Сьогодні о 18:00
Вебінар:
«
PRO-акаунт на «Всеосвіті» як інструмент саморозвитку та професійної самореалізації
»
Взяти участь Всі події

Числа Фібоначчі навколо нас

Математика

Для кого: 7 Клас, 8 Клас, 9 Клас, 10 Клас, 11 Клас, 12 Клас, Дорослі

11.11.2020

1619

34

0

Опис документу:
Робота написана грамотно, послідовно, логічно викладений теоретичний матеріал, наведена велика кількість прикладів, що ілюструють теоретичні положення. Складається із вступу, трьох розділів, загальних висновків та переліку використаних джерел. Робота є дослідницькою в області прикладної математики, розкрила тему у повній мірі. Усі розглянуті теоретичні методи дають змогу використовувати їх при розв’язуванні практичних задач.
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Міністерство освіти і науки України

Мала Академія Наук

НАУКОВА РОБОТА

з математики

на тему

Числа Фібоначчі навколо нас

Виконав(ла)

2020

ЗМІСТ

ВСТУП 3

1. ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ ТА ВЛАСТИВОСТІ 5

1.1 Відкриття Леонардо Фібоначчі 5

1.2 Числа Фібоначчі та їх властивості 8

1.3 Задачі, пов´язані з числами Фібоначчі 10

1.4 Розподіл сторін квадрата на частини за законом чисел Фібоначчі 12

2. ДЕЯКІ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРІЇ ЧИСЕЛ ФІБОНАЧЧІ 15

2.1 Золотий переріз і числа Фібоначчі 15

2.2 Послідовність Фібоначчі – Нарайани 16

2.3 Деякі узагальнення чисел Фібоначчі 18

3. ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ НАВКОЛО НАС 21

3.1 Пропорції Фібоначчі в природі 21

3.2 Пропорції Фібоначчі в архітектурі 24

3.3 Числа Фібоначчі в різних сферах 25

3.4 Числа Фібоначчі у винаходах людини 27

ВИСНОВКИ 29

Список використаних джерел 31

ВСТУП

У математиці існує багато важких і цікавих задач, які не пов'язані з чиїмось ім'ям, а швидше носять характер свого роду "математичного фольклору". У кожній з таких задач ми маємо справу з маленькими математичними теоріями, що мають свою історію, свою проблематику і свої методи, - усе це, зрозуміло, тісно пов'язане з історією, проблематикою і методами "королеви наук".

Такою теорією є і теорія чисел Фібоначчі. Числа Фібоначчі, які виросли зі знаменитої "задачі про кроликів", що має семисотп'ятидесятирічну давність, і досі залишаються однією з самих захоплюючих об’єктів математики.

Задачі, пов'язані з числами Фібоначчі, наводяться у багатьох популярних виданнях по математиці, розглядаються на заняттях шкільних математичних гуртків, пропонуються на математичних олімпіадах.

B даній роботі розглядаються числа послідовності Фібоначчі, їх властивості, a також тісно пов'язаний з цією темою феномен «золотого перерізу», в якому багато вчених бачать одне із найбільш яскравих проявів гармонії природи.

Загадкові властивості чисел Фібоначчі як і «золотий переріз» володіли думками і почуттями багатьох видатних мислителів минулого і продовжують хвилювати сучасників не заради самих математичних властивостей, a тому, що вони є невід’ємними від структурної єдності об’єктів природи та цінностей об’єктів мистецтва.

Актуальність теми даної роботи зумовлена тим, що числа Фібоначчі як об’єкт математики продовжують цікавити дослідників і цей напрям розвивається далі, знаходячи нові застосування. Крім того, ця тема пов’язана з проблемою існування гармонії у світі.

Об’єкт дослідження - числа Фібоначчі та їх вияви у різноманітних сферах людської діяльнocті. Предметом є властивості досліджуваного математичного об’єкта - чисел Фібоначчі.

Метою роботи є вивчення послідовності чисел Фібоначчі. Для реалізації поставленої мети поставлені наступні завдання:

  • розглянути числа Фібоначчі, їх властивості та узагальнення;

  • познайомитись з прикладами присутності чисел Фібоначчі в навколишньому світі, їх практичним застосуванням;

  • ознайомитись із сучасним станом розвитку тематики чисел Фібоначчі.

Методом дослідження є робота з інформаційними джерелами, аналіз та узагальнення проблем, що розглядаються.

Основним результатом, який пов’язаний з науковою новизною роботи, є розгляд чисел Фібоначчі у загальнонауковому сенсі, підхід до їх присутності навколо нас з різних точок зору – за та проти.

1. ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ ТА ВЛАСТИВОСТІ

1.1 Відкриття Леонардо Фібоначчі

Леонардо Пізанський (близько 1180 — близько 1240), більш відомий як Фібоначчі - італійський математик 13 століття, був безумовно, одним з найвидатніших математиків європейського середньовіччя: автор математичних трактатів, завдяки яким Європа довідалася про вигадану індіанцями позиційну систему числення, відому зараз як арабські цифри. Леонардо розглянув також ідею так званих чисел Фібоначчі [21, c.15].

Про походження псевдоніму Фібоначчі існують версії. За однією з них, його батько мав прізвисько Боначчі («Добродушний»), а сам Леонардо прозивався filius Bonacci («син добродушного»). За іншою, Fibonacci походить від фрази Figlio Buono Nato Ci, що в перекладі з італійської означає «хороший син народився».

Батько Фібоначчі у торгових справах часто бував у Алжирі, і Леонардо вивчав там математику у арабських вчителів. Пізніше відвідав Єгипет, Сирію, Візантію, Сицилію. Леонардо вивчав праці математиків країн ісламу (таких як аль-Хорезмі і Абу Каміл); завдяки арабським перекладам він ознайомився також з досягненнями античних та індійських математиків. На основі засвоєних ним знань Фібоначчі написав ряд математичних трактатів, що представляють собою видатне явище середньовічної західноєвропейської науки.

Фібоначчі написав ряд наукових трактатів: «Книга абака», «Практика геометрії», «Книга квадратів». По цих книгах, які перевершували за своїм рівнем арабські і середньовічні європейські твори, вивчали математику мало не до часів Декарта (XVII століття).

Значну частину засвоєних ним знань Фібоначчі виклав у своїй видатній "Книзі абака". Ця книга містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу, викладені з винятковою повнотою і глибиною. Вона відіграла значну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Саме за цією книгою європейці познайомилися з арабськими цифрами.

У «Книзі абака» Фібоначчі описав послідовність, названу пізніше його іменем — послідовність Фібоначчі. Ця послідовність була відома ще в Стародавній Індії, задовго до Фібоначчі. Свою нинішню назву числа Фібоначчі отримали завдяки дослідженню властивостей цих чисел.

Послідовність Фібоначчі визначається як ряд чисел, в якому кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, …

Відношення двох сусідніх чисел у послідовності Фібоначчі прямує до золотого перетину, числа, відомого ще в античності.

Леонардо зробив відкриття цих чисел (згодом названих його ім'ям) випадково. У 1202 році він намагався вирішити практичну задачу: який максимальний приплід може дати одна пара кроликів за рік і створити формулу, яка описує послідовність їх розмноження.

Ось ця задача, від якої народилася послідовність Фібоначчі. Сутність своєї "задачі про розмноження кроликів" Фібоначчі сформулював гранично просто:

"Нехай в обгородженому місці є пара кроликів (самка і самець) в перший день січня. Ця пара кроликів народжує нову пару кроликів в перший день лютого і потім в перший день кожного наступного місяця. Кожна новонароджена пара кроликів стає зрілою вже через місяць і потім через місяць дає життя новій парі кроликів. Виникає питання: "Скільки пар кроликів буде в обгородженому місці через рік, тобто через 12 місяців з початку розмноження?".

Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару. На 3-й місяць ця пара дасть перше потомство і, отже, вже буде 2 пари. На четвертий місяць матимемо 2 + 1 = 3 пари (з двох наявних пар потомство дасть лише перша). На п’ятий місяць буде 3 + 2 = 5 пар, на шостий 5 + 3 = 8 (бо потомство дають тільки ті пари, які народилися не пізніше четвертого місяця). і т. д.

Як наслідок виникає послідовність:

Рис. 1.1. Послідовність розмноження кроликів

Загальна кількість кроликів на кроці у 2 місяці і складає послідовність Фібоначчі [1].

Цікаво, що насправді такий процес розмноження кроликів є ідеалізованим – тут присутнє припущення, що новонароджена пара кроликів складається з осіб різної статі, що не обов’язково здійснюється. Тут Фібоначчі підійшов до задачі як математик, спростивши її, щоб отримати розв’язок. І результат – отримана послідовність - виявився незвичайним об’єктом для дослідження.

Ця послідовність чисел, яка з’являється в результаті розв’язування задачі про кроликів, має багато цікавих властивостей, а що найголовніше – неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Числа Фібоначчі виявилися, чи не самою поширеною послідовністю, що зустрічається в живій природі. Причому, на всіх рівнях. Від спіралей ДНК та біоритмів мозку до будови шишок, ананасів і соняшників.

1.2 Числа Фібоначчі та їх властивості

Розглянемо наступну числову послідовність:

u1, u2,..., un, (1.1)

в якій кожний член рівний сумі двох попередніх членів, тобто при будь-якому n > 2.

un = un-1 + un-2. (1.2)

Такі послідовності, в яких кожен член визначається як деяка функція попередніх, часто зустрічаються в математиці і називаються рекурентними.

Звернемось тепер до важливого окремого випадку послідовності (1.1), коли u1 = 1 і u2 = 1. Умова (1.2), як було тільки що зазначено, дає нам можливість знаходити послідовно один за другим всі члени цього ряду. Неважко перевірити, що в цьому випадку першими чотирнадцятьма його членами будуть числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, які нам вже зустрічались в задачі про кроликів.

В честь автора цієї задачі вся послідовність (1.1) при u1 = u2 = 1 називається рядом Фібоначчі, а її члени – числами Фібоначчі.

Для доведення властивостей чисел Фібоначчі використаємо формулу французького математика Ж.Біне (1786-1856), яка стверджує, що будь-який член un послідовності чисел можна обчислити за певним законом:

un = (q1n – q2n), (1.3)

де

q1 = , q2 = . (1.4)

Для доведення формули (1.3) можна скористатися методом математичної індукції, врахувавши специфіку означення послідовності чисел Фібоначчі. Коротко спинимося на цьому.

Неважко переконатися, що для n = 1, n = 2 формула (1.3) підтверджується.

Припустимо, що вона має місце для номерів n – 1, n – 2 і переконаємося в її справедливості для будь-якого номера n.

Отже, нехай

un-2 = (q1n-1 – q2n-2), un-1 = (q1n-1 – q2n-1).

Треба довести, що un-2 + un-1 = un = (q1n – q2n).

Справді, неважко переконатися, що 1 + q1 = q12, 1 + q2 = q22, а тому

un-2 + un-1 = = [q1n-2 (1 + q1) – q2n-2 (1 + q2)] = (q1n – q2n), що й треба було довести.

До основних властивостей чисел Фібоначчі відносяться такі:

1) Будь-яка пара сусідніх чисел ряду Фібоначчі un та un+1 задовольняє одне із рівнянь

х2 – ху – у2 = +1 (1.5)

При цьому, якщо у = un, то х = un+1.

2) Сума n перших членів ряду Фібоначчі на 1 менша від (n + 2)-го члена того самого ряду:

u1 + u2 +…+ un = un+2 – 1.

3) Сума квадратів чисел послідовності Фібоначчі визначається через добуток двох сусідніх членів того самого ряду:

u12 + u22 +…+ un2 = un · un+1.

4) Квадрат кожного члена ряду Фібоначчі, зменшений на добуток попереднього і наступного членів, дає поперемінно то +1, то -1:

un2 – un-1 · un+1 = (- 1)n+1.

  1. u1 + u3 +…+ u2n-1 = u2n.

  2. u2 + u4 +…+ u2n = u2n+1 – 1.

  3. un2 + un+12 = u2n+1.

Спинимося, наприклад, на доведенні першої властивості. Замінивши в рівнянні (1.5) невідомі х та у відповідними виразами (використовуючи формулу Біне)

y =(q1n – q2n), x = (q1n+1 – q2n+1), отримаємо:

[(q1n+1 – q2n+1)2 – (q1n+1 – q2n+1)(q1n - q2n) – (q1n – q2n)2] = ±1,

або q12n+2 – q1n+1 · q2n+1 + q22n+2 – q12n+1 + q1n · q2n+1 + q1n+1 · q2n – q22n+1 – q12n + 2q1n · q2n – q22n = ±5.

Групуємо члени з однаковими основами:

q12n · (q12 – q1 – 1) + q22n ·(q22 – q2 – 1) +

+ q1n · q2n · (-2q1q2 + q2 + q1 + 2) = ±5.

Замість q1 і q2 підставимо у вирази в дужках їх значення (1.4), дістанемо:

5a1na2n = ±5, або 5(a1a2)2 = ±5.

Але a1a2 = · = -1.

Отже, при парному n, 5·(-1)n = 5, а при n непарному, 5·(-1)n = -5.

Тим самим доведено першу властивість з наведеного переліку.

1.3 Задачі, пов´язані з числами Фібоначчі

Розглянемо декілька задач, які приводить до послідовності чисел, які тісно пов´язані з числами Фібоначчі.

Задача про ріст дерев.

Це переформульована задача про розмноження кроликів, в якій умови є менш штучними. Вона формулюється так:

«Нехай деяке дерево росте таким чином, що кожна нова гілка протягом першого року тягнеться вгору або в сторону, а потім (починаючи з другого року) щорічно дає по одному боковому пагону. Скільки гілок буде на дереві, яке виросте із саджанця без жодного бічного пагона через 1, 2, 3, 4 і т. д. років?».

Задача про розміщення листків на гілці.

Якщо листки на гільці сидять поодинці, то вони завжди ростуть навколо стебла не по колу, а по гвинтовій лінії. При цьому для кожного виду рослин характерний свій кут розбіжності двох сусідніх листів, який, як стверджують ботаніки, буває більш-менш сталий в усіх частинах стебла. Цей кут зазвичай подають дробом, який показує, яку частину кола він становить.

Так, у липи і у в’яза кут розбіжність листків дорівнює , у бука - . Зауважимо, що такий самий кут у даного виду рослин зберігається і в розміщенні гілок, бруньок, квіток.

Ботаніки стверджують, що дроби, які характеризують гвинтові вісі рослин, утворюють строгу математичну послідовність, складену з відношень сусідніх чисел Фібоначчі, тобто:

1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34,.... (*)

Нагадаємо, що рядом Фібоначчі є наступна послідовність чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…. (**)

Порівнюючи (*) та (**) помічаємо, що дроби в послідовності (*) утворюються числами Фібоначчі, які взяті через одне число.

Задача про фарбування будинків у містечку.

Будинки в містечку потрібно пофарбувати так, щоб кожен поверх виявився пофарбованим або в білий, або в блакитний колір. З естетичних міркувань, ніякі два сусідні поверхи не повинні бути пофарбованими в блакитний колір. Скількома способами можна пофарбувати будинки в містечку, дотримуючись зазначених вимог, якщо число їх поверхів визначено?

Всі можливі способи фарбування одно-, дво- і триповерхових будинків подано на малюнку (Рис. 1.2).

Зрозуміло, що одноповерхові будинки можна пофарбувати тільки двома способами, двоповерхові – трьома, триповерхові – п’ятьма способами. Це означає, що із збільшенням кількості поверхів число способів зростає так: 2, 3, 5...

Якщо в містечку є будинки з більшою кількістю поверхів, цей ряд треба продовжити. Далі, знаючи скільки в містечку одно-, двох-, трьох- і т.д. поверхових будинків, неважко отримати рішення цієї задачі.

Рис. 1.2

1.4 Розподіл сторін квадрата на частини за законом чисел Фібоначчі

Найцікавіше починається, коли ми застосовуємо отримані знання.

Рис. 1.3

На аркуші в клітинку виконаємо таку побудову. Починаємо з двох квадратів першого розміру – зі стороною, довжиною в одиницю. Зверху додаємо квадрат другого розміру. Малюємо поруч квадрат зі стороною, що дорівнює сумі сторін двох попередніх, третього розміру. За аналогією з'являється квадрат п'ятого розміру. (Рис. 1.3) І так далі, поки не набридне, - головне, щоб довжина сторони кожного наступного квадрата дорівнювала сумі довжин сторін двох попередніх. Ми бачимо серію прямокутників, довжини сторін яких є числами Фібоначчі.

Проведемо ще одне дослідження. З числового ряду Фібоначчі 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 .... оберемо деяке число. Наприклад, число 13. Воно буде стороною квадрата, площа якого буде дорівнювати 169 (Рис. 1.4).

Рис. 1.4

Потім одну сторону квадрата поділимо на дві частини, довжини яких відповідають двом попереднім числам ряду Фібоначчі - це числа 5 і 8.

Фібоначчі так сформулював одну з властивостей відкритого ним ряду: «При зведенні в квадрат будь-якого числа цього ряду виходить добуток двох сусідніх членів ряду, плюс або мінус одиниця».

У моєму прикладі сусідніми значеннями числа 13 в числової послідовності Фібоначчі є числа 8 і 21. Їх можна отримати наступним чином: 13 - 5 = 8 і 13 + 9 = 21. Добуток цих чисел дорівнює: 21·8 = 168.

Таким чином, умова поділу квадрата по закону чисел Фібоначчі виконується: 132 - 21·8 = 169 - 168 = 1. В результаті ми отримуємо різницю чисел в одиницю.

Рис. 1.5

Аналізуючи результати цього невеличкого дослідження, можна зробити висновок, що властивість ділення квадратів, виведена Фібоначчі, має певну закономірність, яку можна довести дослідним шляхом.

2. ДЕЯКІ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРІЇ ЧИСЕЛ ФІБОНАЧЧІ

2.1 Золотий переріз і числа Фібоначчі

Розглянемо рівняння х2=х+1. Додатнім коренем даного рівняння є число =.

Маємо наближене значення 1,618…

Значення називається золотою пропорцією або золотим перерізом.

Розглянемо числову послідовність, яка утворена із співвідношень сусідніх чисел Фібоначчі:

, , , , , , …(*)

Перші числа послідовності (*), мають наступні значення:

= 1, =2, =1,5, =1,66, =1,6, =1,625, =1,61538, …

Fn/ Fn-1τ=.

Тобто, якщо який-небудь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній йому (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається близько ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз, то перевершує, то не досягає його. Але неможливо дізнатися співвідношення точно, до останньої десяткової цифри. Стислості заради, ми будемо приводити його у вигляді 1,618.

Відношення сусідніх елементів у послідовності чисел Фібоначчі наближено дорівнює "золотому перерізу". І чим "далі" від початку розташовані елементи послідовності, тим ближче їх відношення до цього числа.

Цей результат підкреслює звязок між числами Фібоначчі та золотою пропорцією.

Коефіцієнт 1,618 був відомий ще давньогрецьким і давньоєгипетським математикам, які називали його "золотим коефіцієнтом" або "золотим перетином".

2.2 Послідовність Фібоначчі – Нарайани

Здавалося, що теорію чисел Фібоначчі можна вважати завершеною, поки видатний індійський математик XIV ст. Нарайана не сформулював своєї задачі про корів і теличок, яка викрила нові пристрасті математиків.

Задача Нарайана. Корова щороку приносить теличку. Кожна теличка, починаючи з четвертого току свого життя, на початку року також приносить по теличці. Скільки буде всього голів корів і телят через 20 років?

Міркуючи аналогічно, як в числах Фібоначчі, приходимо до числової послідовності

2, 3, 4, 6, 9, …, Un+1 = Un + Un-2.

Обчислюючи її члени послідовно, отримаємо, що U20 = 2745. Введемо таке означення.

Означення. Послідовністю Фібоначчі-Нарайани називатимемо послідовність

Un+1 = Un + Un-2 (2.1),

а члени цієї послідовності - числами Фібоначчі-Нарайани.

Покладемо U0 = 0.

Маємо числову послідовність 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, ….

Послідовність має такі властивості:

  1. U1 + U2 + … + Un = Un+3 – 1.

  2. U1 + U4 + U7 + … + U3n-2 = U3n-1.

  3. U2 + U5 + U8 + … + U3n-1 = U3n.

  4. U3 + U6 + U9 + … + U3n = U3n+1 – 1.

  5. Un+m = Un-1Um+2 + Un-2 Um + Un-3Um+1.

  6. U2n = Un+12 + Un-12 + Un-22.

  7. Якщо в послідовності (1) n = 7k + 4, n = 7k + 6, n = 7k, де k = 0, 1, 2, …, то Un – парне.

  8. На три діляться тільки ті члени ряду (1), порядковій номер яких має вид 8n, 8n – 1 або 8n – 3.

З означення послідовності (1.6) видно, що для того, щоб знайти деякий член послідовності, потрібно знати всі попередні члени. Для спрощення цього пропоную використати ще одну властивість.

Теорема. Для будь-яких 2 ≤ n є N і { Un}n=1∞ - послідовності Фібоначчі-Нарайани справедлива рівність

Un = CiUn--2i (2.2)

де [a] – ціла частина числа а.

Досить довге доведення цієї теореми наводити тут не будемо.

Розглянемо тільки окремі випадки.

1. Якщо n = , то формула (1.7) набирає вигляду:

U3 = CiU-2i.

2. Якщо n = , то маємо:

U3+1 = CiU+1-2i.

3. Якщо n = , то маємо:

U3+2 = CiU+2-2i.

Звідси випливають такі наслідки.

Наслідок 1. Члени послідовності Фібоначчі-Нарайани з номерами та записуються у вигляді лінійної комбінації членів цієї послідовності, починаючи з U, причому з парними номерами.

Наслідок 2. Члени послідовності Фібоначчі-Нарайани з номерами записуються у вигляді лінійної комбінації членів цієї послідовності, починаючи з U, причому з непарними номерами [9].

Послідовність Фібоначчі-Нарайани – це приклад однієї з багатьох цікавих історичних задач, яка потребує тривалого дослідження.

2.3 Деякі узагальнення чисел Фібоначчі

У математиці число Фібоначчі є формою послідовності, що рекурсивно визначається як:

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2), для цілих n > 1.

Тобто кожен елемент, окрім перших двох, є сумою двох попередніх елементів послідовності.

Послідовність Фібоначчі досліджувалася протягом тривалого часу, тому для неї було знайдено декілька узагальнень, наприклад, використання чисел, відмінних від 0 та 1 на початку, додавання більше ніж двох чисел для знаходження наступного елемента, або додавання замість звичайних чисел певних об'єктів тощо.

Узагальнення для від'ємних цілих чисел

Використовуючи рівність Fn-2 = Fn - Fn-1, можна розширити послідовність Фібоначчі для від'ємних цілих чисел. Таким чином отримаємо: … -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … та F-n = -(-1)nFn.

Узагальнення для всіх дійсних та комплексних чисел

Існує декілька узагальнень чисел Фібоначчі, які дозволяють генерувати послідовності дійсних чисел (та інколи комплексних чисел). Вони включають золотий перетин.

Послідовності Люка

Різні узагальнення послідовності Фібоначчі є видом послідовностей Люка, формулу якого наведено нижче:

U(0) = 0,

U(1) = 1,

U(n + 2) = PU(n + 1) − QU(n), де звичайна послідовність Фібоначчі є особливим випадком, коли P = 1 та Q = −1. Інший вид послідовності Люка починається з V(0) = 2, V(1) = P. Такі послідовності мають застосування у теорії чисел.

При Q = −1, послідовність називається P-послідовністю Фібоначчі, наприклад, послідовність Пелля також називається 2-послідовністю Фібоначчі.

3-послідовністю Фібоначчі є

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, …

4-послідовністю Фібоначчі є

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, …

5-послідовністю Фібоначчі є

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, …

6-послідовністю Фібоначчі є

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, …

У загальному, U(n) можна назвати (P,-Q)-послідовністю Фібоначчі, а V(n) можна назвати (P,-Q)-послідовністю Люка.

(1,2)-послідовність Фібоначчі це

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, …

Числа Фібоначчі вищих порядків

Послідовністю Фібоначчі n порядку є цілочисельна послідовність, у якій кожен елемент є сумою попередніх n елементів (за винятком перших n елементів послідовності). Звичайні числа Фібоначчі є послідовністю Фібоначчі 2 порядку. Випадки n=3 та n=4 були ретельно досліджені. Кількість композицій невід'ємних цілих чисел на частини, не менші ніж n є послідовністю Фібоначчі n порядку.

Числа трібоначчі

Числа трібоначчі є подібними до чисел Фібоначчі, але, замість того, щоб починатися з двох визначених наперед елементів, такі послідовності починаються з трьох, а кожен наступний елемент є сумою попередніх трьох.

Перші декілька чисел трібоначчі це:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, …

Подібним чином вводяться числа тетраначчі, пентаначчі, гексаначчі та гептаначчі, октаначчі, ноначчі.

3. ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ НАВКОЛО НАС

3.1 Пропорції Фібоначчі в природі

Варто було Фібоначчі вивести свою знамениту закономірність, як її прояви стали проявлятися повсюдно. Оскільки Фібоначчі любив гуляти, перша закономірність кинулася йому в очі на лісовій поляні. У ірису він нарахував 3 пелюстки, у жовтця 5, у златоцвіту 8, у деяких дельфініумів - 13, у різних видів маргариток - 34, 55, 89 (Рис. 2.1).

Ірис, 3 пел. Жовтець, 5 пел. Златоцвіт, 8 пел. Дельфініум 13 пел.

Рис. 2.1

У соснової шишки, якщо подивитися на неї з боку держака, можна виявити дві спіралі, одна закручена проти, інша - за годинниковою стрілкою. Число цих спіралей 8 і 13.

Цікавий приклад рослини - деревію, у якого число стебел (а значить і квіток) завжди є число Фібоначчі. Причина цього проста: будучи спочатку з єдиним стеблом, це стебло потім ділиться на два, потім від головного стебла відгалужується ще один, потім перші два стебла знову розгалужуються, потім всі стебла, крім двох останніх, розгалужуються, і так далі. Таким чином, кожне стебло після своєї появи "пропускає" одне розгалуження, а потім починає ділитися на кожному рівні розгалужень, що і дає в результаті числа Фібоначчі.

Взагалі кажучи, у багатьох квітів (наприклад, лілій) число пелюсток є тим чи іншим числом Фібоначчі.

Також в ботаніці відомо явище філлотаксису. Зміст його в тому, що листя на гілці розташовуються уздовж гвинтової лінії, перебуваючи один від одного на строго певній відстані і обертаючись уздовж гілки під строго певним кутом. Таке розташування носить назву спіральної симетрії.

Як приклад можна привести розташування насіння соняшнику: якщо подивитися зверху на їх розташування, то можна побачити одночасно дві серії спіралей (як би накладених одна на одну): одні закручені за годинниковою стрілкою, інші - проти. Виявляється, що число цих спіралей приблизно збігається з двома послідовними числами Фібоначчі: 34 і 55 або 89 і 144. Аналогічні факти вірні і для деяких інших квітів, а також для соснових шишок, брокколі, ананасів, і т.д.

Рис. 2.2 Соняшник і квітка ехінацеї

Ось картина звичайної цвітної капусти. Це майже п'ятикутник у контурі. Дивлячись уважно, можна побачити центральну точку, а суцвіття розташовані навколо цього центру в обох напрямках по двом спіралям.

Рис. 2.3

Для багатьох рослин (за деякими даними, для 90% з них) вірний і такий цікавий факт. Розглянемо який-небудь лист, і будемо спускатися від нього вниз до тих пір, поки не досягнемо листа, розташованого на стеблі точно так же (тобто спрямованого точно в ту ж сторону). Попутно будемо рахувати всі листя, що траплялися нам (тобто розташовані по висоті між стартовим листом і кінцевим), але розташованими по-іншому. Нумеруючи їх, ми будемо поступово здійснювати витки навколо стебла (оскільки листя розташовані на стеблі по спіралі). Залежно від того, здійснювати витки за годинниковою стрілкою або проти, буде виходити різне число витків. Але виявляється, що число витків, здійснених нами за годинниковою стрілкою і число витків, здійснених проти годинникової стрілки, і число зустрінутих листків утворюють 3 послідовних числа Фібоначчі.

Втім, слід зазначити, що є і рослини, для яких наведені вище підрахунки дадуть числа з зовсім інших послідовностей, тому не можна сказати, що явище філлотаксису є законом, - це скоріше цікава тенденція.

Які ж фізичні явища лежать в основі філлотаксису? Чому листя виростають саме так? Виявляється, що саме при такому розташуванні листя досягається максимум припливу сонячної енергії до рослини.

Живі системи також мають властивості, характерні для «золотого перетину». Наприклад: пропорції тіл, спіральні структури або параметри біоритмів тощо.

У багатьох метеликів відношення розмірів грудної і черевної частини тіла відповідає золотій пропорції. Склавши крила, нічний метелик утворює рівносторонній трикутник. Але як тільки він розведе крила, одразу видно той же принцип поділу тіла на 2, 3, 5, 8. Бабка-лютка теж створена за законами «золотої» пропорції: відношення довжини хвоста до корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста [14].

Числа Фібоначчі проявляються в морфології різних організмів. Наприклад, у морських зірок. Число променів у них відповідає ряду чисел Фібоначчі і дорівнює 5, 8, 13, 21, 34 або 55.

У людини в наборі хромосом соматичної клітини (їх 23 пари), джерелом спадкових хвороб є 8, 13 і 21 пари хромосом. Довжини фаланг пальців людини відносяться приблизно як числа Фібоначчі.

Всі бачили пташине яйце, але не всі знають, що відношення довжин від гострого кінця до точки, що позначає найширшу його частину та довжини від тупого кінця до цієї ж точки дорівнює відношенню одиниці до τ – золотої пропорції, пов’язаної з послідовністю Фібоначчі. (Рис. 2.4) [23].

Рис. 2.4

Розглянути спіраль також можна в павутині і в різних явищах природи, наприклад таких як смерч, ураган, хмари, морські хвилі. Наша галактика - це також спіраль. (Рис. 2.5)

Рис. 2.5 Спіраль Фібоначчі в космічному просторі

3.2 Пропорції Фібоначчі в архітектурі

Числа Фібоначчі і їх співвідношення, включаючи знаменитий «золотий перетин», широко зустрічаються в шедеврах світової архітектури, так як практично всі відомі архітектори використовували принципи «золотого перетину» при проектуванні та зведенні своїх архітектурних творінь. На цих же принципах створювалися і найбільші стародавні архітектурні споруди, включаючи знамениті єгипетські піраміди.

Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого перетину при їх створенні.

Згідно знаменитого архитектора Ле Корбюзьє, в рельєфі з храму фараона Сеті I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають золотому перетину. У фасаді давньогрецького храму Парфенона також присутні золоті пропорції.

Геометрія плану гробниці фараона Стародавнього Єгипту Менеса побудована з використанням пропорції, яку ми зараз пов'язуємо з золотим перетином.

Довжина граней Великої піраміди в Гізі дорівнює 783.3 фута (238,7 м), висота піраміди — 484.4 фута (147,6 м). Довжина граней, поділена на висоту, приводить до відношення φ= 1,618 (золота пропорція) [18].

Іншим прикладом використання чисел Фібоначчі і золотої пропорції в найдавнішому світі є мексиканські піраміди. Вражає уяву той факт, що піраміди в Мексиці побудовані за таким же принципом, що і єгипетські.

3.3 Числа Фібоначчі в різних сферах

Багато що в структурі поетичних творів ріднить цей вид мистецтва з музикою. Чіткий ритм, закономірне чергування ударних і ненаголошених складів, упорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Кожен вірш володіє своєю музичною формою - своєю ритмікою і мелодією. Можна очікувати, що в будові віршів виявляться деякі риси музичних творів, закономірності музичної гармонії, а отже і золота пропорція.

Почнемо з величини вірша, тобто кількості рядків в ньому. Здавалося б, цей параметр вірша може змінюватися довільно. Проте виявилося, що це не так. Наприклад, проведений Н. Васютинським аналіз віршів А.С. Пушкіна з цієї точки зору показав, що розміри віршів розподілені досить нерівномірно; виявилося, що Пушкін явно віддає перевагу розмірам в 5, 8, 13, 21 і 34 рядків (числа Фібоначчі) [3, с.196].

Багатьма дослідниками було відмічене, що вірші подібні музичним творам; у них також існують кульмінаційні пункти, які ділять вірш в пропорції золотого перетину.

Спостерігаючи за явищами, що відбуваються в природі, вчені зробили вражаючі висновки про те, що багато послідовностей подій, що відбуваються в житті, революції, катастрофи, банкрутства, періоди процвітання, закони і хвилі розвитку на фондовому і валютних ринках, цикли сімейного життя, і так далі організовуються на часовій шкалі у вигляді циклів, хвиль. Ці цикли і хвилі теж розподіляються відповідно до числового ряду Фібоначчі.

Можливо, що спираючись на ці знання, людина навчиться в майбутньому краще прогнозувати різні події і керувати ними.

Заслуга математика Фібоначчі сина купця Боначчі полягає в тому, що він зміг систематизувати накопичені вікові знання і піднести їх в легкій і зручній формі. Але пройде ще добрих сімсот років, перш ніж люди застосують інформацію про «золотий коефіцієнт» до техніки хвильового конструювання ринкових взаємин.

А станеться це після того, як в 1939 році інженер Ральф Нельсон Елліотт оприлюднить кілька статей в економічному журналі «Financial World Magazine», що стосуються ритмічності поведінки біржових індексів і цінових потоків. Згідно із запропонованою Ральфом Елліоттом моделлю, все пануючі на ринку настрої підпорядковані ритмічному розподілу: за злетом слід зниження, імпульс змінює відкат. Динамічність повторюється хвилеподібно і змінює одна одну.

Ральф Елліотт писав: "Закон природи включає в розгляд найважливіший елемент - ритмічність. Закон природи - це не якась система, не метод гри на ринку, а явище, характерне, мабуть, для ходу будь-якої людської діяльності. Його застосування в прогнозуванні революційне". Вводячи свій підхід, Ральф Елліотт був дуже конкретний. Він писав: "будь-якій людської діяльності притаманні три відмітних особливості: форма, час і ставлення, - і всі вони підкоряються послідовності Фібоначчі" [27].

Вивчивши вищевикладену послідовність, можна запропонувати використання послідовності Фібоначчі при прогнозуванні ціни, тобто в технічному аналізі.

Завдяки дослідженням американських учених Елліота, Пречтера й Фішера числа Фібоначчі ввійшли в сферу бізнесу як основа оптимальних стратегій.

3.4 Числа Фібоначчі у винаходах людини

Хочеться зупинитися на унікальному прикладі створення ефективної сонячної установки. Американський школяр з Нью-Йорка Ейдан Дуайєр звів воєдино свої знання про дерева і виявив, що ефективність сонячних електростанцій можна підвищити, якщо залучити математику. Будучи на зимовій прогулянці, Дуайер замислився, навіщо деревам такий "малюнок" гілок і листя. Він знав, що гілки на деревах розташовуються згідно послідовності Фібоначчі, а листя здійснює фотосинтез.

У якийсь момент кмітливий хлопчик вирішив перевірити, чи не допомагає таке положення гілок збирати більше сонячного світла. Ейдан побудував на своєму задньому дворі дослідну установку з маленькими сонячними батареями замість листя і перевірив її в дії. Виявилося, що порівняно із звичайною плоскою сонячною панеллю його "дерево" збирає на 20% більше енергії і на 2,5 години довше ефективно працює.

"А ще така установка займає менше місця, ніж плоска панель, збирає на 50% більше сонця взимку навіть там, де вона не дивиться на південь, та і сніг в тій кількості вона не накопичує. Крім того, дизайн у вигляді дерева значно більше підходить для міського пейзажу", - відмічає юний винахідник.

Зазначимо наостанок проведеного огляду, що існує думка, що майже всі твердження, що знаходять числа Фібоначчі в природних і історичних явищах, невірні - це поширений міф, який часто виявляється неточною підгонкою під бажаний результат [26].

ВИСНОВКИ

Краса науки полягає у відкритті нових істин, у виявленні порядку там, де ще недавно панував хаос. Дослідження чисел Фібоначчі та їх властивостей представляє інтерес з точки зору принципів пізнання єдності світу, оскільки в природі існує багато явищ, які описуються послідовностями чисел Фібоначчі. Одним із головних наслідків цих властивостей є існування так званих коефіцієнтів Фібоначчі, тобто постійних співвідношень різних членів послідовності. У природі, архітектурі, образотворчому мистецтві, математиці, фізиці, астрономії, біології й багатьох інших областях були знайдені закономірності, які описувалися числами або коефіцієнтами Фібоначчі.

Важливо відзначити, що Фібоначчі як би нагадав свою послідовність людству. Вона була відома ще древнім грекам і єгиптянам. З тих пір, як Фібоначчі відкрив свою послідовність, знайдено багато явищ природи, в яких ця послідовність, схоже, грає значну роль. Одне из них, наприклад, це філлотаксис - правило, за яким розташоване, зокрема, насіння в суцвітті соняшника.

Було встановлено, що числовий ряд Фібоначчі характеризує структурну організацію багатьох живих систем. Наприклад, спіральне розташування листя на гілці, молекули ДНК та РНК - мають структуру подвійної спіралі; її розміри майже повністю відповідають числам ряду Фібоначчі. Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Павук плете павутину по спіралі. Спірально закручується ураган. Налякане стадо північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете назвав спіраль «кривою життя». Спільна праця ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи.

Багато дослідників “золотого перерізу” в рослинному і тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до ряду Фібоначчі, як до арифметичного виразу закону гармонії.

Вивчення даної теми є актуальним і зараз, оскільки послідовність Фібоначчі використовується, зокрема, у економіці.

Саме тому можна вважати, що знайомство з даною темою є дуже цікавим і повинно починатися ще у школі.

Список використаних джерел

  1. Аракелян Грант. Математика и история золотого сечения. — Логос, 2014. — 404 с

  2. Бердукидзе А. Д., Золотое сечение. Квант № 8, 1973 [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://kvant.mccme.ru/1973/08/
    zolotoe_sechenie.htm

  3. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. М., Молодая гвардия, 1990.

  4. Воробйов Н.Н. Числа Фібоначчі. - М., Наука, 1984

  5. Гаташ В. Про красу користі і користь краси. – Вип.28. – 2001 р. - «Зеркало недели. Украина».  [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://gazeta.dt.ua/SCIENCE/pro_krasu_koristi_y_korist_krasi.html

  6. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная Математика, М.: Мир, 1998

  7. Кнут Дональд Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы. - М.: «Вильямс», 2006. — 720 с. 

  8. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. Киев, Изд-во "Вища школа", 1989 г.

  9. Кушнір І.А. Геометричні формули, що не ввійшли до шкільних підручників, К. Факт, 2002 р.

  10. Лужецький В.А. Високонадійні математичні Фібоначчі-процесори. УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2000 г.

  11. Маркушевич А.И., Возвратные последовательности, Москва, Наука, 1975.

  12. Марусева, И.В. Мишень вкуса: аксиомы и структура арт-маркетинга; графический дизайн и креатив; рекламные арт-мемы; творческий метод создания рекламы «Золотое сечение» : монография / И.В. Марусева. - Москва; Берлин: Директ-Медиа, 2016. - 308 с.: ил., схем. 

  13. Сверчевська І. Застосування золотого перерізу та його узагальнення. Математика в школі, 2002- №3.

  14. Семенюта Н. Ф. Золотая пропорция в природе и искусстве. – Гомель : БелГУТ, 2002. – 82 с.

  15. Станцо В.В., Савін А.П., Котова Г.Ю. Я пізнаю світ: дитяча математична енциклопедія – К. : Школа – 2002 р.

  16. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва, Радио и связь, 1984 г.

  17. Стахов А.П. Сакральная Геометрия и Математика Гармонии. Винница, ITI, 2003.

  18. Стелік Н. Є. Гармонія давньоєгипетської архітектури. Гірки: БГСХА. 2009, 108 с.

  19. Тарасов Л. В. Геометрія навколишнього світу.- Суми: ВТД Університетська книга, 2008.

  20. Цвєтков В. Д. Серце, золотий перетин і симетрія. — Пущино: ПНЦ РАН, 1997. — 170 с. [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://314159.ru/tsvetkov/tsvetkov2.htm

  21. Яглом И. М. Итальянский купец Леонардо Фибоначчи и его кролики. // Квант, 1984. № 7. С. 15-17

  22. Fibonacci Numbers and Nature [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

  23. http://kirdey.com/zolotiy-pereriz-z-chogo-vse-pochalosya

  24. http://www.diary.ru/~Organon/p19280903.htm?oam#more1

  25. http://www.mmf.lnu.edu.ua/index.php/dozvillia/item/470-k20131005.html

  26. The Myth That Will Not Go Away [Електронний ресурс]. – Режим доступу: https://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_05_07.html

  27. Числа Фибоначчи (Fibonacci Numbers) – это. [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://economic-definition.com/
    Other_branches_of_mathematics/
    Chisla_Fibonachchi_Fibonacci_Numbers__eto.html

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу.