Взяти участь
Поспішайте взяти участь в акції «Методичний тиждень 2.0».
Головний приз 500грн + безкоштовний вебінар.
До визначення переможців залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

Динаміка обертового руху твердого тіла

Курс:«Інтернет-ресурси для опитування і тестування»
Левченко Ірина Михайлівна
24 години
1000 грн
249 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №BI537524
За публікацію цієї методичної розробки Угорчук Володимир Васильович отримав(ла) свідоцтво №BI537524
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Навчально-методична карта

Тема. Динаміка обертового руху твердого тіла.

Вид заняття: лекція з елементами бесіди.

Мета заняття (навчальна, розвиваюча, виховна):

- ознайомити студентів із поняттям динаміки як розділу фізики, із поняттями момент сили та момент імпульсу та спостереження їх природі; формувати знання про фізичну модель - матеріальна точка, її переваги, при описі руху тіла.

- розвивати в студентів навички систематичної роботи, опрацьовувати додаткову літературу; вміння проводити аналогію, робити узагальнення, висновки;

-готувати студентів до повноцінної життєдіяльності в умовах інформаційного суспільства; виховувати студента-дослідника, формувати в нього пізнавальні здібності, розумові сили й творчі вміння; здійснювати вольовий розвиток: спрямовувати навчання на вироблення вміння долати труднощі, досягати мети, розвивати працездатність; сприяти формуванню активної компетентної творчої особистості.

Міжпредметна інтеграція: хімія, біологія, історія, математика.

План

  1. Поняття центра інерції.

  2. Момент сили відносно точки і осі.

  3. Теорема Штейнера.

  4. Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла.

 Момент сили і момент імпульсу. Рівняння моментів для матеріальної точки [Error: Reference source not found]

1. Важливі закони механіки пов'язані з поняттями моменту імпульсу та моменту сили. Потрібно розрізняти й не змішувати один з одним моменти цих векторів відносно точки й відносно осі. Момент вектора відносно точки й відносно осі – різні поняття, хоча й пов'язані між собою. Момент вектора відносно точки сам є вектором. Момент того ж вектора відносно осі є проекцією на цю вісь його моменту відносно точки, що лежить на тій же осі. Таким чином, момент вектора відносно осі вже не є вектором.

2. Розглянемо моменти відносно точки. Нехай – будь-яка точка, відносно якої розглядається момент вектора сили або вектора імпульсу (див. рис. 20.1). Цю точку називають полюсом. Позначимо через радіус-вектор, проведений від цієї точки до точки прикладення сили . Моментом сили відносно точки називається векторний добуток радіуса-вектора на силу :

. (20.1)

Для системи матеріальних точок моментом сили системи відносно деякого полюсу  називається сума моментів сил цих точок відносно того ж полюсу.

Аналогічно моментом імпульсу матеріальної точки відносно точки або полюса називається вектор, що дорівнює

, (20.2)

де – імпульс матеріальної точки; – радіус-вектор, що визначає положенням цієї точки.

Для системи матеріальних точок повним моментом імпульсу системи відносно деякого полюсу називається сума моментів імпульсів точок системи відносно того ж полюсу.

3. Доцільність введення моментів імпульсу й сили виправдується тим, що вони пов'язані між собою важливим співвідношенням, яке називається рівнянням моментів. Розглянемо випадок, коли точка є нерухомою. У випадку однієї матеріальної точки, диференціюючи вираз (20.2) за часом, дістанемо . При цьому потрібно прийняти до уваги, що імпульс частинки є паралельним до її швидкості . Тобто . Крім того, . Таким чином, . У результаті отримуємо

. (20.3)

Це рівняння називають рівнянням моментів для однієї матеріальної точки відносно точки обертання .

Рисунок 20.1

4. Момент сили характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки. Модуль моменту сили виходячи з (20.1) і визначення векторного добутку дорівнює

, (20.4)

де – кут між вектором і (див. рис. 20.1). Вираз (20.4) можна перетворити

, (20.5)

де – плече сили (див. рис. 20.1). За визначенням плечем сили називають довжину перпендикуляра, який опущено із точки на пряму, вздовж якої діє сила (див. рис. 20.1).

Аналізуючи вираз (20.5), можемо зробити висновок, що здатність сили обертати тіло залежить не тільки від величини сили , але й від плеча сили .

5. Обертання, як правило, відбувається не навколо деякої точки , а навколо осі обертання . Проектуючи вектора рівняння (20.3) на вісь обертання , отримаємо рівняння моментів відносно осі обертання:

, (20.6)

де і є, відповідними проекціями векторів та на вісь обертання .

§1 Рівняння моментів для системи матеріальних точок. Закон збереження моменту імпульсу [Error: Reference source not found]

1. Узагальнимо рівняння моментів на випадок системи матеріальних точок.

Розглянемо систему, яка складається з частинок (матеріальних точок). Позначимо через силу, що діє на  у частинку з боку -ї частинки (перший індекс вказує номер частинки, на яку діє сила, другий індекс – номер частинки, впливом якої обумовлена ця сила). Зрозуміло, є внутрішніми силами. Позначимо через результуючу всіх зовнішніх сил, що діють на -у частинку. Напишемо рівняння моментів для кожної матеріальної точки:

,

………………………………………..,

,

………………………………………..,

.

Тут – момент імпульсу -ї частинки.

Складемо разом ці рівняння. Ліворуч отримаємо похідну за часом від повного моменту імпульсу системи:

. (21.1)

Праворуч відмінною від нуля буде тільки сума зовнішніх моментів сил . Дійсно, суму внутрішніх сил можна подати у вигляді

.

Тут, відповідно до третього закону Ньютона, і направлені ці сили вздовж лінії, що з’єднують точки, до яких ці сили прикладені. Тобто вектори , та є паралельними. Це означає, що . Тобто вираз у кожній з дужок дорівнює нулю.

З урахуванням цього отримуємо, що

. (21.2)

Таким чином, похідна за часом від повного моменту імпульсу системи відносно довільної нерухомої точки дорівнює геометричній сумі моментів зовнішніх сил, що діють на тіла системи відносно цієї ж точки. Це твердження називають рівнянням моментів для системи матеріальних точок.

2. Обертання, як правило, відбувається не навколо деякої точки , а навколо осі обертання . Проектуючи вектора рівняння (21.2) на вісь обертання , отримаємо рівняння моментів для системи матеріальних точок відносно осі обертання:

, (21.3)

де і є відповідними проекціями векторів та на вісь обертання .

3. Коли система замкнена, то зовнішні сили відсутні й права частина рівняння (21.2) дорівнює нулю. Це означає, що

, . (21.4)

Таким чином, ми прийшли до висновку, що повний, сумарний момент імпульсу замкненої системи матеріальних точок залишається постійним. Це твердження становить зміст закону збереження моменту імпульсу.

Зазначимо, що відповідно до формули (21.2), повний момент імпульсу залишається постійним і для незамкненої системи у тому випадку, коли сума всіх моментів зовнішніх сил дорівнює нулю (=0).

Також повний момент імпульсу залишається постійним і для випадку коли в системі діють центральні сили. Центральними називають такі сили, напрямки яких проходять через нерухомий центр . З визначення центральної сили випливає, що момент центральної сили завжди буде таким, що дорівнює нулю ().

Закон збереження моменту імпульсу разом із законами збереження імпульсу й енергії є одним із найважливіших фундаментальних законів фізики.

§2 Швидкість довільної точки твердого тіла під час його плоского руху. Кутова швидкість обертання твердого тіла. Миттєва вісь обертання [Error: Reference source not found]

1. Плоским називається такий рух, при якому всі точки тіла рухаються в паралельних площинах. Довільний плоский рух можна подати як сукупність поступального й обертального руху. Розбити рух на поступальний і обертальний можна здійснити великою кількістю способів (на рис. 22.1 показані три з них), які відрізняються значеннями швидкості поступального руху, але мають одну і ту ж кутову швидкість . Тому можна говорити про кутову швидкість обертання твердого тіла, не вказуючи, через яку точку проходить вісь обертання.

Виберемо в тілі довільну точку . Як говорилось вище будь-який рух тіла можна розкласти на поступальний зі швидкістю , яка дорівнює швидкості точки , і обертальний навколо миттєвої осі, що проходить через цю точку. Позначаючи через вектор кутової швидкості тіла, складову швидкості точок тіла, що обумовлена обертанням, можна подати у вигляді , де – радіус-вектор, який проведено із точки в дану точку тіла. Отже, для швидкості точок тіла відносно нерухомої системи відліку отримуємо формулу

. (22.1)

2. Швидкість поступального руху , як правило, залежить від вибору точки . Але кутова швидкість , як зазначалось вище, не залежить від положення точки , через яку проходить миттєва вісь обертання. Покажемо це на прикладі циліндра, що котиться без ковзання по площині (див. рис. 22.1).

Рисунок 22.1 – Циліндр радіуса котиться без ковзання по площині. Швидкості точок циліндра можна подати як: – обертання навколо осі з кутовою швидкістю , поступальна швидкість точки дорівнює нулю ; – поступальний рух зі швидкістю та обертання навколо осі з кутовою швидкістю ; – поступальний рух зі швидкістю й обертання навколо осі з кутовою швидкістю

Розглянемо рис. 22.1а. У цьому випадку швидкості точок циліндра можна подати як поступальний рух точки зі швидкістю й обертання навколо осі з кутовою швидкістю . Зазначимо, що точка є точкою дотику циліндра й площини. Через те, що ковзання відсутнє, то в точці дотику швидкості циліндра й площини повинні бути однаковими. Площина ж має швидкість, що дорівнює нулю. Отже, поступальна швидкість точки дорівнює нулю . Використовуючи формулу (22.1), можна знайти модулі швидкостей точок та

, . (22.2)

У цій формулі є радіусом циліндра.

Розглянемо рис. 22.1б. В цьому випадку швидкості точок циліндра можна подати як поступальний рух точки зі швидкістю й обертання навколо осі з кутовою швидкістю . Використовуючи формулу (22.1), знаходимо модулі швидкостей точок та

, . (22.3)

Розглянемо рис. 22.1в. У цьому випадку швидкості точок циліндра можна подати як поступальний рух точки зі швидкістю й обертання навколо осі з кутовою швидкістю . Використовуючи формулу (22.1), можна знайти модулі швидкостей точок та

, . (22.4)

Коли підставити значення та з (22.2) у друге рівняння (22.3), то отримаємо, що

.

Коли підставити значення та з (22.4) у перше рівняння (22.3), то отримаємо, що

.

Таким чином,

, (22.5)

тобто кутова швидкість не залежить від положення точки, через яку проходить миттєва вісь обертання. Кутова швидкість характеризує обертання твердого тіла як цілого.

3. Зазначимо, особливо зручним виявляється представлення довільного плоского руху на поступальний, який відбувається зі швидкістю центра мас , і обертальний навколо осі, що проходить через цей центр (рис. 22.1).

Також слід мати на увазі, що миттєва вісь обертання введена лише для опису розподілу миттєвих швидкостей тіла. Ця вісь може знаходитись як усередині, так і за межами тіла. Положення миттєвої осі відносно нерухомої системи відліку й відносно тіла в загальному випадку з часом змінюється. При цьому швидкість миттєвої осі і точки, через яку ця вісь проходить можуть і не співпадати. Так у випадку, що зображено на рис. 22.1а, миттєва вісь збігається з лінією дотику циліндра із площиною (вісь ). Ця вісь переміщується як по площині (тобто відносно нерухомої системи відліку), так і по поверхні циліндра. Тим часом миттєва швидкість тіла у точці дотику дорівнює нулю. Плоский рух можна розглядати як ряд послідовних елементарних обертань навколо миттєвих осей.

§3 Рух центра мас твердого тіла. Прискорення центра мас твердого тіла [Error: Reference source not found]

1. Знайдемо центр мас твердого тіла. Для цього розіб’ємо тверде тіло на сукупність дуже малих частинок (елементарних мас), тобто подамо тверде тіло як систему матеріальних точок з незмінними відстанями між ними. Тому для твердого тіла справедливі всі результати, які були отримані для системи матеріальних точок. Зокрема, центр мас твердого тіла визначається радіус вектором

, (23.1)

де мала маса; – радіус-вектор, що визначає положення цієї маси; – маса всього твердого тіла.

Вираз (23.1) є не цілком однозначним, оскільки кожний з векторів можна проводити в різні точки -й малої маси. Щоб усунути цю невизначеність, потрібно взяти границю виразу (23.1) за умови, що всі прямують до нуля:

.

Ми знаємо, що така границя називається інтегралом. Таким чином,

, (23.2)

де інтегрування виконується по всьому твердому тілу.

2. Вираз (23.2) залежить від розподілу маси по об'єму тіла. Цей розподіл можна охарактеризувати за допомогою величини, яка називається густиною. Тіло, властивості якого у всіх точках однакові, називається однорідним. Густиною однорідного тіла називають величину

, (23.3)

де – маса тіла, а – його об'єм. Таким чином, густина однорідного тіла чисельно дорівнює масі одиниці об'єму тіла.

Для неоднорідного тіла формула (23.3) дає середню густину. Густина у деякій точці неоднорідного тіла визначається виразом

, (23.4)

де – маса, що знаходиться в об'ємі , який містить у собі точку . Граничний перехід у цьому виразі не можна розуміти так, що об'єм стягується безпосередньо в точку. Зменшення потрібно здійснювати доти, поки не почне проявлятися атомна структура речовини. Тому під в (23.4) потрібно розуміти фізично нескінченно малий об'єм, тобто такий об'єм, що, з одного боку, досить малий для того, щоб макроскопічні (тобто властиві великий сукупності атомів) властивості речовини можна було вважати в його межах однаковими, а з іншого боку, досить великий для того, щоб не могла проявитися дискретність речовини.

Згідно (23.4) елементарна маса дорівнює добутку густині тіла в даній точці на відповідний елементарний об'єм :

. (23.5)

Підставивши це значення у вираз (23.2), отримуємо, що

, (23.6)

де буква під знаком інтеграла вказує на те, що інтегрування виконується по об'єму тіла.

3. Тверде тіло можна подати як систему матеріальних точок. Тому для нього справедливе співвідношення, яке визначає прискорення центра мас системи матеріальних точок, відповідно до якого добуток маси системи (тобто маси тіла) на прискорення центра мас дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на це тіло,

. (23.7)

Таким чином, центр мас твердого тіла рухається так, як рухалася б матеріальна точка з масою, що дорівнює масі тіла, під дією всіх прикладених до тіла зовнішніх сил.

§4 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі [Error: Reference source not found]

1. Знайдемо рівняння, яке описує обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої осі . Для розв’язання цієї задачі будемо розглядати тверде тіло як систему матеріальних точок, також використаємо рівняння моментів для системи матеріальних точок відносно осі обертання.

Рисунок 24.1 – Вісь обертання й елементарна маса лежать у площині рисунка. Швидкість направлена за площину рисунка. Момент імпульсу є перпендикулярним до векторів і . Відстань від осі обертання дорівнює

Розіб'ємо тіло (див. рис. 24.1), що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю , на елементарні маси , які можна вважати матеріальними точками. Відповідно до визначення момент імпульсу  ї елементарної маси відносно точки , що лежить на осі обертання, дорівнює

. (24.1)

Тут – радіус-вектор, який визначає положення маси відносно точки , – швидкість -ї елементарної маси. Проекція вектора на вісь обертання дорівнює його модулю , помноженому на косинус кута : (див. рис. 24.1). Оскільки кут між векторами й прямий (див. рис. 24.1), то . Тоді

, (24.2)

де – відстань маси від осі обертання (див. рис. 24.1). Як відомо . З урахуванням цього можемо записати

. (24.3)

Проекція повного моменту імпульсу тіла дорівнює сумі проекцій :

. (24.4)

Отриманий вираз не залежить від розміщення на осі обертання точки , відносно якої визначається момент імпульсу тіла .

Величина

, (24.5)

що дорівнює сумі добутків елементарних мас на квадрат їх відстаней до осі обертання, називається моментом інерції тіла відносно цієї осі.

Скориставшись поняттям моменту інерції, подамо вираз (24.4) для моменту імпульсу відносно осі у вигляді

, (24.6)

де – момент інерції твердого тіла відносно осі обертання .

Як відомо, для системи матеріальних точок є справедливим рівняння моментів відносно осі обертання

. (24.7)

Підставивши в це рівняння (24.6) і прийнявши до уваги, що , а – проекція кутового прискорення на вісь (ми припускаємо, що напрямки вектора й осі збігаються), прийдемо до рівняння

. (24.8)

Це рівняння називають рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі. Воно аналогічно рівнянню другого закону Ньютона . Роль маси тут відіграє момент інерції, роль лінійного прискорення – кутове прискорення й, нарешті, роль результуючої сили – сумарний момент зовнішніх сил.

§5 Момент інерції циліндра (диска) відносно осі симетрії [Error: Reference source not found]

Рисунок 25.1

1. З визначення моменту інерції

(25.1)

випливає, що ця величина є адитивною. Це означає, що момент інерції тіла відносно деякої осі дорівнює сумі моментів інерції частин тіла відносно тієї ж осі. З співвідношення (25.1) випливає також, що момент інерції тіла відносно різних осей буде різним.

Зазначимо, що вираз (25.1) є не цілком однозначним, оскільки кожний з векторів можна проводити в різні точки -й малої маси. Щоб усунути цю невизначеність, потрібно взяти границю виразу цього виразу за умови, що всі прямують до нуля. Тобто суму в (25.1) потрібно замінити інтегруванням:

. (25.2)

Нарешті, якщо ми візьмемо до уваги визначення густини неоднорідного тіла , то отримаємо формулу для моменту інерції твердого тіла

, (25.3)

де – густина тіла в точці, яка входить в об’єм , – відстань цього об’єму до осі обертання, відносно якої обчислюється момент інерції.

2. Обчислення інтеграла (25.3) являє собою достатньо складне завдання. Справа значно спрощується у випадку однорідних осесиметричних тіл. Як приклад, знайдемо момент інерції однорідного циліндра відносно його геометричної осі (рис. 25.1).

Розіб'ємо циліндр на циліндричні шари радіуса , товщини , висоти . Маса такого шару дорівнює ( – об’єм шару). Всі точки цього шару розміщені від осі на однаковій відстані . Тому момент інерції такого циліндричного шару дорівнює

.

Проінтегруємо цей вираз за змінною в межах від до ( – радіус циліндра) і отримаємо момент інерції однорідного циліндра відносно його осі:

, тобто (25.4)

( – маса циліндра). Відзначимо, що отриманий вираз (25.4) не залежить від висоти циліндра . Отже, формула (25.4) визначає й момент інерції тонкого диска відносно перпендикулярної до нього осі, що проходить через його центр.

§6 Момент інерції стержня [Error: Reference source not found]

1. Обчислимо момент інерції тонкого однорідного стержня маси й довжини відносно перпендикулярної до нього осі , яка проходить через його центр (див. рис. 26.1). Для цього використаємо визначення моменту інерції твердого тіла

. (26.1)

Зазначимо, що стержень можна вважати тонким, якщо максимальний поперечний розмір його набагато менше довжини .

Рисунок 26.1

Проведемо вздовж стержня вісь , початок цієї осі розмістимо в центрі стержня (див. рис. 26.1). Виберемо ділянку стержня . Виходячи з того, що стержень однорідний, маса ділянки буде дорівнювати , де – довжина стержня. Ця маса знаходиться на відстані від осі обертання (див. рис. 26.1). У формулі (26.1) ця відстань позначена буквою , тобто для даного випадку . Далі використовуючи співвідношення (26.1), отримуємо момент інерції стержня відносно перпендикулярної до нього осі, яка проходить через його центр

, тобто . (26.2)

2. Наведемо без доведення значення моменту інерції однорідної кулі відносно осі, що проходить через його центр:

, (26.3)

де – маса, а є її радіусом.

§7 Теорема Гюйгенса-Штейнера [Error: Reference source not found]

1. Знайдемо зв'язок між моментами інерції тіла відносно двох різних паралельних осей. Вважаємо, що ці осі перпендикулярні до площини рисунка й перетинають цю площину в точках й (див. рис. 27.1). Будемо називати ці вісі осями й . Розіб'ємо уявно тіло на елементарні маси . Позначимо радіус-вектор, який проведено в площині рисунка від точки до елементарної маси через , а від точки до – через . Зрозуміло, що на рис. 27.1 зображено випадок, коли елементарна маса лежить у площині рисунка. Тоді , де . Тому . Далі, використовуючи визначення моменту інерції тіла, знаходимо момент інерції тіла відносно осі :

. (27.1)

Рисунок 27.1

Проаналізуємо доданки, які знаходяться у правій частині співвідношення (27.1). Перший інтеграл праворуч є моментом інерції відносно осі . Останній інтеграл праворуч у відповідності з визначенням центра мас можна подати у вигляді , де – радіус-вектор центра мас тіла відносно осі (більш точно, є компонентою радіуса-вектора центра мас, яка паралельна площині рисунка), є масою тіла. Таким чином,

. (27.2)

Припустимо, що вісь проходить через центр мас тіла (точки й збігаються). Тоді , і попередня формула спрощується, набираючи вигляд

. (27.3)

Це важливе співвідношення називається теоремою Гюйгенса-Штейнера. Момент інерції відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції відносно осі , яка паралельна осі й проходить через центр мас тіла , і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.

§8 Робота тіла, що обертається навколо нерухомої осі [Error: Reference source not found]

1. Знайдемо роботу, яку виконують зовнішні сили під час обертання твердого тіла відносно нерухомої осі .

Позначимо зовнішню силу, що прикладена до елементарної маси , через . За час робота сили над  ю елементарною масою буде дорівнювати

. (28.1)

Відомо, що швидкість  ї елементарної маси тіла, яке обертається навколо нерухомої осі визначається співвідношенням , де – радіус-вектор, що проведений від довільної точки на осі обертання до точки з масою . Тоді (28.1) набуває вигляду

. (28.2)

Далі використаємо відоме з математики співвідношення для змішаного добутку векторів і отримаємо

. (28.3)

У цій формулі – момент сили відносно точки , – проекція вектора на напрямок вектора , – кут на який повернеться тіло за час . Результуючу роботу знайдемо як суму робіт над кожною елементарною масою

.

Позначаючи через – проекцію результуючого моменту імпульсу на напрямок кутової швидкості знаходимо шукану елементарну роботу, яку виконують зовнішні сили при обертанні твердого тіла відносно нерухомої осі

. (28.4)

Зазначимо, що формула (28.4) подібна до формули .

2. Розділивши роботу (28.4) на час , за яке тіло повернулося на кут , отримуємо потужність, яка розвивається зовнішніми силами:

. (28.5)

Знак потужності залежить від знаку проекції проекцію результуючого моменту імпульсу на напрямок кутової швидкості . Коли проекція від’ємна, то потужність також від’ємна. Зазначимо, формула (28.5) подібна до формули .

§9 Кінетична енергія твердого тіла за умови плоского руху [Error: Reference source not found]

1. Знайдемо кінетичну енергію твердого тіла при довільному плоскому русі. Для цього плоский рух будемо розглядати як накладення поступального руху деякої точки тіла та обертання навколо осі, що проходить через цю точку. Тверде тіло подамо як сукупність матеріальних точок. Кінетичну енергію знайдемо як суму кінетичних енергій усіх матеріальних точок твердого тіла.

Тверде тіло подамо як сукупність елементарних мас . Швидкість довільної елементарної маси подамо як накладення поступального руху зі швидкістю деякої точки тіла й обертання навколо осі, що проходить через цю точку, з кутовою швидкістю . У цьому разі, як відомо, можемо записати

, (29.1)

де – радіус-вектор -ї маси, який проведено з точки (див. рис. 29.1).

Кінетична енергія -ї елементарної маси дорівнює

.

Підведення у квадрат дає

. (29.2)

Взявши суму за всіма елементарними масами, знайдемо кінетичну енергію тіла:

.

Розіб'ємо отриманий вираз на три доданки, виносячи при цьому постійні множники за знак суми:

. (29.3)

Сума елементарних мас дасть масу тіла . Отже, перший доданок дорівнює .

Рисунок 29.1 – Вектор направлений за площину рисунка.
Його модуль дорівнює

Квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля. Модуль цього вектора, як випливає з рис. 29.1, , де – відстань від  ї маси до осі обертання. Тому можемо записати . Отже, третій доданок у (29.3) дорівнює

,

де – момент інерції тіла відносно осі обертання, яка проходить через точку .

Другий доданок у (29.3) перетворимо таким чином:

,

де – радіус-вектор центра мас, який проведено з точки .

Таким чином, приходимо до висновку, що кінетична енергія твердого тіла визначається співвідношенням

. (29.4)

У перший доданок входять тільки величини, які характеризують поступальний рух, у третій доданок – тільки величини, що характеризують обертальний рух. Другий же доданок містить величини, що характеризують як поступальний, так і обертальний рух.

2. Коли за точку взяти центр мас тіла , то (вектор, який проведено від точки до точки ) буде дорівнювати нулю й формула для кінетичної енергії твердого тіла (29.4) спроститься таким чином:

. (29.5)

Тут швидкість центра мас; – момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас.

Таким чином, якщо розбити плоский рух тіла на поступальний зі швидкістю центра мас і обертальний навколо осі, що проходить через центр мас, то кінетична енергія розпадається на два незалежні доданки, один з яких визначається тільки величинами, що характеризують поступальний рух, а другий – тільки величинами, що характеризують обертання.

§10 Рівняння руху і рівноваги твердого тіла. Прискорення циліндра, який котиться без ковзання з похилої площини [Error: Reference source not found,Error: Reference source not found]

1. Для того щоб знайти швидкість довільної точки твердого тіла, яка визначається радіусом-вектором , потрібно знати вектор швидкості поступального руху деякої точки твердого тіла та вектор кутової швидкості відносно миттєвої осі обертання, яка проходить через цю точку: . Тобто для визначення стану твердого тіла потрібно знати 6 скалярних величин. Це означає, щоб визначити стан твердого тіла в будь який момент часу потрібно шість незалежних числових рівнянь. Замість них можна взяти два незалежних векторних рівняння. Такими є рівняння руху центра мас

(30.1)

й рівняння моментів

. (30.2)

Рівняння (30.1) та (30.2) є рівняннями руху твердого тіла, які визначають стан твердого тіла в будь-який момент часу.

Рівняння моментів (30.2) можна брати відносно довільної нерухомої точки або відносно центра мас твердого тіла. Можна також це рівняння брати відносно довільної точки, для якої швидкість в будь-який момент часу є паралельною швидкості центра мас.

У рівняння (30.1) і (30.2) входять тільки зовнішні сили. Внутрішні сили не впливають на рух центра мас і не можуть змінити момент імпульсу тіла. Вони можуть змінювати тільки взаємне розміщення й швидкості матеріальних точок тіла. Але для абсолютно твердого тіла такі зміни неможливі. Таким чином, внутрішні сили не впливають на рух твердого тіла.

2. Якщо тверде тіло знаходиться у спокої, то рівняння (30.1) і (30.2) переходять в

, . (30.3)

Співвідношення (30.3) є умовами рівноваги твердого тіла. При їх виконанні центр мас може рухатися прямолінійно й рівномірно з довільною швидкістю, а саме тіло може обертатися з постійною кутовою швидкість.

Коли тверде тіло знаходиться у рівноважному стані, то результуюча зовнішніх сил дорівнює нулю. Звідси випливає, що момент цих сил у стані рівноваги не залежить від положення точки , відносно якої він шукається. Тому при розв’язанні будь-якої задачі на рівновагу твердого тіла точку можна вибирати довільно. Це можна використовувати для спрощення самого розв’язку.

Рисунок 30.1

3. Як приклад застосування рівнянь руху твердого тіла розглянемо задачу про знаходження прискорення центру мас циліндру радіуса , що котиться без ковзання по похилій площині, кут нахилу якої дорівнює (див. рис. 30.1).

За умовою циліндр рухається без ковзання. Це означає, що швидкість тіла в точці дотику дорівнює нулю. Відсутність ковзання забезпечується дією сил з боку похилої площини на циліндр: нормальної складової сили реакції опори та сили тертя спокою . Модуль сили тертя спокою може набувати будь-якого значення: від 0 до , де – коефіцієнт тертя. При скочуванні сила тертя спокою встановлюється саме такою, щоб не було ковзання. Якщо дотична сила, яка потрібна для цього, перевищує , то чисте скочування неможливо – воно буде супроводжуватися ковзанням.

Для знаходження прискорення центра мас використаємо рівняння руху (30.1)

(30.4)

та рівняння моментів (30.2) відносно осі, що проходить через центр мас

. (30.5)

Рівняння (30.4) спроектуємо на вісь (див. рис. 30.1) і отримаємо

. (30.6)

Тут використали, що проекція сили тяжіння на вісь дорівнює . Далі рівняння (30.5) спроектуємо на вісь обертання і знайдемо

. (30.7)

У цьому рівнянні використали, що, згідно до визначення моменту сили, , а й , тому що плече цих сил дорівнює нулю.

Позначимо через лінійну швидкість точки . Вона пов’язана зі швидкість точки (через яку проходить вісь обертання) співвідношенням . За умови відсутності ковзання , тому . Звідси для лінійного прискорення точки знаходимо

. (30.8)

Далі розв’язуємо систему рівнянь (30.6) – (30.8) відносно і отримуємо

. (30.9)

Якщо врахувати, що момент інерції циліндра відносно осі обертання дорівнює , то (30.9) для шуканого прискорення циліндра набире вигляду

. (30.10)

Література

1. Жданов Л.С., Жданов Г.Л. Фізика для середніх спеціальних навчальних закладів.—К.: Освіта, 2010.

2. В.Ф.Дмитрієва. Фізика. К.: Техніка. 2008. 648 с.

3.Римкевич А.П. Збірник задач з фізики для 9-11 класів середньої школи.—К.: Рад.шк., 1991.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

  • Додано
    01.03.2018
  • Розділ
    Фізика
  • Клас
    11 Клас
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    248
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    BI537524
  • Вподобань
    0
Курс:«Google сервіси в роботі вчителя»
Левченко Ірина Михайлівна
16 годин
700 грн
190 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №BI537524
За публікацію цієї методичної розробки Угорчук Володимир Васильович отримав(ла) свідоцтво №BI537524
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Шкільна міжнародна дистанційна олімпіада «Всеосвiта Зима – 2018-2019»

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти