Коло, описане навколо трикутника
Коло називається описаним навколо трикутника, якщо всі вершини трикутника розташовані на колі.
Його центр рівновіддалений від усіх вершин, тобто повинен розміщуватися в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
Отже, навколо будь-якого трикутника можна описати коло, оскільки серединні перпендикуляри до сторін перетинаються в одній точці.
Для гострокутного трикутника центр кола розташований у трикутнику.
Інша ситуація з прямокутним і тупокутним трикутниками.
Коло, вписане в трикутник
Коло називається вписаним у трикутник, якщо всі сторони трикутника дотикаються до кола.
Його центр рівновіддалений від усіх сторін, тобто повинен розміщуватися в точці перетину бісектрис трикутника.
Отже, в будь-який трикутник можна вписати коло, оскільки бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
Оскільки бісектриси кутів трикутника завжди перетинаються всередині трикутника, то для всіх трикутників центр вписаного кола розташовується в трикутниках.
Формули (рівносторонній трикутник)
Зверни увагу!
У рівностороннього трикутника збігаються бісектриси, медіани й висоти, тобто ці відрізки є також серединними перпендикулярами. Це означає, що центри вписаного та описаного кіл збігаються.
Радіус описаного кола
R=23h, тому R=a3–√3.
Радіус вписаного кола
r=13h, де h — висота трикутника.
Якщо дано сторону трикутника a, тоді h=a3–√2.
Отже, r=a3–√6.
Формули (прямокутний трикутник)
Радіус описаного кола
R=12c, де c — гіпотенуза.
Радіус вписаного кола
r=SΔp, де p — півпериметр.
Формули (довільний трикутник)
Радіус описаного кола
R=a⋅b⋅c4⋅SΔ
R=a2sinα, де α — кут, протилежний стороні a.
Якщо SΔ=abc4R,то R=abc4SΔ;якщо SΔ=p⋅r,то r=SΔp
Радіус вписаного кола
r=SΔp, де p — півпериметр.
