Інтерполювання за допомогою многочленів Стерлінга і Бесселя

Опис документу:
У цьому документі йде мова про застосування многочленів Стерлінга і Бесселя.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Інтерполювання за допомогою многочленів Стерлінга і Бесселя

Нехай функціональна залежність задана таблицею y0 = f(x0); …, y1= f(x1); …, yn = f(xn). В більшості випадків задача інтерполяції звучить так: знайти многочлен P(x) = Pn(x) степеня не вище n, значення якого в точках xi (= 0, 1 2,…, n) співпадають зі значеннями даної функції, тобто P(xi) = yi. Геометрично це означає, що потрібно знайти алгебраїчну криву виду яка проходить через задану систему точок Мi(xi, yi) (рис. 1). Многочлен Р(х) називається інтерполяційним многочленом. Точки xi (i = 0, 1, 2,…, n) називаються вузлами інтерполяції.

Рис. 1.

Для будь-якої непрервної функції f(x) сформульована задача має один розвязок. Дійсно для відшукання коефіцієнтів а0, а1, а2 ,…, аn отримаємо систему линійних рівнянь визначник якої відмінний від 0, якщо серед точок xi (i = 0, 1, 2,…, n) нема однакових. Розвязок системи можна записати багатьма способами. Найбільш використовуваним є запис інтерполяційного многочлена в формі Лагранжа або в формі Ньютона.

Интерполяційні многочлени Стірлінга і Бесселя

Взявши середнє арифметичне першої і другої інтерполяційних формул Гаусса

і , отримаємо формулу Стірлінга де .

Легко бачити, що при .

Крім формули Стірлінга, часто використовуються формула Бесселя. Для виводу цієї формули скористаємося другою інтерполяційною формулою Гаусса

.

Візьмемо рівностоящих вузлів інтерполювання з кроком , і нехай задані значення функції .

Якщо вибрати за початкові значення і , то, використовуючи вузлы , будемо мати:

.

Візьмемо тепер за початкові значення і і використаємо вузлы . Тоді , причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині попередньої формули зростуть на одиницю. Замінивши в правій частині цієї формули на і збільшивши індекси всіх різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу:

Взявши середнє арифметичне формул, після певних перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя

де .

Интерполяційна формула Бесселя представляє собою поліном, який співпадає з даною функцією в точках .

Завдання. Використовуючи інтерполяційні формули Стірлінга і Бесселя, обчислити наближені значення функції у(х) при даних значеннях аргумента

1). Х=1,60+0,006п

2). Х=1,725+0,002п

3). Х= 1,83+0,003п

4). Х= 2-0,013п

(п= 1, 2, 3, ..., 36).

Якщо функція у(х) задана таблично:

х

у

1

1,50

15,132

2

1,55

17,422

3

1,60

20,393

4

1,65

23,994

5

1,70

28,160

6

1,75

32,812

7

1,80

37,857

8

1,85

43,189

9

1,90

48,689

10

1,95

54,225

Приклад виконання завдання

Знайти значення функції у=f(x) при наступних значеннях аргументу: 1) х=0,192; 2) х=0,204.

х

у

1

0,12

6,278

2

0,14

6,404

3

0,16

6,487

4

0,18

6,505

5

0,20

6,436

6

0,22

6,259

7

0,24

5,954

Складемо діагональну таблицю скінченних різниць функції f(x):

n

х

у

-3

0.12

6,278

0.126

-0.043

-0.022

-2

0.14

6,405

0.83

-0.065

-0.022

-1

0.16

6,487

0.18

-0.087

-0.021

0

0.18

6,505

-0.69

-0.108

-0.020

1

0.20

6,436

-0.177

-0.128

2

0.22

6,259

-0.305

3

0.24

5.954

Таблиця закінчується різницями 3 порядку, так як вони є практично постійни-ми.

1)Для визначення y(0,192) візьмем X0=0,18; тоді t=(0,192-0,18)/0,02=0,6

Скористаємося формулою Бесселя:

Y(x)≈(Y0+Y-1)/2 +(t-1/2)*ΔY0+t*(t-1)/2!* (Δ²Y-1+ Δ²Y0)/2 +((t-1/2)*t*

*(t-1))/3!* Δ³Y-1

Знаходимо

Y(0,192)(6,505+6,436)/2+10,6-0,51*(-0,069)+0,6*(-0,4)/2*(-0,087-0,108)/2+

+((0,6-0,5)*0,6*(-0,4))/6*(-0,021) 6,475.

2) Для визначення y(0,204) візьмем X0=0,20; тоді t=(0,204-0,20)/0,02=0,2

Скористаємося формулою Стірлінга

Y(x) ≈ Y0+t* (ΔY-1+ ΔY0)/2+t²/2* Δ²Y-1+t*( t²-1)/6* (Δ³Y-2+ Δ²Yi-1)/2

Знаходимо

Y(0,204) 6,436+0,2*(-0,069-0,177)/2+(0,04/2)*(-0,108)+0,2*(0,04-1)/6*

*(-0,021-0,020)/2 6,410.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
4
дн.
0
4
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!