Сьогодні відбувся
Кабінет психолога:
«
Здатність до саморегуляції – основа духовного розвитку. Нові інструменти й підходи
»
Взяти участь Всі події

До уроку "Розв’язування задач по темі „Стереометрія”"

Геометрія

Для кого: 11 Клас, 12 Клас

29.08.2021

181

0

0

Опис документу:
В матеріалі "До уроку "Розв’язування задач по темі „Стереометрія”" поміщені готові розв'язані задачі з грунтовним поясненням по даній темі та дібрано низку задач по даній темі для самостійного розв'язавання.
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Розв’язування задач по темі „Стереометрія”


  1. У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює l, а бічне ребро утворює з площиною основи кут . Знайти об’єм піраміди.

Розвязання:

S




A . B


O D


C

ОВ – проекція SB на площину основи, тому кут між бічним ребром SB і площиною основи є SBO. SDапофема, SD=l.

Нехай сторона основи піраміди дорівнює a(a>0). Тоді за властивістю правильного трикутника радіус описаного кола ОВ=R= , а радіус вписаного кола OD=r= .

З SBO ( SOB=900): SO=OBtg= tg.

З SOD ( SOD=900) складаємо рівняння:

SD2=SO2+OD2; l2= tg2+ ; a2 =l2; a= .

Об’єм піраміди обчислюємо за формулою V= SоснH.

Sосн= = ; Н=SO= .

Отже, V= .

Відповідь: V= .








2. У циліндрі паралельно його осі на відстані d від неї проведено площину, що перетинає його нижню основу по хорді, яку видно із центра верхньої основи під кутом . Відрізок, що сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут . Знайти площу перерізу.

Розвязання:

С


О1

D



B

O K

A

Прямокутник АВСD – переріз циліндра, (АВС)//OO1. ОК (АВС), ОК=d, AO1B= . ОВ – проекція О1В на площину основи, тому O1ВО= . У рівнобедреному трикутнику АОВ висота ОК є медіаною і бісектрисою. Нехай радіус основи циліндра ОА=R(R>0).

З ВОК( ОКВ=900): ВК= , тоді АВ=2ВК=2 .

З ВОО1( ВОО1=900): ВО1= . У рівнобедреному трикутнику АО1В (АО11В) О1К – медіана, висота і бісектриса.

З ВО1К( ВКО1=900): ВК=ВО1 = .

Прирівняємо два вирази для ВК: = ; R2-d2= ;

R2(1- )=d2; R2= ; R= .

Тоді АВ=2 =2 .

З ВОО1( ВОО1=900): ОО1=ОВtg =Rtg = .

AD=OO1= . SABCD= = = .

Відповідь: S= .

3. В основі призми лежить прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим кутом . Діагональ грані, яка містить цей катет, утворює з площиною основи кут . Знайти об’єм кулі, описаної навколо цієї призми.

Розв’язання.


A1

C1

B1

O

A

C

B

У трикутнику АВС АВС=900, ВАС= , АВ=а, АВ – проекція А1В на площину основи призми, тому кут між діагоналлю бічної грані А1В і площиною основи буде А1ВА= .

Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині відрізка, який сполучає центри описаних кіл навколо основ призми. Оскільки в основі призми лежить прямокутний трикутник, то центр описаного кола навколо основи лежить на середині гіпотенузи. Тому центр кулі буде розміщений на середині діагоналі АС1 бічної грані, яка містить гіпотенузу. Отже, АС1=2R.

З АВС ( АВС=900): АС= = .

З А1ВА ( А1АВ=900): АА1=АВtg =аtg .

З АС1С ( АСС1=900): АС1= ; АС1= = . Отже, R= AC1= = . Об’єм кулі V= R3= .

Відповідь: V= .

4. У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює m, а плоский кут при вершині - . Знайдіть обєм конуса, вписаного в піраміду.

Розвязання.

S






A B


K O


C

SK – апофема піраміди, SK=m, плоский кут при вершині - ASK= . Обєм вписаного конуса з віссю SO обчислимо за формулою V= .

З SKC ( SKC=900): KSC= , KC=SK tg =m tg .

За властивістю правильного трикутника радіус вписаного кола R=OK= , де а=АС=2КС=2 m tg . Тому R= m tg .

З SKО ( SOK=900): SO= = = .

Отже, об’єм конуса V= = .

Відповідь: V= .





Завдання для самостійної роботи

Варіант 1.

  1. Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник. Основа якого –

( ) см, а кут при ній 450. Знайдіть об’єм призми, якщо її бічна поверхня дорівнює сумі площ основ.

2. У зрізаному конусі твірна дорівнює 5 см, а радіуси основ – 6 см і 10 см. Знайдіть радіус циліндра такої ж висоти, повна поверхня якого рівновелика бічній поверхні даного зрізаного конуса.

3. Знайдіть об’єм правильної трикутної призми, якщо радіус описаної навколо неї сфери дорівнює R. Цей радіус, проведений до вершини призми, утворює кут з бічною гранню, що містить цю вершину.

4. У конус вписано піраміду, основа якої – прямокутний трикутник. Бічна грань, що проходить через один із катетів, утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм піраміди, якщо твірна конуса дорівнює l і нахилена до площини основи під кутом .


Варіант 2.

1. Всі ребра прямої трикутної призми мають однакову довжину. Площа повної поверхні призми дорівнює ( ) см2. Знайдіть площу її основи.

2. У зрізаному конусі висота, твірна і бічна поверхні дорівнюють відповідно H, L і S. Визначте площу осьового перерізу.

3. У кулю радіуса R вписано призму, в основі якої лежить прямокутний трикутник з гострим кутом . Діагональ бічної грані, яка містить катет, прилеглий до цього кута, утворює з основою кут . Знайдіть обєм призми.

4. У правильній чотирикутній піраміді апофема дорівнює l, а плоский кут при вершині – . Знайдіть обєм конуса, описаного навколо піраміди.


Варіант 3.

1. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Діагоналі двох бічних граней, що містять сторони цього кута, нахилені до площини основи під кутом . Діагональ третьої бічної грані дорівнює l. Визначте об’єм призми.

2. Площа основи конуса дорівнює Q, кут нахилу твірної до площини основи – . Знайдіть площу перерізу, проведеного через дві твірні, кут між якими дорівнює .

3. У кулю радіуса R вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою бічною гранню кут . Діагональ основи паралелепіпеда утворює з більшою стороною основи кут . Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.

4. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Визначте повну поверхню конуса , описаного навколо піраміди, якщо її висота дорівнює H.


Варіант 4.

1. Площі двох граней прямокутного паралелепіпеда відносяться, як 2:5. Діагоналі цих граней 10 см і 17 см. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.

2. Через вершину конуса проведено площину, яка утворює з площиною основи кут . Ця площина перетинає основу конуса по хорді, яку видно із його вершини під кутом . Знайдіть бічну поверхню конуса, якщо його висота дорівнює h.

3. У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з основою кут . Обчисліть об’єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R.

4. У правильній чотирикутній піраміді відстань від середини висоти піраміди до бічного ребра дорівнює d. Знайдіть повну поверхню вписаного в піраміду конуса, твірна якого нахилена до площини основи під кутом .

Варіант 5.

1. Правильна шестикутна призма, в якої бічні грані – квадрати, перетинається площиною, що проходить через сторону нижньої основи і протилежну їй сторону верхньої основи. Сторона основи дорівнює 5 дм. Знайдіть площу утвореного перерізу.

2. Площа основи конуса - 9 см2 , повна поверхня - 24 см2.Знайдіть об’єм конуса.

3. У правильній трикутній піраміді бічна грань нахилена до основи під кутом . Знайдіть повну поверхню піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює r.

4. Повна поверхня конуса дорівнює S. Твірна його нахилена до площини основи під кутом . Обчисліть об’єм правильної шестикутної піраміди, вписаної в цей конус.

Варіант 6.

1. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом , причому діагоналі трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Діагональ призми утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм призми.

2. Твірна конуса дорівнює ( ) см. Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо кут при вершині осьового перерізу конуса прямий.

3. У правильній трикутній піраміді відстань від центра вписаної в неї кулі до сторони основи дорівнює d. Визначте повну поверхню піраміди, якщо її бічна грань нахилена до основи під кутом .

4. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Всі бічні ребра піраміди рівні. Бічна грань піраміди, яка містить основу рівнобедреного трикутника, утворює з площиною основи кут . Знайдіть бічну поверхню конуса, описаного навколо піраміди, висота якої дорівнює H.


Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу.