і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Взяти участь
Поспішайте взяти участь у вебінарі Арт-терапія в педагогічній практиці. Емоційний розвиток особистості засобами арт-терапії
До початку вебінару залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

Формула прямокутників та трапеції

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Формула прямокутників

Наближене значення інтеграла , де f неперервна на , можна знайти, якщо функцію f замінити інтерполяційним многочленом нульового степеня, тобто для всіх . Тоді дістанемо наближену рівність

(1)

Якщо і неперервна на , то наближену рівність (1) можна тлумачити геометрично так: за наближене значення площі криволінійної трапеції ABCD (рис. 1), обмеженої знизу віссю абсцис, зверху графіком функції f, а з боків прямими і , береться значення площі прямокутника MNCD. Тому формула (1) дістала назву формули прямокутників.

Якщо або , або , то (1) називають відповідно формулою лівих або правих, або середніх прямокутників.

Знайдемо залишкові члени формул прямокутників, припустивши, що підінтегральна функція f на має неперервну похідну першого порядку (для випадку формул лівих і правих прямокутників) і неперервну похідну другого порядку (для випадку формули середніх прямокутників).

Про інтегрувавши обидві частини формули Лагранжа

по x в межах до , знайдемо

Звідси залишковий член формули лівих прямокутників

Але на відрізку множник зберігає знак, а функція неперервна, тому за узагальненою теоремою про середнє маємо

(2)

Аналогічно, про інтегрувавши по х у межах від до обидві частини формули Лагранжа

і застосувавши до інтеграла узагальнену формулу про середнє, для залишкового члена формули правих прямокутників знайдемо

(3)

Якщо формулу Тейлора

де – деяка проміжна точка, що лежить між і і залежить від x, проінтегрувати по x у межах від до , то дістанемо

Отже залишковий член формули середніх прямокутників

Застосувавши до цього інтеграла узагальнену формулу про середнє, маємо

. (4)

Узагальнені формули прямокутників. Нехай тепер неперервну функцію f задано на великому проміжку а бажано обчислити з більшою точністю. Для цього відрізок на n рівних відрізків завдовжки точками

і до кожного з відрізків застосовують формулу (1). Дістають

де С – довільна точка з проміжку .

Наближену рівність

(5)

де – крок інтегрування, називають узагальненою формулою прямокутників. Поклавши в (5) і можна вивести узагальнені формули відповідно лівих, правих і середніх прямокутників.

Обчислимо тепер залишкові члени узагальнених формул прямокутників, які дорівнюватимуть сумі залишкових членів формул прямокутників для кожного з проміжків .

Для залишкового члена узагальненої формули лівих прямокутників відповідно до формули (3) знаходимо

, .

Але неперервна на , тому існує точка така, що середнє арифметичне

.

Тому залишковий член узагальненої формули лівих прямокутників остаточно набирає вигляду

, . (6)

Аналогічно залишковий член узагальненої формули правих прямокутників

, , (7)

а залишковий член узагальненої формули середніх прямокутників

, . (8)

Оскільки похідна від сталої і друга похідна від лінійної функції дорівнюють нулю, то з формул (6) – (8) випливає, що узагальнені формули лівих і правих прямокутників точні для сталої функції, а узагальнена формула середніх прямокутників точна для лінійної функції.

Обчислити значення залишкових членів (6)(8) не можна, бо точки невідомі. Але для них справедливі такі оцінки

(9)

(10)

Приклад 1. Обчислити інтеграл

(11)

за формулами прямокутників, поділивши відрізок інтегрування на n=10 рівних частин, і оцінити похибку обчислень.

Розв’язання. Крок інтегрування Складаємо таблиці значень підінтегральної функції (табл. 1 і 2)

Таблиця 1

k

k

0

0

0

6

0,6

0,4952014

1

0,1

0,0995004

7

0,7

0,5353896

2

0,2

0,1960133

8

0,8

0,5573654

3

0,3

0,2866010

9

0,9

0,5594490

4

0,4

0,3684244

10

1,0

0,5403023

5

0,5

0,4387913

Тоді за узагальненою формулою лівих прямокутників (5) з таб. 1 маємо:

і за узагальненою формулою правих прямокутників:

Таблиця 2

k

k

0

0,05

0,0499375

5

0,55

0,4688885

1

0,15

0,1483157

6

0,65

0,5174545

2

0,25

0,2422281

7

0,75

0,5487667

3

0,35

0,3287805

8

0,87

0,5609857

4

0,45

0,4052012

9

0,95

0,5525989

З таблиці 2 за формулою середніх прямокутників дістанемо:

.

Знайдемо тепер повну похибку чисельного інтегрування за цими квадратурними формулами, користуючись формулою (*).

Похибки методу оцінюємо за формулами (9) і (10). Для цього знайдемо похідні

, .

Оскільки для всіх , то спадає на , а тому найбільше значення має в точці . Отже,

Неусувна похибка для всіх трьох формул прямокутників дорівнює

Значення підінтегральної функції у вузлах обчислювали з точністю . Тому гранична абсолютна похибка

Похибка остаточного округлення дорівнює для лівих прямокутників , для правих і середніх .

З повної абсолютної похибки чисельного інтегрування , яку подано в таблиці 3, видно, що наближені значення інтеграла (11), які обчислено за формулами лівих і правих прямокутників, мають одну правильну значущу цифру, а середніх прямокутників – дві. В останньому стовпці наведено значення модуля різниці між точним і наближеним значеннями інтеграла, яке вдвічі менше за повну абсолютну похибку . З поданих у таблиці 3 видно, що

Таблиця 3

Узагальнена

формула

прямокутників

лівих

0,05

0,05000047

0,0280997

правих

0,05

0,05000024

0,0259305

середніх

0,00095833

0,00095865

0,0005425

основною у повній абсолютній похибці чисельного інтегрування є похибка методу . Тому надалі при визначенні кроку інтегрування , який гарантував би обчислення наближеного значення інтеграла із наперед заданою точністю, досить виходити з оцінки залишкового члена , і всі проміжні обчислення виконувати з більшою, ніж є, точністю, тобто з однією, а краще з двома запасними цифрами.

Формула трапецій

Для обчислення наближеного значення підінтегральну функцію , яка двічі неперервно диференційована на відрізку , замінюють інтерполяційним многочленом Лагранжа, що проходить через точки і ;

,

Проінтегрувавши цю рівність по x у межах від до , дістанемо

Відкинувши в цій рівності залишковий член

(12)

дістанемо квадратурну формулу

(13)

Якщо неперервна невід’ємна функція на відрізку , то наближену рівність (13) можна геометрично тлумачити так: за наближене значення криволінійної трапеції ABCD (рис. 2) береться площа заштрихованої трапеції ABCD. Тому формула дістала назву формули трапеції.

Якщо неперервна на відрізку , то, застосувавши узагальнену теорему про середнє до інтеграла (12), знайдемо залишковий член формули трапецій у вигляді

, (14)

Звідси випливає така оцінка для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою трапецій

, (15)

Щоб обчислити наближене значення інтеграла , де неперервна разом з похідними першого і другого порядків на , з достатньою точністю, відрізок ділять на n рівних відрізків завдовжки ідо кожного з відрізків , застосовують формулу трапецій із залишковим членом (14). Тоді

, .

Відкинувши в цій рівності залишковий член , дістають квадратурну формулу

, , (16)

яку називають узагальненою формулою трапецій.

Оскільки неперервна на відрізку , то існує точка така, що і залишковий член узагальненої формули трапецій набирає остаточно вигляду

, . (17)

З (17) випливає, що узагальнена формула трапецій точна для лінійної функції дорівнює нулю. Обчислити похибку чисельного інтегрування за узагальненою формулою трапецій не можна через те, що точка формули (17) невідома. Але легко оцінити абсолютну похибку наближеного інтегрування за формулою (16)

, (18)

де , .

Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з наперед заданою точністю , то досить відрізок поділити на n рівних частин так, щоб виконувалася нерівність

, (19)

або, що те саме,

.

Приклад 2. Обчислимо наближене значення інтеграла (11) за формулою (16), якщо , і оцінимо повну абсолютну похибку чисельного інтегрування за формулою (*).

Використавши таблицю 1 за формулою 16 знаходимо . За формулою (18) маємо: , похибка остаточного округлення , а неусувна похибка, як і у випадку формул прямокутників,

.

Тому за формулою (*) дістанемо таку оцінку для повної абсолютної величини похибки чисельного інтегрування за формулою (16):

.

А це означає, що наближення має дві правильні значущі десяткові цифри і тому, зберігаючи одну сумнівну цифру, маємо:

.

З оцінки випливає, що найбільший внесок у залишкового члена (похибки методу) . Тому, для визначення кількості відрізків n, на яку треба поділити відрізок інтегрування , щоб забезпечити обчислення наближеного значення інтеграла з точністю , досить скористатися нерівністю (19), а всі проміжні обчислення виконувати з точністю, більшою за . Так, для інтеграла (19), якщо , відрізок треба поділити не менш як на 62 рівні частини. Справді, за формулою (19) маємо

.

Обчисливши значення інтеграла (19) за формулою трапецій (16), коли що відповідає значенням матимемо:

Отже, має три точних значущих десяткових знаки, і по чотири. Звідси видно, що розбиття відрізка як на 50, так і на 100 частин дає чотири правильних значущих десяткових цифри. А це означає, що обчислене за формулою (19) значення завищено приблизно на 20 %.

Правило Рунне і екстраполяція за Річардсоном дають зручний спосіб практичної оцінки залишкового члена (похибки методу) і уточнення наближеного значення інтеграла I.

Примітка 1. Квадратурна сума узагальненої формули трапецій дорівнює півсумі квадратурних сум узагальнених формул лівих і правих прямокутників. Справді,

,

.

Звідки

Саме тому для наближеного значення інтеграла (19) одержано однакові значення за формулою (16).

Завдання 1

1. Обчислити інтеграл по формулах лівих і правих прямокутників при , оцінюючи точність за допомогою порівняння отриманих результатів.

2. Обчислити інтеграл по формулі середніх прямокутників, користуючись для оцінки похибки подвійний розрахунок при

1. 1)

2)

2. 1)

2)

3. 1)

2)

4. 1)

2)

5. 1)

2)

6. 1)

2)

7. 1)

2)

8. 1)

2)

9. 1)

2)

10. 1)

2)

11. 1)

2)

12. 1)

2)

13. 1)

2)

14. 1)

2)

15. 1)

2)

16. 1)

2)

17. 1)

2)

18. 1)

2)

19. 1)

2)

20. 1)

2)

21. 1)

2)

22. 1)

2)

23. 1)

2)

24. 1)

2)

25. 1)

2)

26. 1)

2)

27. 1)

2)

28. 1)

2)

29. 1)

2)

30. 1)

2)

31. 1)

2)

32. 1)

2)

33. 1)

2)

34. 1)

2)

35. 1)

2)

36. 1) 2)

Завдання 2.

Обчислити інтеграл по формулі трапеції з трьома десятинними знаками.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

№21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про використання методів лівих, правих та середніх прямокутників та методу трапеції.
  • Додано
    14.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    274
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    WS831960
  • Вподобань
    0
Курс:«Психологічні особливості навчання вчителів у системі формальної і неформальної освіти»
Швень Ярослава Леонідівна
24 години
1000 грн
490 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь