Чисельні методи

Чисельні методи

Часто задачі техніки та і природознавства зводяться до відшукання розв’язку певного диференціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задовольняє певні початкові умови. Проінтегрувати таке рівняння в скінченному вигляді вдається досить рідко. При цьому дістають здебільшого такий вираз, до якого шукана функція входить неявно, а тому користуватися ним незручно.

На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу, або у вигляді деякої таблиці значень.

Розглянемо окремі методи чисельного розв’язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, розв’язаного відносно похідної. Наближений розв’язок задачі Коші записують у вигляді певної таблиці значень.

Задача Коші полягає у тому, щоб знайти розв’язок у(х) диференціального рівняння

, (1)

який задовольняє початкову умову

. (2)

Геометрично це означає, що треба знайти ту інтегральну криву у(х) рівняння (1), яка проходить через точку (х₀,у₀).

Задача Коші (1)-(2) має єдиний розв’язок, наприклад при виконанні такої теореми.

Теорема (Пікара). Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику

з центром у точці (х₀,у₀) і задовольняє в ньому умову Ліпшиця по змінній у, тобто існує число K>0, яке не залежить від х і у таке, що

(3)

для будь-яких точок (х₁,у₁) і (х₂,у₂) , то існує єдина диференційована функція у=φ(х), яка є розв’язком диференціального рівняння (1), що задовольняє початкову умову (2). Цей розв’язок визначений і неперервно диференційований принаймні на відрізку [х₀-h; x₀+h],

(4)

Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розв’язування задачі Коші (1)-(2), в яких, щоб знайти її розв’язок достатньо знати розв’язок у точці х_к. І оскільки розв’язок задачі в точці х₀ відомий з початкових умов, то ці методи дають змогу обчислити послідовно значення розв’язку в наступних точках х₁=х₀+h, х₂=х₁+h,…. З однокрокових чисельних методів розглянемо метод Ейлера.

Надалі припускатимемо, що функція f(x,y) рівняння (1) задовольняє умови теореми Пікара.

Постановка задачі

Нехай на відрізку [х₀; x₀+l], треба знайти чисельний розв’язок задачі Коші (1)-(2). Для цього відрізок [х₀; x₀+l] поділимо на n рівних частин точками х₀, х₁, х_2,...,х_n=x₀+l, де

x_k=x₀+kh (k=0,1,2,…,n), h=

Величину h називають кроком чисельного інтегрування диференціального рівняння (1).

Розв’язати задачу (1)-(2) чисельно – це означає для заданої послідовності х₀, х₁, х_2,...,х_n=b= х₀+h незалежної змінної х і числа у₀ знайти числову послідовність у₀,у₁,у_2,...,у_n, тобто для заданої послідовності значень незалежних значень шуканого розв’язку задачі Коші.

Якщо наближений розв’язок задачі (1)-(2) в точці х_к відомий, то, про інтегрувавши рівняння (1) в межах від х_к до х_к+1, знайдемо його розв’язок в точці х_к+1 за формулою

(5)

Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних методів розв’язування задачі (1)-(2).