Чисельне та графічне диференціювання

Опис документу:
У цьому документі йде мова про чисельне та графічне диференціювання.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Чисельне диференціювання. Графічне диференціювання

У чисельних методах чисельне диференціювання описує алгоритми для оцінки похідної математичної функції або підпрограми-функції, використовуючи значення функції, та можливо інші знання про дану функцію.

Задача чисельного диференціювання полягає в тому, щоб для заданої диференційованої функції f(x) знайти похідну в точці х0.

Чисельне диференціювання аналітично заданих функцій

В основі чисельного диференціювання аналітично заданих функцій покладене визначення похідної:

.

 Оскільки невідомо, яке значення h узяти, будується послідовність {hk} так, щоб hk0 (наприклад, ) і, відповідно, формується послідовність {Dk}, де

, k = 1,2,3,…,n,...                (6.36)

Розрахунок елементів послідовності проводять до тих пір, поки виконується умова:

.

    

Якщо відома точність , з якою потрібно знайти похідну, то умова завершення може бути такою:

.

     Порядок точності результату в цьому методі – h.

Алгоритм:
Формується послідовність {hk} так, щоб hk0 й відповідно обчислюються елементи послідовності {Dk}, для розрахунку яких замість виразу (6.36) використовується одна з отриманих формул.

Існують формули більш високих порядків точності, їх можна знайти в спеціальній літературі.

 

 Чисельне диференціювання таблично заданих функцій

 

     При розв’язанні багатьох практичних задач виникає необхідність визначення похідних від функцій, що задаються масивами даних, отриманих з експерименту. В цьому випадку безпосереднє диференціювання може дати безглузді результати, тому що не відокремлено шум, що дуже сильно впливає на похідну. Приклад зображено на рисунку 6.17, де  – корисний сигнал, – сигнал, який виміряний (з шумом).

Зрозуміло, що похідна від  буде містити дуже сильну випадкову складову, що вносить велику похибку в визначення реальної похідної від х. Практичним шляхом розв’язання цієї проблеми є згладжування сигналу, що отриманий з експерименту, шляхом інтерполяції чи апроксимації, а далі диференціювання інтерполяційного полінома (чи апроксимувальної функції). При цьому для отримання похідних вищих порядків треба ставити умову їх збігання для сигналу та його інтерполяційного полінома. Похибка похідної інтерполяційної функції  дорівнює похідній від похибки цієї функції:

тобто внаслідок лінійності операцій диференціювання та віднімання маємо

Рисунок 6.17 – Приклади корисного та виміряного сигналу

.

Графічне диференціювання

Суть графічного диференціювання полягає в тому, що за графіком функції, заданому на деякому відрізку [а;b], будується приблизно графік її похідної.

Нехай на деякому відрізку 0; х0 + Δх] заданий графік функції y=f(х) (рис. 1). З формули скінчених різниць випливає, що

де х0 < < х0+Δх.

Геометрично вираз, що розміщений праворуч, це тангенс кута нахилу хорди АВ, а вираз розміщений ліворуч — кутовий коефіцієнт дотичної в деякій точці [х0; х0 +Δx].

Для відшукання похідної в точці х0+Δх потрібно знайти тангенс кута нахилу хорди АВ.

У графічному диференціюванні при розбитті відрізока [а; b] на п частинних відрізків, не обов'язково рівних між собою, але так, щоб на кожному з них функція поводилася монотонно.

По закінченні побудови точки, аналогічні точці N, з'єднуємо ламаною, котра приблизно представляє графік похідної заданої функції f(х).

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
3
дн.
0
4
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!