Формула трапецій

Опис документу:
У цьому документі йде мова про використання формули трапецій при розв'язування рівнянь.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Формула трапецій

Для обчислення наближеного значення підінтегральну функцію , яка двічі неперервно диференційована на відрізку , замінюють інтерполяційним многочленом Лагранжа, що проходить через точки і ;

,

Проінтегрувавши цю рівність по x у межах від до , дістанемо

Відкинувши в цій рівності залишковий член

(12)

дістанемо квадратурну формулу

(13)

Якщо неперервна невід’ємна функція на відрізку , то наближену рівність (13) можна геометрично тлумачити так: за наближене значення криволінійної трапеції ABCD (рис. 2) береться площа заштрихованої трапеції ABCD. Тому формула дістала назву формули трапеції.

Якщо неперервна на відрізку , то, застосувавши узагальнену теорему про середнє до інтеграла (12), знайдемо залишковий член формули трапецій у вигляді

, (14)

Звідси випливає така оцінка для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою трапецій

, (15)

Щоб обчислити наближене значення інтеграла , де неперервна разом з похідними першого і другого порядків на , з достатньою точністю, відрізок ділять на n рівних відрізків завдовжки ідо кожного з відрізків , застосовують формулу трапецій із залишковим членом (14). Тоді

, .

Відкинувши в цій рівності залишковий член , дістають квадратурну формулу

, , (16)

яку називають узагальненою формулою трапецій.

Оскільки неперервна на відрізку , то існує точка така, що і залишковий член узагальненої формули трапецій набирає остаточно вигляду

, . (17)

З (17) випливає, що узагальнена формула трапецій точна для лінійної функції дорівнює нулю. Обчислити похибку чисельного інтегрування за узагальненою формулою трапецій не можна через те, що точка формули (17) невідома. Але легко оцінити абсолютну похибку наближеного інтегрування за формулою (16)

, (18)

де , .

Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з наперед заданою точністю , то досить відрізок поділити на n рівних частин так, щоб виконувалася нерівність

, (19)

або, що те саме,

.

Приклад 2. Обчислимо наближене значення інтеграла (11) за формулою (16), якщо , і оцінимо повну абсолютну похибку чисельного інтегрування за формулою (*).

Використавши таблицю 1 за формулою 16 знаходимо . За формулою (18) маємо: , похибка остаточного округлення , а неусувна похибка, як і у випадку формул прямокутників,

.

Тому за формулою (*) дістанемо таку оцінку для повної абсолютної величини похибки чисельного інтегрування за формулою (16):

.

А це означає, що наближення має дві правильні значущі десяткові цифри і тому, зберігаючи одну сумнівну цифру, маємо:

.

З оцінки випливає, що найбільший внесок у залишкового члена (похибки методу) . Тому, для визначення кількості відрізків n, на яку треба поділити відрізок інтегрування , щоб забезпечити обчислення наближеного значення інтеграла з точністю , досить скористатися нерівністю (19), а всі проміжні обчислення виконувати з точністю, більшою за . Так, для інтеграла (19), якщо , відрізок треба поділити не менш як на 62 рівні частини. Справді, за формулою (19) маємо

.

Обчисливши значення інтеграла (19) за формулою трапецій (16), коли що відповідає значенням матимемо:

Отже, має три точних значущих десяткових знаки, і по чотири. Звідси видно, що розбиття відрізка як на 50, так і на 100 частин дає чотири правильних значущих десяткових цифри. А це означає, що обчислене за формулою (19) значення завищено приблизно на 20 %.

Правило Рунне і екстраполяція за Річардсоном дають зручний спосіб практичної оцінки залишкового члена (похибки методу) і уточнення наближеного значення інтеграла I.

Примітка 1. Квадратурна сума узагальненої формули трапецій дорівнює півсумі квадратурних сум узагальнених формул лівих і правих прямокутників. Справді,

,

.

Звідки

Саме тому для наближеного значення інтеграла (19) одержано однакові значення за формулою (16).

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
1
дн.
2
3
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!