і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
До визначення переможців залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Поспішайте взяти участь в акції «Методичний тиждень».
Головний приз 500грн + безкоштовний вебінар.
Взяти участь

Кола Ейлера

Курс:«Активізація творчого потенціалу вчителів шляхом використання ігрових форм організації учнів на уроці»
Черниш Олена Степанівна
36 годин
1800 грн
540 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №GS715923
За публікацію цієї методичної розробки Сєднєва Наталія Володимирівна отримав(ла) свідоцтво №GS715923
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Бібліотека
матеріалів
Отримати код

Круги Ейлера

Круги Ейлера – це геометрична схема, про перетин взаємодоповнюючих і взаємовиключних факторів, які схематично зображуються у вигляді кіл. З їх допомогою можна зобразити відносини між підмножинами (поняттями), для наочного представлення. Метод Ейлера є незамінним при вирішенні деяких завдань, а також спрощує розмірковування.

Леонард Ейлер був геніальним математиком, який умів застосовувати математичні прийоми на практиці. Він успішно використав для вирішення різних завдань ідею зображення понять і класів предметів у вигляді кіл. З допомогою цих графіків можна легко і наочно розв’язати завдання з громіздкими умовами, для вирішення яких звичайним способом знадобилося б складання системи з декількох рівнянь, наприклад, з трьома невідомими. Подібні завдання часто мають практичний характер, що важливо в сучасному житті. Вони змушують замислюватися, підходити до вирішення будь-якої проблеми з різних сторін, вміти вибирати з безлічі способів вирішення найбільш простий, легкий шлях.

Дана тема, безумовно, розширює математичний кругозір учнів, збагачує арсенал засобів, що використовуються в рішенні різноманітних завдань. Оволодіння методом вирішення завдань з допомогою кіл Ейлера формує у дитини здатність аналізувати, зіставляти, узагальнювати та об’єднувати свої знання для більш широкого застосування.

Алгоритм рішення завдань за допомогою кіл Ейлера :

1. Уважно вивчаємо і коротко записуємо умову завдання.

2. Визначаємо кількість множин і позначаємо їх.

3. Виконуємо малюнок. Будуємо перетин множин.

4. Записуємо початкові дані в круги.

5. Вибираємо умову, в якій міститься більше властивостей.

6. Записуємо дані, яких не вистачає в колах Ейлера (міркуючи і аналізуючи)

7. Перевіряємо рішення задачі і записуємо відповідь.

Розглянемо цей алгоритм при розв’язанні задач:

Завдання 1 ( для 5 кл.) У класі 15 учнів. З них 9 займаються в секції легкої атлетики, 5 - в секції плавання і 3 - в обох секціях. Скільки учнів класу не відвідують секції?

Розв’язання.У завданні одно множина і дві підмножини. I коло - всього учнів. II коло - кількість тих, що займаються легкою атлетикою. III коло - кількість тих, що займаються плаванням. IV коло – кількість тих, що не відвідують секції. Всього учнів зображуватимемо за допомогою більшого круга. Усередині помістимо круги поменше, причому намалюємо I і II кола так, щоб у них була загальна частина (оскільки троє хлопців займаються в обох секціях). Виконаємо малюнок. Усередині великого круга 15 учнів. У загальній частині кругів поменше ставимо цифру 3.

У лівій частині кола, що залишилася, ставимо цифру 6 (9-3=6). У правій частині кола, що залишилася, - поставимо цифру 2 (5-3=2).

Записуємо по малюнку відповідь:

Х= 15 - (6+3+2) = 4 (учнів) не займаються ні в одній з цих секцій.

Відповідь: 4 учні.

Задача 2 (для 5-6 кл.)На полиці стояло 26 книг із заклинаннями, всі вони були прочитані. Із них 4 прочитав і Гаррі, і Рон. Герміона прочитала 7 книг, яких не читали ні Гаррі ні Рон, і дві книги, які читав Гаррі. Всього Гаррі прочитав 11 книг. Скільки книг прочитав тільки Рон?

Розв’язання:

Враховуючи умову задачі, малюнок буде такий:

Так як Гаррі Поттер всього прочитав 11 книг, із них 4 книги читав Рон та 2 книги – Герміона, тоді

11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитав тільки Гаррі.

З чого слідує, що   26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитав тільки Рон.

Задача 3 (5-6 кл.) У магазині побувало 65 чоловік. Відомо, що вони купили 35 холодильників, 36 мікрохвильових печей, 37 телевізорів. 20 з них купили і холодильник і мікрохвильову піч, 19 - і мікрохвильову піч, і телевізор, 15 - холодильник і телевізор, а усі три купівлі вчинили три людини. Чи був серед них відвідувач, що не купив нічого

Розв’язування: Нехай Х чоловік нічого не купили. Тоді виконавши всі розрахунки на колі, отримаємо рівняння:

65-Х=3+17+0+12+3+16+6.

Х=65-57

Х=8

Відповідь: 8 чоловік нічого не купили.

Задача4 (5-6 кл) З 100 хлопців, що вирушають в дитячий оздоровчий табір, кататися на сноутборді уміють 30 хлопців, на скейтборді - 28, на роликах - 42. На скейтборді і на сноуборді уміють кататися 8 хлопців, на скейтборді і на роликах - 10, на сноуборді і на роликах - 5, а на усіх трьох - 3. Скільки хлопців не вміють кататися ні на сноуборді, ні на скейтборді, ні на роликах?

Розв’язування: Нехай Х хлопців не вміють ні на чому кататись. Тоді виконавши всі розрахунки на колі, отримаємо рівняння:

100-Х=20+2+3+5+7+13+30

Х=100-80

Х=20

Відповідь: 20 хлопців

Задача 5 ( для 7-8 кл.) У одній сім’ї було багато людей. 7 з них любили капусту, 6 – моркву, 5 – горох, 4 капусту і моркву, 3 – капусту і горох, 2 – моркву і город, 1 – капусту, моркву і горох. Скільки дітей було в сім’ї.

Розв’язання:

Виконуючи всі дії за алгоритмом, отримуємо малюнок з колами. Записуємо дані, яких не вистачає в колах Ейлера та записуємо відповідь.

Всього дітей у родині: 1+2+3+1+1+1+1=10

Відповідь: 10 дітей

Задача 6 (7-8кл). У класі вчаться 40 чоловік. З них з англійської мові мають оцінки високого рівня -19 чоловік, з математики - 17 чоловік і з історії - 22 людини. Тільки по одному предмету мають оцінки високого рівня: з англійської мови - 4 людини, по математиці - 4 людини, по історії - 11 чоловік. Сім учнів мають гарні оцінки і з математики і з історії, а 5 учнів - по усіх предметах. Скільки чоловік не отримують оцінок високого рівня? Скільки чоловік мають гарні оцінки з двох предметів з трьох можливих?

Розв’язання:

7-5=2 число учнів, які мають гарні оцінки з двох предметів: М, І.

17-4-5-2=6 – число учнів, які мають гарні оцінки з двох предметів М, А.

22-5-2-11=4 - число учнів, які мають гарні оцінки з двох предметів І, А.

40-22-4-6-4=4 - не отримують оцінок високого рівня

6+2+4=12 – число учнів, які мають гарні оцінки з двох предметів з трьох можливих

Відповідь: 4 не отримують оцінок високого рівня. 12 учнів мають гарні оцінки з двох предметів з трьох можливих.

Задача 7 (7-8 кл.) В групі 29 студентів. Серед них 14 любителів класичної музики, 15-джаза, 14 - народної музики. Класичну музику і джаз слухають 6 студентів, народна музика і джаз - 7, класику і народну - 9. П'ять студентів слухають всяку музику, а інші не люблять ніякої музики. Скільки їх?

Розв’язання:

Відповідь: 29-7-2-1-5-3-4-4=3 (людини) - не люблять ніякої музики.

Задача 8 (9-11 кл) : В класі 38 чоловік. З них 16 грають у баскетбол, 17 - в хокей, 18 - у футбол. Захоплюються тільки двома видами спорту - баскетболом і хокеєм - четверо, баскетболом і футболом - троє, футболом і хокеєм - п'ять. Троє не захоплюються ні баскетболом, ні хокеєм, ні футболом. Скільки хлопців захоплюються одночасно трьома видами спорту? Скільки хлопців захоплюється лише одним з цих видів спорту?

Розв’язання: Нехай великий круг зображує усіх учнів класу, а три менші круги Б., Х. і Ф. зображують відповідно баскетболістів, хокеїстів і футболістів. Тоді фігура Z, загальна частина кругів Б, Х і Ф, зображує хлопців, що захоплюються трьома видами спорту. З розгляду кругів Ейлера видно що одним лише видом спорту баскетболом - займаються 16 - (4 + z + 3) = 9 - z; одним лише хокеєм 17 - (4 + z + 5) = 8 - z;

одним лише футболом 18 - (3 + z + 5) = 10 - z. Складаємо рівняння, користуючись тим, що клас розбився на окремі групи хлопців; кількості хлопців в кожній групі обведені на малюнку рамочками:

3 +(9-z) +(8-z) +(10-z) +4+3 +5 +z=38, z =2.

Таким чином, двоє хлопців захоплюються усіма трьома видами спорту. Складаючи числа 9 - z, 8 - z і 10 - z, де z = 2, знайдемо кількість хлопців, що захоплюються лише одним видом спорту : 21 людина. Відповідь: Двоє хлопців захоплюються усіма трьома видами спорту . Що захоплюються лише одним видом спорту - 21 людина.

Задача 9 (9-11 кл). На підлозі кімнати площею 24 м² лежать три килими. Площа одного з них - 10 м², іншого - 8 м², третього - 6 м². Кожні два килими перекриваються по площі 3 м², а площа ділянки підлоги, покритої усіма трьома килимами, складає 1 м². Знайдіть площу ділянки підлоги : а)покрытого першим і другим килимами, але не покритого третім килимом; б)покрытого тільки першим килимом; в)не покритого килимами.

Відповідь: а) 10м²; б)5 м²; в) 24-10-5-1=8 м²

Задача 10 (9-11кл) В класі 30 чоловік. 20 з них щодня користуються метро, 15 - автобусом, 23 - тролейбусом, 10 - і метро, і тролейбусом, 12 - і метро, і автобусом, 9 - і тролейбусом, і автобусом. Скільки чоловік щодня користується усіма трьома видами транспорту?

Розв’язання: Для вирішення знову скористаємося кругами Ейлера. Нехай х людина користується усіма трьома видами транспорту. Тоді користуються тільки метро і тролейбусом - (10 - х) людина, тільки автобусом і тролейбусом - (9 - х) людина, тільки метро і автобусом - (12 - х) людина. Знайдемо, скільки чоловік користується одним тільки метро:

20 - (12 - х) - (10 - х) - х = х - 2.

Аналогічно отримуємо: х - 6 - тільки автобусом і

х+4- тільки тролейбусом, оскільки всього 30 чоловік, складаємо рівняння:

х+(12-х)+(9-х)+(10-х)+(х+4)+(х-2)+(х-6)=30, звідси х=3.

Відповідь: 3 чоловіки.

Задача 11 (11 кл). Опишіть множини, що відповідають зафарбованій частині діаграми Ейлера-Венна

Розв’язання:

  1. Побудуємо

  1. Побудуємо

Відповідь:

Задачі для самостійного розв’язування:

Задача 1 (5-6 кл.) У 5 і 6 класах навчаються 38 хлопців. З них 20 школярів займаються в гуртку малювання, 19 - захоплюються робототехнікою, 13 - займаються волейболом. В гуртку малювання 10 хлопців з гуртка робототехніки і 7 спортсменів; в гуртку робототехніки 8 спортсменів; 4 художника відвідують гурток робототехніки, та волейбольну секцію. Скільки хлопців не займається в гуртку малювання, не захоплюється робототехнікою і не грає у волейбол?

Відповідь: 3 учні

Задача 2 (5-6 кл.) Зі 100 туристів, що приїхали, 75 знали німецьку мову і 83 знали французький. 10 чоловік не знали ні німецької, ні французької. Скільки туристів знали обидві мови?

Відповідь: 68 туристів знали обидві мови.

Задача 3 (5-6 кл.) З 38 учнів 28 відвідують хор і 17 лижну секцію. Скільки лижників відвідує хор, якщо в класі немає учнів, які не відвідують хор або лижну секцію ?

Відповідь: 7 чоловік. Хор не відвідують 10 чоловік, усі вони лижники. Лижників усього 17человек, означає 7 чоловік потрібно "узяти" з хору.

Задача 4 (7-8 кл.) В одному багатоквартирному будинку живуть 59 хлопців. З них 22 володіють англійською мовою, 29 – французькою мовою, 20 – німецькою мовою. Володіють англійською та французькою 10 хлопців, 8 англійською та німецькою, 6 – французькою та німецькою; а 3 володіють трьома мовами. Скільки хлопців не володіють жодною іноземною мовою?

Відповідь: 9 хлопців.

Задача 5 (7-8 кл.) В неділю 19 учнів нашого класу побували в планетарії, 10 - в цирку і 6 - в музеї. Планетарій і цирк відвідали 5 учнів; планетарій і музей - троє, в цирку і музеї була одна людина. Скільки учнів в нашому класі, якщо ніхто не встиг відвідати усі три місця, а троє взагалі нікуди не ходили?

Відповідь: 20 чоловік

Задача 6 (7-8 кл.) В дитячому таборі відпочивало 70 хлопців. З них 20 займаються в драмгуртку, 32 співають в хорі, 22 захоплюються спортом. У драмгуртку 10 хлопців з хору, в хорі 6 спортсменів, в драмгуртку 8 спортсменів, а 3 спортсмени відвідують і драмгурток, і хор. Скільки хлопців не співають в хорі, не захоплюються спортом і не займаються в драмгуртку? Скільки хлопців зайняті спортом?

Відповідь: 17 хлопців, 11 спортсменів.

Задача 7 (9-11 кл.) В дитячому таборі на першій зміні зібралися 132 школярі. З них 60 - спортсмени, 66 - артисти театру, 42 - юні натуралісти. Серед спортсменів 26 артистів театру, 20 юних натуралістів; серед артистів театру 12 натуралістів; а 9 спортсменів - і артисти театру, і юні натуралісти. Скільки школярів першої зміни не артисти театру, не юні натуралісти і не спортсмени?

Відповідь: 13 школярів.

Задача 8 (9-11 кл.) : Із співробітників фірми 16 побували у Франції, 10 - в Італії, 6 - в Англії. У Англії і Італії - п'ять, в Англії і Франції - 6, в усіх трьох країнах - 5 співробітників. Скільки чоловік відвідали і Італію, і Францію, якщо всього у фірмі працює 19 чоловік, і кожен їх них побував хоч би в одній з названих країн?

Відповідь: 7 співробітників

Задача 9 (9-11 кл) Одного разу учнів запитали, хто з них любить математику, кому подобається українська мова, а кому фізика. Виявилось, що з 36 учнів 2 не люблять ні математику, ні українську мову, ні фізику. Математика подобається 25 учням, українська мова 11, фізика - 17 учням; і математика, і українська - 6; і математика, і фізика - 10; українська мова і фізика - 4. Скільки чоловік люблять усі три предмети?

Відповідь: 1 учень любить три предмети.

Задача 10 (11 кл.) На діаграмі Ейлера-Венна 3-х множин А, В, С указати точки, що належать множині

Відповідь:

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
Метод кіл Ейлера є незамінним при вирішенні деяких завдань, а також спрощує розмірковування, дозволяє розширити математичний кругозір учнів, збагатити арсенал засобів, що використовуються в рішенні різноманітних завдань. Оволодіння методом вирішення завдань з допомогою кругів Ейлера формує у дитини здатність аналізувати, зіставляти, узагальнювати та об’єднувати свої знання для більш широкого застосування.
  • Додано
    02.03.2018
  • Розділ
    Математика
  • Клас
    5 Клас, 6 Клас, 7 Клас, 8 Клас, 9 Клас, 10 Клас, 11 Клас
  • Тип
    Інші методичні матеріали
  • Переглядів
    607
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    1
  • Номер матеріала
    GS715923
  • Вподобань
    0
Шкільна міжнародна дистанційна олімпіада «Всеосвiта Осінь – 2018»

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти