- Всеосвіта›
- Бібліотека›
- Математика ›
- Комбінований метод
Комбінований метод
Комбінований метод дотичних і хорд
Характерна особливість методів дотичних і хорд та, що послідовності їх наближень монотонні. Причому, якщо для даного рівняння послідовність наближень методу хорд монотонно спадна, то послідовність наближень методу дотичних – монотонно зростаюча, і навпаки. Одночасне застосування цих методів дає змогу наближатися до кореня рівняння з двох боків, дістаючи наближення з недостачею і надлишком.
Р
озглянемо рівняння f(x)=0, корінь якого x٭ належить [a;b]. Нехай, наприклад, f'(x)>0, f''(x)>0, f(a)<0, f(b)<0.
У даному випадку за початкове наближення в методі хорд вибирають точку x=a, а в методі дотичних – точку b. На відрізку [a;b] застосовують метод дотичних і хорд. У результаті дістають нові наближення a1 і b1, і початковий відрізок ізоляції кореня звузився. Для знаходження нових наближень застосовують метод дотичних і хорд уже на відрізку [a1 ;b1]. У результаті дістають наближення a2 і b2 відповідно. Такий процес продовжують доти, поки довжина відрізка [ak ;bk] стане меншою або дорівнюватиме величині 2ε, де ε – наперед задана точність кореня.
За шукане значення кореня x' беруть півсуму наближень ak і bk, тобто x'=0,5(ak + bk), а модуль їх піврізниці дасть граничну абсолютну похибку наближеного кореня, тобто
| x٭- x' |≤0,5|ak + bk|.
Зазначимо, що на кожному кроці комбінованого методу за нерухомий кінець с у формулі методу хорд треба брати наближення, обчислене на тому ж кроці за формулою дотичних.
Формули комбінованого методу дотичних і хорд мають вигляд:
bk+1= bk - f(bk )/ f'(bk ), k=0,1,2,… (1)
ak+1=ak- f(ak)(ak-bk+1)/ f(ak)- f(bk+1), k=0,1,2,… (2)
За початкове наближення b0 у формулі (1) методу дотичних беруть той з кінців відрізка [a;b], в якому значення функції і її другої похідної мають однакові знаки, тоді протилежний кінець відрізка [a;b] беруть за початкове наближення a0 у формулі (2) методу хорд.
Завдяки своєрідній комбінації методів дотичних і хорд комбінований метод має вищу швидкість збіжності, ніж методи хорд і дотичних окремо взяті.
Завдання. Комбінованим методом хорд і дотичних розв’язати рівняння третього степеня, обчисливши корені з точністю до 0,001.
2x3-3x2-12x-5=0. 2. x3-3x2+24x-3=0.
3. x3-3x2+3=0. 4. x3-12x+6=0.
5. x3+3x2-24x-10=0. 6. 2 x3-3x2-12x+10=0.
7. 2 x3+9x2-21=0. 8. x3-3x2+2,5=0.
9. x3+3x2-2=0. 10. x3+3x2-3,5=0.
11. x3+3x2-24x+10=0. 12. x3-3x2-24x-8=0.
13. 2x3+9x2-10=0. 14. x3-12x+10=0.
15. x3+3x2-3=0. 16. 2 x3-3x2-12x+1=0.
17. x3-3x2-24x-5=0. 18. x3-4x2+2=0.
19. x3-12x-5=0. 20. x3+3x2-24x+1=0.
21. 2x3-3x2-12x+12=0. 22. 2x3+9x2-6=0.
23. x3-3x2+1,5=0. 24. x3-3x2-24x+10=0.
25. x3+3x2-24x-3=0. 26. x3-12x-10=0.
27. 2x3+9x2-4=0. 28. 2x3-3x2-12x+8=0.
29. x3+3x2-1=0. 30. x3-3x2+3,5=0.
31. x3+3x2-2=0. 32. x3+3x2-3,5=0.
33. x3+3x2-24x+10=0. 34. x3-3x2-24x-8=0.
35. 2x3+9x2-10=0. 36. x3-12x+10=0.
Приклад виконання завдання
Комбінованим методом хорд і дотичних розв’язати рівняння третього степеня, обчисливши корені з точністю до 0,001. x3-2x2-4x+7=0.
Відокремимо корені аналітично. Знаходимо f(x)= x3-2x2-4x+7,
f'(x)= 3x2-4x-4; x1,2=(2±√16)/3=(2±4)/3; x1= -2/3, x2=2.
Складемо таблицю знаків функцій f(x):
| x | - ∞ | -2/3 | 2 | + ∞ |
| Signf(x) | - | + | - | + |
Отже, рівняння має 3 дійсних кореня на відрізках (- ∞;-2/3] [-2/3;2] [2; + ∞).
Зменшимо проміжки, що містять корені, до довжини, рівній 1.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Signf(x) | - | + | + | + | - | + |
Отже, x1 належить відрізку [-2;-1], x2 - відрізку [1;2], x3 - відрізку [2;3].
Уточнимо корені комбінованим методом хорд і дотичних.
1. x1 належить відрізку [-2;-1]; f(-2)<0; f(-1)>0; f''(x)=6x-4. При -2≤x≤-1 маємо f''(x)<0. Для розрахунків застосовуємо формули xn+1= xn - f(xn )/ f'(xn ),
‾xn+1= xn – [f(xn )/ f(‾xn )- f(xn )]( ‾xn --xn).
Всі розрахунки проводимо в таблиці:
| xn | ‾xn --xn | xn2 | xn3 | f(xn ) | f'(xn ) | f(‾xn )- f(xn ) | h1n |
| ‾xn | ‾xn2 | ‾xn3 | f(‾xn ) | h2n | |||
| -2 | 1 | 4 | -8 | -1 | 16 | 9 | -0.06 |
| -1 | 1 | -1 | -8 | -0.11 | |||
| -1.94 | 0.05 | 3.7636 | -7.3014 | -0.0686 | 15.0508 | 0.7331 | -0.0045 |
| -1.89 | 3.5721 | -6.7513 | 0.6645 | -0.0047 | |||
| -1.9355 | 0.0002 | 3.7462 | -7.2507 | -.0011 | - | - | - |
| -1.9353 | 3.7454 | -7.2484 | 0.0020 | - |
Відповідь. x=1.935.
2. x3 належить відрізку [2;3]; f(2)<2; f(3)>0; f''(x)=6x-4. При 2≤x≤3 маємо f''(x) >0. Для розрахунків застосовуємо формули
xn+1= xn - f(xn )/ f'(xn ),
‾xn+1= xn – [f(xn )/ f(‾xn )- f(xn )]( ‾xn --xn).
Всі розрахунки проводимо в таблиці:
| xn | ‾xn --xn | xn2 | xn3 | f(xn ) | f'(xn ) | f(‾xn )- f(xn ) | h1n |
| ‾xn | ‾xn2 | ‾xn3 | f(‾xn ) | h2n | |||
| 2 | 1 | 4 | 8 | -1 | 5 | 11 | -0.20 |
| 3 | 9 | 27 | 4 | 0.36 | |||
| 2.2 | 0.44 | 4.84 | 10.648 | -0.832 | 1.7325 | 6.3488 | -0.126 |
| 2.64 | 6.9696 | 18.3997 | -0.9005 | 0.142 | |||
| 2.326 | 0.172 | 5.4103 | 12.8430 | -0.2816 | 0.3971 | 4.728 | -0.122 |
| 2.498 | 6.2400 | 15.5875 | 0.1155 | -0.024 | |||
| 2.448 | 0.026 | 5.9927 | 14.6701 | -0.1073 | 0.1125 | 4.4661 | -0.0248 |
| 2.474 | 6.1207 | 15.1426 | 0.0052 | 0.0012 | |||
| 2.4728 | 0 | ||||||
| 2.4728 |
Відповідь. x=2.473
3. x2 належить відрізку [1;2]; f(2)<0; f(1)>0; f''(x)=6x-4. При 1≤x≤2 маємо f''(x) >0. Для розрахунків застосовуємо формули xn+1= xn - f(xn )/ f'(xn ),
‾xn+1= xn – [f(xn )/ f(‾xn )- f(xn )]( ‾xn --xn).
Всі розрахунки проводимо в таблиці:
| xn | ‾xn --xn | xn2 | xn3 | f(xn ) | f'(xn ) | f(‾xn )- f(xn ) | h1n |
| ‾xn | ‾xn2 | ‾xn3 | f(‾xn ) | h2n | |||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | -5 | -3 | -0.4 |
| 2 | 4 | 8 | -1 | -0.7 | |||
| 1.4 | 0.3 | 1.96 | 2.744 | 0.224 | -3.72 | -0.891 | -0.060 |
| 1.7 | 2.89 | 4.913 | -0.667 | -0.075 | |||
| 1.46 | 0.015 | 2.1316 | 3.1121 | 0.0089 | -3.4452 | -0.0511 | -0.0025 |
| 1.475 | 2.1756 | 3.2090 | -0.0422 | -0.0026 | |||
| 1.4625 | 0.0001 | 2.1389 | 3.1282 | 0.0004 | |||
| 1.4626 | 2.1392 | 3.1288 | 0 |
Відповідь. x=1.463.
Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»