Формула прямокутників

Опис документу:
У цьому документі йде мова про використання формули прямокутників.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Формула прямокутників

Наближене значення інтеграла , де f неперервна на , можна знайти, якщо функцію f замінити інтерполяційним многочленом нульового степеня, тобто для всіх . Тоді дістанемо наближену рівність

(1)

Якщо і неперервна на , то наближену рівність (1) можна тлумачити геометрично так: за наближене значення площі криволінійної трапеції ABCD (рис. 1), обмеженої знизу віссю абсцис, зверху графіком функції f, а з боків прямими і , береться значення площі прямокутника MNCD. Тому формула (1) дістала назву формули прямокутників.

Якщо або , або , то (1) називають відповідно формулою лівих або правих, або середніх прямокутників.

Знайдемо залишкові члени формул прямокутників, припустивши, що підінтегральна функція f на має неперервну похідну першого порядку (для випадку формул лівих і правих прямокутників) і неперервну похідну другого порядку (для випадку формули середніх прямокутників).

Про інтегрувавши обидві частини формули Лагранжа

по x в межах до , знайдемо

Звідси залишковий член формули лівих прямокутників

Але на відрізку множник зберігає знак, а функція неперервна, тому за узагальненою теоремою про середнє маємо

(2)

Аналогічно, про інтегрувавши по х у межах від до обидві частини формули Лагранжа

і застосувавши до інтеграла узагальнену формулу про середнє, для залишкового члена формули правих прямокутників знайдемо

(3)

Якщо формулу Тейлора

де – деяка проміжна точка, що лежить між і і залежить від x, проінтегрувати по x у межах від до , то дістанемо

Отже залишковий член формули середніх прямокутників

Застосувавши до цього інтеграла узагальнену формулу про середнє, маємо

. (4)

Узагальнені формули прямокутників. Нехай тепер неперервну функцію f задано на великому проміжку а бажано обчислити з більшою точністю. Для цього відрізок на n рівних відрізків завдовжки точками

і до кожного з відрізків застосовують формулу (1). Дістають

де С – довільна точка з проміжку .

Наближену рівність

(5)

де – крок інтегрування, називають узагальненою формулою прямокутників. Поклавши в (5) і можна вивести узагальнені формули відповідно лівих, правих і середніх прямокутників.

Обчислимо тепер залишкові члени узагальнених формул прямокутників, які дорівнюватимуть сумі залишкових членів формул прямокутників для кожного з проміжків .

Для залишкового члена узагальненої формули лівих прямокутників відповідно до формули (3) знаходимо

, .

Але неперервна на , тому існує точка така, що середнє арифметичне

.

Тому залишковий член узагальненої формули лівих прямокутників остаточно набирає вигляду

, . (6)

Аналогічно залишковий член узагальненої формули правих прямокутників

, , (7)

а залишковий член узагальненої формули середніх прямокутників

, . (8)

Оскільки похідна від сталої і друга похідна від лінійної функції дорівнюють нулю, то з формул (6) – (8) випливає, що узагальнені формули лівих і правих прямокутників точні для сталої функції, а узагальнена формула середніх прямокутників точна для лінійної функції.

Обчислити значення залишкових членів (6)(8) не можна, бо точки невідомі. Але для них справедливі такі оцінки

(9)

(10)

Приклад 1. Обчислити інтеграл

(11)

за формулами прямокутників, поділивши відрізок інтегрування на n=10 рівних частин, і оцінити похибку обчислень.

Розв’язання. Крок інтегрування Складаємо таблиці значень підінтегральної функції (табл. 1 і 2)

Таблиця 1

k

k

0

0

0

6

0,6

0,4952014

1

0,1

0,0995004

7

0,7

0,5353896

2

0,2

0,1960133

8

0,8

0,5573654

3

0,3

0,2866010

9

0,9

0,5594490

4

0,4

0,3684244

10

1,0

0,5403023

5

0,5

0,4387913

Тоді за узагальненою формулою лівих прямокутників (5) з таб. 1 маємо:

і за узагальненою формулою правих прямокутників:

Таблиця 2

k

k

0

0,05

0,0499375

5

0,55

0,4688885

1

0,15

0,1483157

6

0,65

0,5174545

2

0,25

0,2422281

7

0,75

0,5487667

3

0,35

0,3287805

8

0,87

0,5609857

4

0,45

0,4052012

9

0,95

0,5525989

З таблиці 2 за формулою середніх прямокутників дістанемо:

.

Знайдемо тепер повну похибку чисельного інтегрування за цими квадратурними формулами, користуючись формулою (*).

Похибки методу оцінюємо за формулами (9) і (10). Для цього знайдемо похідні

, .

Оскільки для всіх , то спадає на , а тому найбільше значення має в точці . Отже,

Неусувна похибка для всіх трьох формул прямокутників дорівнює

Значення підінтегральної функції у вузлах обчислювали з точністю . Тому гранична абсолютна похибка

Похибка остаточного округлення дорівнює для лівих прямокутників , для правих і середніх .

З повної абсолютної похибки чисельного інтегрування , яку подано в таблиці 3, видно, що наближені значення інтеграла (11), які обчислено за формулами лівих і правих прямокутників, мають одну правильну значущу цифру, а середніх прямокутників – дві. В останньому стовпці наведено значення модуля різниці між точним і наближеним значеннями інтеграла, яке вдвічі менше за повну абсолютну похибку . З поданих у таблиці 3 видно, що

Таблиця 3

Узагальнена

формула

прямокутників

лівих

0,05

0,05000047

0,0280997

правих

0,05

0,05000024

0,0259305

середніх

0,00095833

0,00095865

0,0005425

основною у повній абсолютній похибці чисельного інтегрування є похибка методу . Тому надалі при визначенні кроку інтегрування , який гарантував би обчислення наближеного значення інтеграла із наперед заданою точністю, досить виходити з оцінки залишкового члена , і всі проміжні обчислення виконувати з більшою, ніж є, точністю, тобто з однією, а краще з двома запасними цифрами.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
4
дн.
1
4
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!