До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
0
7
дн.
2
1
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Конспект уроку на тему "Модуль дійсного числа та його властивості"

Опис документу:
Тема уроку: Модуль дійсного числа та його властивості. Мета уроку: Узагальнення знань учнів про модуль дійсного чис¬ла, вивчення властивостей модуля дійсного числа. І. Систематизація знань учнів......

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 1

Тема уроку: Модуль дійсного числа та його властивості.

Мета уроку: Узагальнення знань учнів про модуль дійсного чис­ла, вивчення властивостей модуля дійсного числа.

І. Систематизація знань учнів про модуль дійсного числа

І Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від'ємного числа називається число, протилежне даному, модуль нуля дорівнює нулю.

Модуль числа α позначається символом |а| і читається «мо­дуль числа а». Згідно з означенням:

Виконання вправ

1. Знайдіть модулі чисел:

а) -; б) -1; в) 1- ; г) 2- ()2.

Відповідь: а) ; б) -1; в) -1; г) 0.

2. Запишіть вирази без знака модуля:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 2-; б)-1; в) sin 3; г) lg 5.

3. Запишіть вирази, без знака модуля:

а) х + ; б) - х; в) х - ; г) .

Відповідь: а) б) в) г)

!! Геометричний зміст модуля числа є відстань від початку координат до точки, що зображає дане число (рис. 1) на координатній прямій. Дійсно, якщо а > 0, то відстань ОА дорівнює а. Якщо b < 0, то відстань дорівнює -b.

! Теорема Модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точ­ками, які є зображеннями чисел на координатній прямій.

Доведення

Візьмемо числа a і b. Позначимо на коор­динатній прямій числа а, b, а — b через А, В, С (рис. 2). При паралельному пере­несенні вздовж осі х на b, точка О перей­де в точку В, а точка С — в точку А, тобто ОС=АВ. Оскільки за означенням модуля ОС=, то АВ= , що і треба було довести.

Прості рівняння і нерівності з модулем зручно розв'язувати використовуючи геометричний зміст модуля. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння |х| = 5.

Розв'язання

Співвідношення |х| = 5 геометричне означає, що відстань від точ­ки х до початку координат дорівнює 5, тобто х = 5 або х = -5. Відповідь: ±5.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння |х + 3| = 2.

Розв'язання

Перепишемо співвідношення |х + 3| = 2 у вигляді |х - (-3)| = 2, яке геометрична означає, що відстань від точки -3 до точки х дорівнює 2. Відклавши від точки -3 на координатній прямій відрізок довжиною 2 (вправо і вліво), одержимо х = -1 або х = -5.

Відповідь: -1; -5.

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність |х - 3| < 2.

Розв'язання

Розв'язати нерівність |х - 3| < 2 геометричне оз­начає: знайти точки х, відстань від яких до точ­ки 3 не перевищує 2. На відстані 2 від точки З знаходяться точки 1 і 5 (рис. 3). Отже, 1 х 5.

Відповідь: 1 х 5.

Приклад 4. Розв'яжіть нерівність |2х + 1| 3 .

Розв'язання

Перепишемо нерівність |2х + 1| 3 у ви­гляді |2х – (- 1)| 3 , яка геометрично оз­начає, що відстань від точки 2х до точ­ки -1 не менша 3 (рис. 4). На відстані 3 від точки -1 знаходяться точки 2 і - 4. Таким чином, 2 або - 4, звідси х 1 або х -2.

Відповідь: х 1 або х -2.

Виконання вправ

1. Розв'яжіть рівняння:

а) |х – 1| = 2; б) |х + 3| = 1; в) |2х + 1| = 3; г) |2х – 3| = 9.

Відповідь: а) -1; 3; б) -2; -4; в) 1; -2; г) -3; 6.

2. Розв'яжіть нерівності:

а) |х + 2| > 2; б) |2 – х| > 3; в) |2х – 3| < 5; г) |1 + 2х| < 1.

Відповідь: а) х < -4 або х > 0; б) х < -1 або х > 5; в) -1 < х < 4; г) -1 < х < 0.

3. Множину чисел, зображених на рис. 5, запишіть у вигляді не­рівності, що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х| < 1; б) |х| < 2; в) |х – 3| < 3; г) |х + 2| < 2.

4. Множину чисел, зображених на рис. 6, запишіть у вигляді нерівності, що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х| 1; б) |х| > 3; в) |х + 2| 1; г) |х + 4| > 1.

5. Розв'яжіть рівняння:

а) ||х| – 1| = 2; б) ||х| – 4| = 1; в) ||х – 1| – 1| = 2; г) ||х + 1| + 1| = 2.

Відповідь: а) ±3; б) ±3; ±5; в) -2; 4; г) 0; -2.

6. Розв'яжіть нерівність:

а) ||х| - 2| 1; б) ||х| - 5| 2; в) ||х + 1| + 1| 3.

Відповідь: а) -3 х -1 або 1 х 3; б) -7 х -3 або 3 х 7; в) -3 х 1.

Використовуючи означення та геометричний зміст модуля дійсно­го числа, можна сформулювати такі його властивості.

1. Модуль дійсного числа — невід’ємне число, тобто |а| 0.

2. Модулі протилежних чисел рівні: |а| =|-а|.

3. Модуль добутку дорівнює добутку модулів множників: |аb| = |а · b|.

Дійсно, якщо а і b числа однакових знаків, то ab > 0 і |аb| = |а| · |b|.

Якщо α і b числа, які мають різні знаки, то ab < 0 і |аb| = = -ab. З другого боку |а|·|b| = - ab. Отже, |аb| = |а|•|b|.

4. Квадрат модуля числа дорівнює квадрату числа: |а|2 = а2.

5. Модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль знаменника (якщо. модуль знаменника не дорівнює нулю):

Дійсно, оскільки а = ·b, то за властивістю 3 маємо: , звідки .

6. Модуль суми не перевищує суми модулів доданків: |а + b| |a| +|b|.

Оскільки -|a| а |a| і -|b| b |b|, то, додавши почленно ці не­рівності, одержимо

-|а| - |b| а + b |а| + |b|, або

-(|а| + |b|) а + b |а| + |b|,

що означає |a + b| |а| + |b|.

II. Формування умінь розв'язувати рівняння з модулями.

1. Рівняння |f(x)| = | g(x)| рівносильне об'єднанню рівнянь:

f(x) = g(x) та f(x) = -g(x).

Приклад. Розв'яжіть рівняння: |х|= |4 - х|.

Розв'язання

Рівняння |х| = |4 - х| рівносильне рівнянням x = 4 - x та x = -4 + x. Тоді

1) x = 4 - x; 2x = 4; x = 2.

2) x = - 4 + x; Οx = -4; розв'язків немає.

Відповідь: 2.

2. Рівняння |f(x)| = g(x) рівносильне двом системам:

та

Приклад. Розв'яжіть рівняння |х2 х – 8| = – х.

Розв'язання

Рівняння |х2 х – 8| = – х рівносильне системам

Відповідь: -2; 2.

3. Приклад. Розв'яжіть рівняння |х + 1| + |х – 2| = 3.

Розв'язання

Вирази х + 1 і х 2 дорівнюють нулю відповід­но при

х = – 1 і х = 2. Тому розглянемо такі три випадки (рис. 7).

І) Знайдемо всі розв'язки рівняння, які задо­вольняють умову х – 1.

Якщо х –1, то х + 1 0, х – 2 0 і дане рівняння має ви­гляд:

- х - 1 - х + 2 = 3; -2х + 1 = 3; -2х = 2; х = -1.

II) Якщо -1 < х 2, то |х + 1| = х + 1, |х – 2| = – х + 2 і дане рівняння набирає вигляду: х + 1 х + 2 = 3; 0х +3 = 3; 0х = 0. Розв'язком цього рівняння є довільне число з про­міжку -1 < х 2.

IІІ) Якщо х > 2, то |х + 1| = х + 1, |х – 2| = х – 2 і дане рівняння набирає вигляду:

х + 1 + х – 2 = 3; 2х – 1 = 3; = 4; х = 2 — не входить в проміжок х > 2.

Отже, дане рівняння має корені -1 х 2.

Відповідь: -1 х 2.

III. Формування умінь розв'язувати нерівності з модулем.

  1. Нерівність |f(x)| < g(x) рівносильна системі або подвійній нерівності - g(x) < f(x) < g(x).

Приклад. Розв'яжіть нерівність |х2 + 5x| < 6.

Розв'язання

Нерівність |х2 + 5х| < 6 рівносильна подвійній нерівності – 6 < х2 + 5x < 6, тобто системі

Відповідь: (-6; - 3) (-2; 1).

2. Нерівність |f(x)| > g(x) рівносильна двом нерівностям: f(x) > g(x) та f(x) < -g(x).

Приклад. Розв'яжіть нерівність |3х - 2| > 2х + 1.

Розв'язання

Нерівність |3х - 2| > + 1 рівносильна об'єднанню двох нерівно­стей:

3х - 2 > 2х + 1 та 3х - 2 < - 2х - 1.

1) 3х - 2 > 2х + 1; х > 3.

2) 3х - 2 < -2х - 1; 5х < 1; х < .

Отже, дана нерівність має розв'язок х е .

Відповідь: .

3. Нерівність |f(x)| > |g(x)| рівносильна нерівності f2(x) > g2(x}·

Приклад. Розв'яжіть нерівність |3 + x| |x|.

Розв'язання

|3 + х| |х|; (3 + х)2 х2; 9 + 6х + х2 х2; 6х -9; х ; х -1,5.

Відповідь: [-1,5; +).

4. Приклад. Розв'яжіть нерівність |х – 1| + |х - 2| > х + 3.

Розв'язання

Ця нерівність рівносильна трьом системам:

Відповідь: x (-; 0) U (6; +).

IV. Домашнє завдання.

Розділ VI § 1, Вправи № 2 (1; 3; 4), № 3 (1; 2).

V. Підведення підсумків уроку.

Сформулюйте означення і властивості модуля дійсного числа, користуючись таблицею 1.

Таблиця 1

Модуль дійсного числа

Властивості

|а|0; |а| = – |а|; |а·b| = |a|·|b|; |a|2=a2;

, якщо ; |а + b| |a| + |b|; |а + b| |a| - |b|; |а - b| |a| - |b|.

6

Роганін Алгебра 11 клас, урок 1

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Розвиток цифрового інтелекту учителя: путівник по цифрових інструментах в ефективній організації і проведенні освітнього процесу»
Ілляхова Марина Володимирівна
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.