Основні властивості невизначеного інтеграла
1. (∫f(x)dx)'=f(x)
2. ∫F'(x)dx=F(x)+C
3. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx, якщо k≠0.
4. ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
Доведення властивостей невизначеного інтеграла
Позначимо первісну функції f(x) як F(x), тобто F'(x)=f(x), або ∫f(x)dx=F(x)+C. Так само G'(x)=g(x).
Доведення першої властивості:
(∫f(x)dx)'=(F(x)+C)'=F'(x)=f(x)
Доведення другої властивості:
∫F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C
Доведення третьої властивості:
∫kf(x)dx=∫kF'(x)dx=∫(kF(x))'dx=kF(x)+C=k(F(x)+C)=k∫f(x)dx
Тут було використано те, що при діленні сталої на ненульову сталу в результаті також отримуємо сталу.
Доведення четвертої властивості:
∫(f(x)±g(x))dx=∫(F'(x)±g(x))dx=∫(F(x)±G(x))'dx=F(x)±G(x)+C==(F(x)+Cf)±(G(x)+Cg)=∫f(x)dx±∫g(x)dx
Тут було використано те, що додаючи або віднімаючи дві сталі, отримуємо сталу.
