання вправ № 13 і № 14.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 4

Тема уроку: Неперервність функції.

Мета уроку: Познайомити учнів з поняттям неперервності функції в точці та на проміжку.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Два учня відтворюють розв'язання вправ № 13 і № 14.

2. Колективне розв'язування вправ.

  1. Відомо, що ,.

Знайдіть а) ; .

  1. Знайдіть: а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: 1) а) ; б) 3. 2) а) 2; б) 4; в) ; г) .

ІІ. Сприймання поняття неперервності функції в точці та на проміжку.

Розгляньте графіки функцій, зображених на рис. 15.

Рис. 15

Які із цих графіків можна накреслити, не відриваючи олівця від аркуша паперу?

Точки, у яких при побудові графіка відриваємо олівець від паперу, називають точками розриву, а функцію – розривною в цій точці.

На рис. 15 розривними функціями є функції f2, f3, f4, які мають розрив в точці х = 1.

В усіх останніх точках області визначення функцій f2, f3, f4 ці функції не мають розриву. Отже, в інших точках функції f2, f3, f4 неперервні, функція f1 неперервна в кожній точці. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого проміжку, то гово­рять, що функція неперервна на цьому проміжку.

Використовуючи графіки функцій (рис. 16) укажіть точки роз­риву функцій і назвіть проміжки неперервності.

III. Засвоєння означення неперервності функції в точці і об­ґрунтування неперервності деяких функцій на проміжках.

Розглянемо графіки функцій, зображених на рис. 112 підруч­ника.

Функції, графіки яких зображено на рисунках б і г, мають розриви відповідно в точках х = 0 і х = 1, оскільки так як в цих точках ці функції не визначені.

Функції, графіки яких зображені на рисунках в і д, розривні, відповідно перша — при всіх цілих значеннях х, а друга — у точці х = 0, оскільки в цих точках вони не мають границь. Функція, графік якої зображений на рисунку є, визначена в точці х = 0 і дорівнює в цій точці 2, проте , тому вона розривна.

!Функція називається неперервною в точці хо, якщо існує грани­ця функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точ­ці хо.

Отже, функція у = f(x) в точці хо, буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

1) функція у = f(x) визначена в точці хо, ;

2) для функції існує границя ;

3) границя функції f(x) в точці хо, дорівнює значенню функції в цій точці: .

Якщо функція у=f(x) неперервна в кожній точці деякого проміжку, то її називають неперервною на даному проміжку. Справедливі такі теореми.

Теорема 1. Якщо функції у = f(x) і у = g(x) є неперервними в точ­ці х , то в цій точці будуть неперервними й функції у = f(x) ± g(x) та у = f(x) – g(x).

Теорема 2. Якщо функції у = f(x) і у = g(x) є неперервними в точці хо і , то в точці хо, буде неперервною також і функція .

Виходячи з теорем 1 та 2, можна стверджувати:

  1. Многочлен у = а0 + а1х + а2х2 +... + аnxn неперервна функ­ція в будь-якій точці .

  2. Дробово-раціональна функція неперервна в усіх точках числової осі, крім тих точок, у яких знаменник дорівнює нулю.

Крім того, слід зазначити, що вивчені нами функції у = sin x, у = cos x,

у = tgx, у = ctgx, у = aх, у = logax, у = , у = arcsin x, у = arccos x,

у = arctg x, y = arcctg x, у = |х| є та­кож неперервними в усіх точках області визначення.

Виконання вправ

1. Які із функцій, графіки яких зображено на рисунку 17, не­перервні, а які розривні в точці О?

Відповідь: неперервна функція зображена на рис. а; останні функції розривні в точці О.

2. Укажіть проміжки неперервності функцій f і g, зображених на рис. 18.

Відповіді: функція у = f(x) неперервна на проміжках (-;0), (0; 1), (1;+),

функція у = g(x) неперервна на проміжках (-; 1), (1; +).

3. Побудуйте графік функції у = f(x). Чи міститься в області ви­значення функції точка, в якій функція не є неперервною?

Відповідь: а) Рис. 19, а, функція розривна в точці х = -1;

б) Рис. 19, б, функція неперервна для х R;

в) Рис. 19, е, функція розривна в точці х = 1;

г) Рис. 19, г, функція неперервна для х R.

4. Доведіть неперервність функцій

а) у = при х > 0; б) у = sin х при х є R.

Розв'язання

а) Доведемо, що при а > 0.

Оцінимо різницю :

Легко бачити: < ε, ε > 0, якщо взяти менше . Таким чином, для всякого ε > 0 існує δ = таке, що із нерівності <δ випливає < <= ε. Отже, тобто функція у = неперервна для всіх χ > 0.

б) Доведемо, що для х є R.

Оцінимо різницю sin х – sin а:

Легко бачити: |sin х - sin α| < ε, ε > Ο, якщо взяти |х - а| менше ε.

Таким чином, для всякого ε > 0 існує δ = ε таке, що із нерів­ності |х — а| < δ випливає |sin х — sin а| < |х — α| < δ = ε.

Отже,, тобто функція у = sin x неперервна для всіх х є R.

5. Знайдіть границі, користуючись неперервністю функції в точці:

а) ; б) ; в); г) .

Відповідь: а) 1; б) 1; в) ; г) 2.

IV. Домашнє завдання.

Розділ VI § 8. Запитання і завдання для повторення № 9, 10. Вправи № 15, 16 (4).

V. Підведення підсумків уроку.

6

Роганін Алгебра 11 клас, урок 4

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Активізація творчого потенціалу вчителів шляхом використання ігрових форм організації учнів на уроці»
Черниш Олена Степанівна
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.