Інтерполяційний поліном Ньютона для нерівновіддалених вузлів

Опис документу:
У цьому докумнті йде мова про інтерполяційний поліном Ньютона для нерівновіддалених вузлів.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Інтерполяційний поліном Ньютона для нерівновіддалених вузлів

Вивід формули Ньютона для нерівних проміжків

Нехай х0, x1,..., хn-вузли інтерполяції й Lk(x) — інтерполяційний багаточлен Лагранжа, побудований для цієї функції по вузлах х0, х1, , xk. Тоді

Ln(х)=L0(х) + [L1 (х) – L0 (х)] +L2(x) L1(x)] + ...+ [Ln (х) – Ln-1 (х)] (5)

Розглянемо окрему різницю, що міститься в правій частині,

Lk(x)-Lk-1(x). Це буде багаточлен ступеня к. Він перетворюється в нуль у точках х0, х1, ...,xk-1.

Тому Lk(x)-Lk-1(x) = A(x-x0)- х1) ... - хк-1),— постійна). Для визначення величини А покладемо х = xk. При цьому одержимо

F(xk)-Lk-1(xk)=A (xk-x0)k - х1) ... k - хк-1)

Отже,

Звідси

(6)

Ця форма запису інтерполяційного багаточлена Лагранжа й зветься інтерполяційного багаточлена Ньютона для нерівних проміжків.

Додавання одного або декількох вузлів не приводить до повторення всієї проробленої роботи заново, як це було при обчисленнях по формулі Лагранжа.

За допомогою інтерполяційної формули Ньютона можна одержати подання розділених різниць у вигляді відношення визначників. Коефіцієнти при φi(x) у функції рівні де отримують із шляхом заміни і-го стовпця стовпцем f (хі )

Коефіцієнт же при хп в інтерполяційній формулі Ньютона для нерівних проміжків дорівнює f(x0, x1 ..., хп).

Залишковий член формули Ньютона.

Залишковий член формули Ньютона

Зокрема, якщо f(x) має похідну порядку n+1, то одержимо:

. (12)

де — деяка точка, що належить найменшому проміжку, що містить всі точки х0, x1 . . ., хп, х.

Розділена різниця f(x; х0; ...; хп), що входить у вираз залишкового члена, може бути знайдена тільки в тому випадку, коли нам відомо f(x). Але тоді немає великого змісту використовувати інтерполяційну формулу Ньютона. Однак у деяких випадках останню форму залишкового члена можна використовувати для фактичної оцінки погрішності, що дається інтерполяційною формулою Ньютона.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
4
дн.
1
2
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!