Формула Ньютона для нерівних проміжків

Опис документу:
У документі йде мова про інтерполяційну формулу Ньютона для нерівних проміжків, вивід формули Ньютона для нерівних проміжків, залишковий член формули Ньютона.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Інтерполяційна формула Ньютона для нерівних проміжків

1. Розділені різниці і їхні властивості. Введемо поняття розділені різниці. Візьмемо деяку функцію f R і систему вузлів інтерполяції х0, x1, х2,…,хп, хi ≠ хj, при i ≠ j, xi Є [а, b]. Для цієї функції й вузлів утворимо всілякі відношення

(1)

Такі відношення називають розділеними різницями першого порядку. Одержавши розділені різниці першого порядку, ми можемо утворити відношення

(2)

Ці відношення називають розділеними різницями другого порядку. Взагалі, якщо ми вже визначили розділені різниці k-го порядку f(хi; xi+1; .. .; xi+k), то розділені різниці (k+1)-го порядку знаходяться за допомогою формули

(3)

Іноді замість f(xi; xi+1; ...; fi+k) для позначення розділених різниць використовують вираз [хi; xi+1; ...; xi+k]. Умовимося розташовувати таблицю розділених різниць у такий спосіб:

x0

f(x0)

f (x0;x1)

x1

f (x1)

f(x0;x1;x2)

f(x1;x2)

f(x0;x1;x2;x3)

x2

f(x2)

f(x1;x2;x3)

f(x2;x3)

f(x1;x2;x3;x4)

x3

f (x3)

f(x2;x3;x4)

f(x3;x4)

x4

f (x4)

Так, для f(x) = x3; x0 = 0; x1=2; x2 = 3; x3==:5; x4 = 6; x5 = 1 ця таблиця прийме наступний вид:

xi

f(xi)

f(xi;xi+1)

f(xi;xi+1;xi+2)

f(xi;xi+1;xi+2;xi+3)

0

0

4

2

8

5

19

1

3

27

10

49

1

5

125

14

91

1

6

216

12

43

1

1

Нам буде потрібно використовувати деякі властивості розділених різниць.

Насамперед доведемо, що розділена різниця k-го порядку f(xi; xi+1;…; xi+k) дорівнює

(4)

Доведення будемо проводити по індукції. Для k-1 це твердження справедливо, тому що

Припустимо, що воно справедливо для k = l-1, і доведемо його справедливість для k = l. Справді,

=

В отриманому виразі f(xi) і f(xi+l) зустрічається по одному разу й притому у вигляді

тобто вони повинні входити в доказувану рівність (4). Всі інші f(xj) входять двічі. Поєднуючи ці члени попарно, одержимо:

що нам і потрібно довести.

З доведеного випливає ряд наслідків.

Наслідок 1. Розділена різниця суми або різниці функцій дорівнює сумі або різниці розділених різниць доданків, відповідно зменшуваного й від'ємника.

Наслідок 2. Постійний множник можна виносити за знак розділеної різниці.

Наслідок 3. Розділена різниця є симетрична функція своїх аргументів, тобто

. . .

Наслідок 4. Якщо x і t пов’язані лінійним співвідношенням x=t+, то , де g(t)=f(t+) і

Розділені різниці володіють ще однією властивістю, а саме: розділені різниці k-гo порядку від хп є однорідними багаточленами відносно своїх аргументів ступеня п - k; при k=п рівні 1 і при k > п рівні 0.

Доведемо це.

Для різниць першого порядку маємо:

Далі, якщо для будь-яких i ,то

Властивість доведена.

На підставі її й наслідків 1 і 2 маємо, що розділені різниці порядку п від багаточлена n-го степеня постійні, а різниці більш високого порядку дорівнюють нулю. Останнім зауваженням можна користуватися для виявлення помилок у таблицях багаточленів або функцій, близьких до них.

2. Вивід формули Ньютона для нерівних проміжків

Перейдемо тепер до виведення формули Ньютона. Нехай х0, x1,..., хn-вузли інтерполяції й Lk(x) — інтерполяційний багаточлен Лагранжа, побудований для цієї функції по вузлах х0, х1, , xk. Тоді

Ln(х)=L0(х) + [L1 (х) – L0 (х)] +L2(x) L1(x)] + ...+ [Ln (х) – Ln-1 (х)] (5)

Розглянемо окрему різницю, що міститься в правій частині,

Lk(x)-Lk-1(x). Це буде багаточлен ступеня к. Він перетворюється в нуль у точках х0, х1, ...,xk-1. Тому Lk(x)-Lk-1(x) = A(x-x0)- х1) ... - хк-1),— постійна). Для визначення величини А покладемо х = xk. При цьому одержимо

F(xk)-Lk-1(xk)=A (xk-x0)k - х1) ... k - хк-1)

Отже,

Звідси

(6)

Ця форма запису інтерполяційного багаточлена Лагранжа й зветься інтерполяційного багаточлена Ньютона для нерівних проміжків. Вона більше зручна для обчислень, ніж формула Лагранжа. Додавання одного або декількох вузлів не приводить до повторення всієї проробленої роботи заново, як це було при обчисленнях по формулі Лагранжа.

За допомогою інтерполяційної формули Ньютона можна одержати подання розділених різниць у вигляді відношення визначників. Коефіцієнти при φi(x) у функції, що інтерполює, рівні де отримують із шляхом заміни і-го стовпця стовпцем f (хі). Зокрема, при φi = xi і вузлах інтерполяції х0, х1 ,..., хп коефіцієнт при хп буде дорівнювати

Коефіцієнт же при хп в інтерполяційній формулі Ньютона для нерівних проміжків дорівнює f(x0, x1 ..., хп). Таким чином,

=

Із цього виразу неважко одержати всі ті властивості розділених різниць, про які говорилося раніше.

3.Залишковий член формули Ньютона. Залишковий член формули Ньютона точно такий же, як і у формули Лагранжа. Але його можна записати й в іншій формі. Для цього розглянемо

. (8)

Звідси

(9)

Отже, (10)

Таким чином,

(11)

Зокрема, якщо f(x) має похідну порядку n+1, то одержимо:

. (12)

де — деяка точка, що належить найменшому проміжку, що містить всі точки х0, x1 . . ., хп, х.

Розділена різниця f(x; х0; ...; хп), що входить у вираз залишкового члена, може бути знайдена тільки в тому випадку, коли нам відомо f(x). Але тоді немає великого змісту використовувати інтерполяційну формулу Ньютона. Однак у деяких випадках останню форму залишкового члена можна використовувати для фактичної оцінки погрішності, що дається інтерполяційною формулою Ньютона. Нехай нам відомо з якихось додаткових міркувань, що розділені різниці порядків n+1 і n+2 зберігають постійні знаки на розглянутому відрізку. Тоді використовуємо рівності

Для даного х завжди можна підібрати хп+1 так, що Rn і Rn+1 будуть мати різні знаки. Якщо f(х; х0; х1; ...; хп) і f (х; х0; x1; . . .; хп+1) мають однакові знаки, то беремо хп+1< х; якщо вони мають різні знаки, то беремо хn+1 < х. Але тоді, якщо взяти замість f(x) значення інтерполяційних багаточленів з n+1 і n+2 членами, то одержимо в одному випадку значення, більше f(x), в іншому — менше. Отже, абсолютна величина помилки, що виходить у результаті використання першої формули, не може перевищувати абсолютної величини

і має такий же знак, як і ця величина. У цьому випадку, якщо f(xn+1) відомо, ми можемо фактично оцінити Rn.

Розглянемо ще один випадок. Нехай на відрізку [а, b], де беруть х і вузли інтерполяції, функція f(x) має похідну f(n+2)(x), що зберігає свій знак. Покажемо, що в цьому випадку f(x; х0; ...; хп) — монотонна функція х на [а, b]. Для цього утворимо де й — деякі точки відрізка [а, b]. У силу симетрії розділених різниць щодо своїх аргументів будемо мати а це є не що інше, як розділена різниця порядку п+2 функції f(x).

Але з рівності (12) одержимо z =

Отже, z зберігає свій знак на [а, b].

Якщо f(n+2) (x) > 0, то при будь-яких [а, b] і [ а, b] ( > ) будемо мати

При f(n+2)(x)<0 і будь-яких [а, b] і [а, b] будемо мати

У цих випадках R може бути оцінено, якщо нам відомі f(a) і f(b).

Як ми бачили, для багаточленів розділені різниці, починаючи з деякого порядку, обертаються в нуль. Для функцій, що не є багаточленами, цього не буде. Пізніше ми покажемо, що для так званих цілих функцій розділені різниці прямують до 0. Але ця картина буде порушуватися завдяки тому, що самі вихідні дані звичайно бувають наближеними, а в процесі обчислення розділених різниць ми змушені робити округлення. Найчастіше спостерігається наступна картина: спочатку розділені різниці спадають із підвищенням порядку, а потім поводяться неправильно і знову зростають.

Так, наприклад, виглядає таблиця розділених різниць для функції f(x)=sin x:

xi

sin xi

f(xi;xi+1)

f( xi;xi+1;xi+2 )

f( xi;xi+1;xi+2;xi+3 )

00

0,0000

0,01731

130

0,2250

-0,000033

0,01652

-0,0000008

240

0,4067

-0,000063

0,01501

-0,0000008

370

0,6018

-0,000094

0,01219

-0,0000006

540

0,8090

-0,000120

0,00858

-0,0000005

670

0,9205

-0,000140

0,00509

-0,0000002

790

0,9816

-0,000149

0,00167

900

1,0000

Різниці четвертого порядку будуть поводитися неправильно, різниці п'ятого й більше високих порядків знову почнуть зростати. Ясно, що немає великого змісту використовувати їх в обчисленнях, тому що вони сильно перекручені різними похибками.

Вузли інтерполяції, що лежать ближче всього до інтерполюючого значення х, вплинуть на інтерполяційний багаточлен, що лежать далі — менше. Тому доцільно за х0 і х1 взяти найближчі до х вузли інтерполяції й зробити спочатку лінійну інтерполяцію по цих вузлах. Потім поступово залучати наступні вузли так, щоб вони по можливості симетричніше розташовувалися відносно х. Отримані при цьому виправлення будуть звичайно незначні. Щоб проілюструвати це, дамо результати обчислень по наведеній нижче таблиці. За допомогою інтерполяційної формули Ньютона були обчислені значення sin x для кутів 5°, 10°, . . . У першому стовпці дані аргументи, у другому - результати лінійної інтерполяції, у третьому - виправлення за рахунок других і третіх різниць, у четвертому - остаточні результати інтерполяції й у п'ятому - точні значення sin x із чотирма десятковими знаками:

50

0,08655

0,00072

0,08727

0,0872

100

0,17310

0,00066

0,17376

0,1736

150

0,25804

0,00081

0,25885

0,2588

200

0,34064

0,00137

0,34201

0,3420

250

0,42171

0,00088

0,42259

0,4226

300

0,49676

0,00323

0.49999

0,5000

350

0,57181

0,00178

0,57359

0,5736

400

0,63837

0,00487

0,64274

0,6428

450

0,69932

0,00770

0,70702

0,7071

500

0,76027

0,00572

0,76599

0,7660

550

0,81758

0,00155

0,81913

0,8192

600

0,86048

0,00554

0,86602

0,8660

650

0,90338

0,00295

0,90633

0,9063

700

0,93577

0,00386

0,93963

0,9397

750

0,96122

0,00461

0,96583

0,9659

800

0,98327

0,00152

0,98479

0,9848

850

0,99162

0,00459

0,99621

0,9962

Завдання: Обчислити значення функції при заданих значеннях аргументу, використовуючи інтерполяційну формулу Ньютона для нерівновіддалених вузлів. При обчисленнях ураховувати тільки розділені різниці першого й другого порядків. Обчислення провести двічі використовуючи, якщо це можливо, різні вузли.

Таблиця 1 Таблиця 2

x

у

№ варіанта

х1

х2

0,298

3,25578

1

0,308

0,335

0,303

3,17639

7

0,314

0,337

0,310

3,12180

13

0,325

0,303

0,317

3,04819

19

0,312

0,304

0,323

2,98755

25

0,321

0,336

0,330

2,91950

31

0,304

0,338

0,339

2,83598

x

у

№ варіанта

х1

х2

0,593

0,532050

2

0,608

0,630

0,598

0,535625

8

0,615

0,594

0,605

0,540598

14

0,622

0,596

0,613

0,546235

20

0,603

0,631

0,619

0,550431

26

0,610

0,628

0,627

0,555983

32

0,594

0,629

0,632

0,559428

x

у

№ варіанта

х1

х2

0,100

1,12128

4

0,115

0,160

0,108

1,13160

10

0,124

0,162

0,119

1,14594

16

0,130

0,164

0,127

1,15648

22

0,140

0,104

0,135

1,16712

28

0,150

0,102

0,146

1,18191

34

0,107

0,159

0,157

1,19689

0,169

1,21344

Таблиця 3 Таблиця 4

x

у

№ варіанта

х1

х2

0,698

2,22336

3

0,720

0,755

0,706

2,24382

9

0,740

0,705

0,714

2,26446

15

0,750

0,777

0,727

2,29841

21

0,765

0,700

0,736

2,32221

27

0,755

0,704

0,747

2,35164

33

0,708

0,773

0,760

2,38690

0,769

2,41162

0,782

2,44777

Таблиця 5 Таблиця 6

x

у

№ варіанта

х1

х2

0,235

1,20800

5

0,238

0,257

0,240

1,21256

11

0,261

0,298

0,250

1,22169

17

0,244

0,272

0,255

1,22628

23

0,275

0,303

0,265

1,23547

29

0,268

0,293

0,280

1,24933

35

0,237

0,297

0,395

1,26328

0,300

1,26795

0,305

1,27263

x

у

№ варіанта

х1

х2

0,095

1,09131

6

0,105

0,114

0,102

1,23490

12

0,103

0,117

0,104

1,27994

18

0,109

0,115

0,107

1,35142

26

0,108

0,100

0,110

1,42815

30

0,111

0,118

0,112

1,48256

36

0,101

0,119

0,116

1,60033

0,120

1,73221

Зразок виконання завдання

х

у

0,103

2,01284

0,108

2,03342

0,115

2,06070

0,120

2,07918

0,128

2,10721

0,136

2,13354

0,141

2,14922

0,150

2,17609

Визначити значення функції y(x) при наступних значеннях аргументу: 1) x1=0,112; 2) x2=0,133.

Обчислення робимо по формулі: y(x)≈y0+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1), де f(x0,x1)=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0); f(x0,x1,x2)=(f(x1,x2)-f(x0,x1))/(x2-x0). Попередньо обчислимо необхідні значення розділених різниць.

xi

yi

f(xi,xi+1)

f(xi,xi+1,xi+2)

0,103

2,01284

4,116

-18,238166

0,108

2,03342

3,896142

-16,761833

0,115

2,06070

3,696

-14788461

0,120

2,07918

3,503750

-13,281250

0,128

2,10721

3,291250

-11,942307

0,136

2,13354

3,136

0,141

2,14922

  1. Знайдемо значення f(0,112) двома способами, взявши за x0 спочатку 0,103, а потім 0,108:

f (0,112)≈2,01284+4,116(0,112-0,103)+(-18,238166)(0,112-0,103)(0,112-0,106)=

=2,01284+0,037044-0,000657=2,04923;

f(0,112)≈2,03342+3,89742(0,112-0,108)+(-16,761833)(0,112-0,108)(0,112-0,115)=

=2,03342+0,015589+0,000201=2,04921.

Приймаємо f(0,112)≈2,04922.

  1. Значення f(0,133) також визначимо двома способами, взявши за x0 спочатку 0,120, а потім 0,128:

f(0,133)≈2,07918+3,50375(0,133-0,120)+(-13,28125)(0,133-0,120)(0,133-0,128)=

=2,07918+0,045549-0,000863=2,12387;

f(0,133)≈2,10721+3,29125(0,133-0,128)+(-11,942307)(0,133-0,128)(0,133-0,136)=

=2,10721+0,016456+0,000179=2,12385.

Приймаємо f(0,133)≈2,1238

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
5
дн.
1
0
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!