і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Взяти участь
Поспішайте взяти участь у вебінарі Як навчити учнів розуміти мову музичного мистецтва?
До початку вебінару залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

Формула Ньютона для рівних проміжків

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Поняття про скінченні різниці різних порядків

Побудова інтерполяційних формул значно спрощується, коли вузли інтерполяції — рівновіддалені, тобто крок інтерполяції

Перш ніж перейти до виведення інтерполяційних формул для рівновіддалених вузлів інтерполяції, розглянемо поняття скінченних різниць.

Нехай функцію задано своїми значеннями , , причому ; де .

Назвемо скінченною різницею першого порядку різницю між значеннями функції у сусідніх вузлах інтерполяції:

; ; .

Зі скінченних різниць першого порядку можна одержати скінченні різниці другого порядку:

; ;

Скінченні різниці п-го порядку визначаються формулами

; ;

Різниці різних порядків можуть бути виражені безпосередньо через значення функції:

;

;

.

Неважко довести, що для будь-якого т

. (1)

Скінченні різниці різних порядків зручно розташовувати у вигляді таблиць: горизонтальної (ліворуч і праворуч)

х

у

х0

х1

х2

х3

у0

у1

у2

у3

х

у

х0

х1

х2

х3

у0

у1

у2

у3

і діагональної:

х

у

х0

х1

х2

х3

у0

у1

у2

у3

Перша інтерполяційна формула Ньютона

для рівновіддалених вузлів інтерполяції

Шукаємо багаточлен степеня п у вигляді

= а0 + а1(х - х0) + а2(х - х0) (х – х1) + а3(х - х0) (х – х1) (х – х2) + ... +

+ап(х - х0) (х – х1) ... (х – хп-1). (2)

де х0, х1, ..., хп — задані значення аргументу х, причому хі – хі-1=h = соnst

(і = 1, 2, ..., п), коефіцієнти а0, ..., ап нам невідомі. Визначимо їх, виходячи з початкових умов .

Покладемо у формулі (2) х = х0. Тоді Рп(х0) = а0. Однак, за початкових умов Рп(х0) = у0. Отже, а0 = у0.

Для визначення а1 позначаємо в (2) х = х1, після чого отримаємо

Рп(х1) = а0 + а1(х - х0).

Ураховуючи, що Рп(х1) = у1, а0 = х0, х1 –х0 = h, можемо записати у1 = у0 + а1h, звідки . Однак — скінченна різниця першого порядку, отже, .

Далі, вважаючи х = х2, дістанемо

.

Оскільки , , , , , запишемо:

,

звідси

.

Однак , тому

.

Отже,

.

Аналогічніші подальші обчислення (із урахуванням формули 1), що виражає різниці різних порядків через значення функції) дозволять записати інші коефіцієнти:

, .

Підставивши знайдені вирази коефіцієнтів у формулу (2), одержимо:

. (3)

Це — перша інтерполяційна формула Ньютона.

Її можна записати дещо інакше, зручніше для практичного використання. Позначимо

.

Тоді

;

і формула (4.12) набуває вигляду

(4)

Формулу (4.13) доцільно використовувати для інтерполювання (екстраполювання) функції в околі початкового значення х0, де q — мале за абсолютною величиною.

Друга інтерполяційна формула Ньютона

для рівновіддалених вузлів інтерполяції

Отримаємо формулу, якою буде зручно користуватися для інтерполювання (екстраполювання) функції у кінці таблиці.

Запишемо шуканий інтерполяційний багаточлен у вигляді

. (5)

Коефіцієнти а0, а1, ..., ап визначаємо з початкової умови: (і = 0, 1, 2, ... п).

Покладемо в (5) х = хп. Тоді а0 = уп.

Тепер нехай х = хп-1. Ураховуючи, що , , , можемо записати:

Звідси

.

Далі, вважаючи в (5) х = хп-2 і заміняючи знайдені коефіцієнти а0, а1 їхнім значенням, матимемо:

.

Продовжуючи аналогічні обчислення, отримаємо вирази для інших коефіцієнтів:

.

Після підстановки в (5) знайдених значень коефіцієнтів формула матиме вигляд

. (6)

Це — друга інтерполяційна формула Ньютона. Запишемо її у вигляді, зручнішому для практичного використання. Позначивши , дістанемо:

Після підстановок цих значень у (6) формула набуває вигляду

. (7)

Оцінки похибок інтерполяційних формул Лагранжа і Ньютона

Про похибку, що виникає у разі заміни функції її інтерполяційним багаточленом , можна судити за величиною залишкового члена

.

Якщо для функції f(х) відомий аналітичний вираз і можна знайти її похідні до (п+1)-го порядку включно в розглянутій області зміни х, що містить вузли інтерполяції х0, х1, ..., хп, то величину залишкового члена для інтерполяційної формули Лагранжа (4.7) визначають у такий спосіб:

, (8)

де залежить від х і лежить усередині відрізка .

Позначивши через

,

отримаємо оцінку для абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа:

. (9)

Якщо вузли інтерполяції х0, х1, ..., хп рівновіддалені, причому хі+1-хіh (і = 0, 1, 2, ..., п-1), то, вважаючи

на підставі формули (8) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:

, (10)

де — деяке проміжне значення між вузлами інтерполяції х0, х1, ..., хп і розглянутою точкою х.

Аналогічно, вважаючи у формулі (8)

отримаємо залишковий член другої інтерполяційної формули Ньютона:

. (11)

У практичних розрахунках аналітичний вигляд функції не завжди відомий. Тоді, припускаючи, що в таблиці скінченних різниць для функції у=f(х) різниці (п+1)-го порядку у майже постійні і h досить мале, а також ураховуючи, що

,

наближено можна вважати:

.

У цьому разі залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона дорівнює:

,

а для другої інтерполяційної формули Ньютона

.

Завдання. Використовуючи першу або другу інтерполяційну формулу Ньютона, обчислити значення функції при заданих значеннях аргументу. При побудові таблиць різниць контролювати обчислення.

Таблиця 1 Таблиця 2

х

у

1

1,415

0,88855

2

1,420

0,88959

3

1,425

0,89063

4

1,430

0,89166

5

1,435

0,89268

6

1,440

0,89369

7

1,445

0,89470

8

1,450

0,89569

9

1,455

0,89667

10

1,460

0,89765

11

1,465

0,89861

варіант

Значення аргументу

х1

х2

х3

х4

1

1,4161

1,4612

1,4121

1,4653

7

1,4164

1,1619

1,4124

1,4655

13

1,4169

1,4621

1,4128

1,4658

19

1,4172

1,4625

1,4135

1,466

25

1,4175

1,4631

1,4137

1,4661

31

1,4179

1,4634

1,4141

1,4657

Таблиця 3 Таблиця 4

х

у

1

0,101

1,26183

2

0,106

1,27644

3

0,111

1,29122

4

0,116

1,30617

5

0,121

1,32130

6

0,126

1,33660

7

0,131

1,35207

8

0,136

1,36773

9

0,141

1,38357

10

0,146

1,39959

11

0,151

1,41579

варіант

Значення аргументу

х1

х2

х3

х4

2

0,1018

0,1435

0,1006

0,1513

8

0,1021

0,1441

0,1008

0,1515

14

0,1024

0,1452

0,0983

0,160

20

0,1027

0,1463

0,0994

0,161

26

0,1031

0,1465

0,0982

0,1517

32

0,1033

0,1471

0,0991

0,1519

варіант

Значення аргументу

х1

х2

х3

х4

3

0,1513

0,1953

0,1412

0,201

9

0,1515

0,1958

0,1423

0,2013

15

0,1521

0,1961

0,1457

0,2011

21

0,1534

0,1974

0,1473

0,2015

27

0,1551

0,1981

0,1481

0,2005

33

0,1545

0,1992

0,1439

0,2007

Таблиця 5 Таблиця 6

х

у

1

0,150

3,61543

2

0,155

3,46693

3

0,160

3,32634

4

0,165

3,19304

5

0,170

3,06649

6

0,175

2,94619

7

0,180

2,83170

8

0,185

2,72261

9

0,190

2,61855

10

0,195

2,51919

11

0,200

2,42427

Таблиця 7 Таблиця 8

х

у

1

0,180

3,61543

2

0,185

3,46693

3

0,190

3,32634

4

0,195

3,19304

5

0,200

3,06649

6

0,205

2,94619

7

0,210

2,83170

8

0,215

2,72261

9

0,220

2,61855

10

0,225

2,51919

11

0,230

2,42427

варіант

Значення аргументу

х1

х2

х3

х4

4

0,1813

0,2253

0,1712

0,2301

10

0,1815

0,2258

0,1723

0,2313

16

0,1821

0,2261

0,1757

0,2311

22

0,1834

0,2273

0,1772

0,2307

28

0,1851

0,2281

0,1783

0,2315

34

0,1845

0,2292

0,1738

0,2309

Таблиця 9 Таблиця 10

х

у

1

2,180

5,61543

2

2,185

5,46693

3

2,190

5,32634

4

2,195

5,19304

5

2,200

5,06649

6

2,205

4,94619

7

2,210

4,83170

8

2,215

4,72261

9

2,220

4,61855

10

2,225

4,51919

11

2,230

4,42427

варіант

Значення аргументу

х1

х2

х3

х4

5

2,1813

2,2253

2,1712

2,2301

11

2,1815

2,2258

2,1723

2,2313

17

2,1821

2,2261

2,1757

2,2311

23

2,1834

2,2273

2,1772

2,2307

29

2,1851

2,2281

2,1783

2,2315

35

2,1845

2,2292

2,1738

2,2309

Таблиця 11 Таблиця 12

варіант

Значення аргументу

х1

х2

х3

х4

6

4,1018

4,1435

4,1006

4,1513

12

4,1021

4,1441

4,1008

4,1515

18

4,1024

4,1452

4,0983

4,160

24

4,1027

4,1463

4,0994

4,1603

30

4,1031

4,1465

4,0982

4,1517

36

4,1033

4,1471

4,0991

4,1519

х

у

1

4,101

1,26182

2

4,106

1,27643

3

4,111

1,29125

4

4,116

1,30616

5

4,121

1,32139

6

4,126

1,33661

7

4,131

1,35205

8

4,136

1,36778

9

4,141

1,38351

10

4,146

1,39952

11

4,151

1,41578

Зразок виконання роботи

х

у

1

0,255

1,76182

2

0,261

1,77643

3

0,267

1,79125

4

0,273

1,80616

5

0,279

1,82139

6

0,285

1,83661

7

0,291

1,85205

8

0,297

1,86778

9

0,303

1,88351

10

0,309

1,89952

11

0,315

1,91578

Використовуючи першу або другу інтерполяційну формулу Ньютона, обчислити значення функції при заданих значеннях аргументу. При побудові таблиць різниць контролювати обчислення.

Значення аргументу

х1

х2

х3

х4

0,2557

0,3104

0,2543

0,3157

Складемо таблицю скінчених різниць. Для контролю обчислень добавимо до неї два рядки – суми і різниць . В рядку суми запишемо суму елементів відповідного стовпчика, а в рядку різниць запишемо різницю крайніх значень відповідного стовпчика. Отримаємо

хі

уі

уі

2 уі

3 уі

4 уі

0,255

1,76182

0,01461

0,0002100

-0,0001200

0,0003800

0,261

1,77643

0,01482

0,0000900

0,0002600

-0,0004800

0,267

1,79125

0,01491

0,0003500

-0,0002200

0,0001400

0,273

1,80616

0,01526

0,0001300

-0,0000800

0,0001200

0,279

1,82142

0,01539

0,0000500

0,0000400

0,0000700

0,285

1,83681

0,01544

0,0000900

0,0001100

-0,0000300

0,291

1,85225

0,01553

0,0002000

0,0000800

-0,0001100

0,297

1,86778

0,01573

0,0002800

-0,0000300

 

0,303

1,88351

0,01601

0,0002500

 

 

0,309

1,89952

0,01626

 

 

 

0,315

1,91578

 

 

 

 

 

0,1539600

0,0016500

0,0000400

0,0000900

0,15396

0,00165

0,0000400

0,0000900

 

Для обчислення значень функції обмежимось різницями третього порядку, оскільки п’ятий доданок не вплине на точність результату, так, як він менший заданої точності. При обчисленні значення функції при х=0,2557 та х=0,2543 використаємо формулу Ньютона інтерполяції вперед (4)

,

де .

При х=0,2557 приймемо х0=0,255, тоді .

у(0,2557)=1,76182+0,1166667*0,01461+0,1166667*(0,1166667- 1)*0,00021/2+ +0,1166667*(0,1166667-1)*( 0,1166667-2)*(-0,00012)/6 =1,7635098.

При х=0,2543 приймемо х0=0,255, тоді .

у(0,2543)=1,76182+(-0,1166667)*0,01461+(-0,1166667)*(-0,1166667-1)*0,00021/2+

+(-0,1166667)*(-0,1166667-1)*(-0,1166667-2)*(-0,00012)/6 =1,76013469.

При обчисленні значення функції при х=0,3104 та х=0,3157 використаємо формулу Ньютона інтерполяції назад (7)

,

де .

При х=0,3104 приймемо хn=0,309, тоді .

у(0,3104)=1,89952+0,2333333*0,01601+0,2333333*(0,2333333+1)*0,00028/2+ +0,2333333*(0,2333333+1)*(0,2333333+2)*0,00008/6=1,90330452.

При х=0,3157 приймемо хn=0,315, тоді .

У(0,3157)=1,91578+0,1166667*0,01626+0,1166667*(0,1166667+1)*0,00025/2+ +0,1166667*(0,1166667+1)*(0,1166667+2)*(-0,00003)/6=1,91769191.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У документі йде мова про поняття про скінченні різниці різних порядків, першу інтерполяційна формулу Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції, другу інтерполяційна формулу Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції та про оцінки похибок інтерполяційних формул Лагранжа і Ньютона.
  • Додано
    14.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    222
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    WV779035
  • Вподобань
    0
Курс:«Активізація творчого потенціалу вчителів шляхом використання ігрових форм організації учнів на уроці»
Черниш Олена Степанівна
36 годин
1400 грн
590 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь