Графічне інтегрування

Опис документу:
У цьому документі йде мова про метод графічного інтегрування, випадки його застосування та використання.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Графічне інтегрування

Наближене обчислення інтеграла методом графічного інтегрування застосовується тоді, коли підінтегральна функція задана графічно. Нехай на [a; b] задана неперервна крива, рівняння якої y=f(x). На підставі теореми про середнє значення для певного інтеграла існує така точка ξ [a; b], що . Геометрично це означає, що площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює площі прямокутника з основою [a; b] і висотою f(ξ). Розглянемо криволінійну трапецію (рис. 1) і проведемо горизонтальну пряму приблизно так, щоб одержати необхідний прямокутник. Абсцисами точок перетину прямої і кривої будуть ті точки ξ, про які згадується в теоремі про середнє значення. Відкладемо на осі Ох ліворуч від початку координат одиничний відрізок ОР і продовжимо проведену горизонтальну пряму до перетину віссю ординат (якщо а<0, то краще спочатку ліворуч від а провести вертикальну пряму й при подальших діях замінити вісь Oy цією прямою). Нехай пряма перетне вісь Oy у точці Q, тоді OQ= f(ξ). З'єднаємо точки Р и Q і із точки а проведемо пряму аМ, паралельну РQ, до перетинання в точці М з вертикаллю, проведеної із точки b. Покажемо, що b= , тобто величина побудованого відрізка чисельно дорівнює значенню певного інтеграла. Дійсно, ∆ PQO ~ ∆ aMb. Звідси

, bM== f(ξ)(b - a)= .

Зауваження. На рис. 1 функція f(x)>0. Однак отриманий результат має місце для будь-якої неперервної на [a; b] функції y=f(x). Наприклад, на рис. 2 функція f(x) міняє знак на [a; b]. Заштриховані площі приблизно рівні. Оскільки площа частини криволінійної трапеції, розташованої нижче осі Ох, більша, то буде від’ємний. Провівши попередні побудови, одержуємо відрізок b, величина якого від’ємна, і тут b= .

На підставі проведеної побудови і здійснюється графічне інтегрування. Метод графічного інтегрування проілюстрований далі на прикладі.

Зразок виконання завдання.

Завдання. Функція представлена графічно на відрізку [0; b]=[0; 12]. Побудувати графік її інтеграла F(x)=, 0 ≤ x ≤ b. Визначити за графіком величину .

Розв’язання. Розділимо відрізок [0; 12] на часткові відрізки (див. рис. 3). У даному прикладі взяті 6 часткових відрізків і точки поділу х=0, х, х, х, х, х, х=12 відзначені на рис. 3. Відкладаємо від точки О ліворуч по осі Ох одиничний відрізок. Визначаємо середину часткового відрізка [х; х ] і ординату графіка функції f(x) у цій точці проектуємо на вісь Оу. Одержимо точку Q . Проводимо РQ , а потім ОМ паралельно РQ. При цьому

хМ .

Визначаємо середину часткового відрізка [х; х]. Ордината графіка в цій точці проектується на відрізок ОQ. З'єднуємо Р з Q і будуємо ММ ||РQ. Тоді хМ.

Відзначаємо середину відрізка [х ; х ], потім ОQ і проводимо ММ ||РQ. Маємо хМ і т.д., поки не одержимо точку М. Ламана ОМММ — графік первісної для функції, представленої на рис. 3.

Наближене значення дорівнює ординаті хМ. За графіком знаходимо х М ≈7,8.

Завдання для самостійної роботи

Функція задана графічно (варіанти завдань взяти з роботи «Графічне диференціювання») на відрізку [0; b]. Побудувати графік її інтеграла F(x)=, 0 ≤ x ≤ b. Визначити за графіком величину .

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
8
дн.
0
3
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!