Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця
Чисельні методи
Часто задачі техніки та і природознавства зводяться до відшукання розв’язку певного диференціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задовольняє певні початкові умови. Проінтегрувати таке рівняння в скінченному вигляді вдається досить рідко. При цьому дістають здебільшого такий вираз, до якого шукана функція входить неявно, а тому користуватися ним незручно.
На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу, або у вигляді деякої таблиці значень.
Розглянемо окремі методи чисельного розв’язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, розв’язаного відносно похідної. Наближений розв’язок задачі Коші записують у вигляді певної таблиці значень.
Задача Коші полягає у тому, щоб знайти розв’язок у(х) диференціального рівняння
, (1)
який задовольняє початкову умову
. (2)
Геометрично це означає, що треба знайти ту інтегральну криву у(х) рівняння (1), яка проходить через точку (х0,у0).
Задача Коші (1)-(2) має єдиний розв’язок, наприклад при виконанні такої теореми.
Теорема (Пікара). Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику
з центром у точці (х0,у0) і задовольняє в ньому умову Ліпшиця по змінній у, тобто існує число K>0, яке не залежить від х і у таке, що
(3)
для будь-яких точок (х1,у1) і (х2,у2)
, то існує єдина диференційована функція у=φ(х), яка є розв’язком диференціального рівняння (1), що задовольняє початкову умову (2). Цей розв’язок визначений і неперервно диференційований принаймні на відрізку [х0-h; x0+h],
(4)
Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розв’язування задачі Коші (1)-(2), в яких, щоб знайти її розв’язок достатньо знати розв’язок у точці хк. І оскільки розв’язок задачі в точці х0 відомий з початкових умов, то ці методи дають змогу обчислити послідовно значення розв’язку в наступних точках х1=х0+h, х2=х1+h,…. З однокрокових чисельних методів розглянемо метод Ейлера.
Надалі припускатимемо, що функція f(x,y) рівняння (1) задовольняє умови теореми Пікара.
Постановка задачі
Нехай на відрізку [х0; x0+l], треба знайти чисельний розв’язок задачі Коші (1)-(2). Для цього відрізок [х0; x0+l] поділимо на n рівних частин точками х0, х1, х2,...,хn=x0+l, де
xk=x0+kh (k=0,1,2,…,n), h=
Величину h називають кроком чисельного інтегрування диференціального рівняння (1).
Розв’язати задачу (1)-(2) чисельно – це означає для заданої послідовності х0, х1, х2,...,хn=b= х0+h незалежної змінної х і числа у0 знайти числову послідовність у0,у1,у2,...,уn, тобто для заданої послідовності значень незалежних значень шуканого розв’язку задачі Коші.
Якщо наближений розв’язок задачі (1)-(2) в точці хк відомий, то, про інтегрувавши рівняння (1) в межах від хк до хк+1, знайдемо його розв’язок в точці хк+1 за формулою
(5)
Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних методів розв’язування задачі (1)-(2).
Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»