і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
До визначення переможців залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Поспішайте взяти участь в акції «Методичний тиждень».
Головний приз 500грн + безкоштовний вебінар.
Взяти участь

Цикл уроків з теми Геометричні перетворення

Курс:«Основи фінансової грамотності»
Часнікова Олена Володимирівна
72 години
3600 грн
1080 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №EV587551
За публікацію цієї методичної розробки Крупка Наталя Володимирівна отримав(ла) свідоцтво №EV587551
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Оберіть документ з архіву для перегляду:
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Переміщення та його властивості. Рівні фігури.

Мета: формування поняття переміщення та рівних фігур; ви­вчення властивостей переміщення.

Поняття переміщення та рівних фігур

Розглянемо два відрізки ОМ і ON, які мають однакову до­вжину

Задамо перетворення відрізка ОМ на відрі­зок ON.

Для цього на прямих ОМ і ON введемо координати, вибравши однакові одиничні відрізки і спільний початок коор­динат О (вибравши додатний напрям — промені ОМ і ON). По­ставимо у відповідність кожній точці X відрізка ОМ точку X відрізка ON, яка має ту саму координату, що і точка X. Одер­жимо перетворення відрізка ОМ на відрізок ON. Для будь яких точок А і В відрізка ОМ відстань між образами А і В дорів­нює АВ.

Перетворення однієї фігури на іншу називають переміщенням або рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки А і В пер­шої фігури у точки А1 і В1 другої фігури так, що АВ = А1В1

Два переміщення, виконані послідовно, дають знову пере­міщення. Якщо фігура F переводиться переміщенням у фігуру F1, а фігура F1 переводиться переміщенням у фігуру F2, то перетворення фігури F на фігуру F2 також є переміщенням.

Якщо перетворення переводить фігуру F у фігуру F1, то існує перетворення, яке переводить фігуру F1 у фігуру F, яке назива­ється оберненим до даного. Перетворення, обернене до перемі­щення, також є переміщенням.

Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться переміщенням одна в одну.

Теорема: при переміщенні точки, які лежать на прямій, переходять у точки, які лежать на прямій, і порядок їх взаємного розміщення зберігається.(доведення слайд 7 презентації Переміщення)

Властивості переміщення

Із теореми випливає, що при переміщенні:

а) прямі переходять у прямі;

б) промені — у промені;

в) відрізок — у відрізок;

г) зберігаються кути між променями;

д) півплощина переходить у півплощину.

Приклади

  1. Дано два відрізки АВ = 3 см і CD = 3,1 см. Чи існує перемі­щення, яке відображає відрізок АВ на CD? Чому?

Розв'язання: ні, такого переміщення не існує, тому що при переміщенні однієї фігури в іншу зберігається довжина відрізка.

  1. Трикутник ABC рівносторонній. Чи існує переміщення, яке відображає: а) відрізок АВ на ВС; б) кут В на кут С?

Розв'язання:

А) Якщо трикутник АВС – рівносторонній, то АВ=ВС. Отже, існує таке переміщення, яке відображає відрізок АВ на відрізок ВС;

Б) Якщо трикутник АВС – рівносторонній, то <В=<С=600 , отже, існує таке переміщення, яке відображає < В на <С.

Завдання для самостійного опрацювання:

Усно:

  1. Дайте означення переміщення.

  2. Назвіть властивості переміщення.

  3. Який зв'язок переміщення має з рівністю фігур?

Письмово:

  1. Довести, що при переміщенні паралелограм переходить у паралелограм.

  2. Доведіть, що при переміщенні кути між променями зберіга­ються.

Додаткові джерела:

  1. http://literacy.com.ua/matematika/223-metodyka-dosvid-poshuk/geometriya-9--klas.html

  2. http://5fan.ru/wievjob.php?id=55676

  3. http://pidruchnyk.com.ua/333-geometrya-burda-tarasenkova-9-klas.html - підручник з геометрії 9 клас( Бурда, Тарасенкова)

  4. Презентація «Переміщення»

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Тема. Симетрія відносно точки.

Мета: формування поняття симетрії відносно точки; вивчен­ня властивостей симетрії відносно точки; формування вмінь застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач.

Поняття симетрії відносно точки

Перетворення фігур за допомогою переміщення має декілька видів. Сьогодні ми ознайомимося з перетворенням фігури за до­помогою симетрії відносно точки.

Що особливого на даній фотографії?

Точки X і X1 називаються симетричними відносно точки О, якщо точка О є серединою відрізка ХХ1

Точка О називається центром симетрії. Перетворення фігу­ри F на фігуру Ft, при якому кожна точка X фігури F перехо­дить у точку Х1 фігури F1, симетричну точці X відносно даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О.

Фігури F і F1 називаються центрально-симетричними (симетрич­ними відносно точки О)

Властивості симетрії відносно точки (центральної симетрії)

  1. Перетворення симетрії відносно точки є переміщенням.

  2. Перетворення симетрії відносно точки перетворює пряму на па­ралельну їй пряму або на себе; відрізок — на рівний і паралель­ний йому відрізок; многокутник — на рівний йому многокутник.

  3. Будь-яка пряма, що проходить через центр симетрії, відобра­жається при цій симетрії на себе. Якщо перетворення симетрії від­носно точки О переводить фігуру F у себе, то вона називаєть­ся центрально-симетричною, а точ­ка О — центром симетрії.

Якщо точка А(х;у) симетрич­на точці В(х1; у1) відносно початку координат О, то виконуються умови

Приклад

  1. Точка А(2; -3). Назвати координати точки, симетричної точці А відносно початку відліку

Розв’язування: Якщо точка А(2;-3) симетрич­на точці А1(х1; у1) відносно початку координат О, то виконуються умови

Звідси, точка А1 має координати

Отже, А1(-2; 3)

Завдання для самостійного опрацювання:

Усно:

  1. Які точки називаються симетричними відносно даної точки?

  2. Які перетворення називаються симетрією відносно даної точки?

  3. Яка фігура називається центрально-симетричною?

  4. Що таке центр симетрії фігури? Наведіть приклади центрально-симетричних фігур.

Письмово:

  1. Побудуйте довільний трикутник ABC. Побудуйте трикутник, симетричний побудованому відносно точки:

а) А;

б) В;

в) яка лежить зовні трикутника;

г) яка лежить усередині трикутника.

  1. Побудуйте чотирикутник ABCD, у якого А(1; 1), В(-1; 1), С(1; 3) і D(-1; 3). Побудуйте чотирикутник, який симетричний побудованому чотирикутнику відносно точки О.

Додаткові джерела:

  1. http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/35.html - Великий довідник школяра

  2. http://alexfrost.ucoz.ru/index/nature/0-4 - Симетрія у природі

  3. http://svitppt.com.ua/geometriya/simetriya-vidnosno-tochki0.html- презентація «Симетрія відносно точки»

  4. Ознайомитися зі вкладеним файлом «Інформаційний бюлетень - Симетрія красоти»

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Поняття про перетворення фігур.

Мета: дати уявлення учням про перетворення фігур на площині, розвивати просторове мислення, увагу, самостійність, виховувати охайність, дисциплінованість, формувати соціальну та інформаційну компетентності.

Уявіть собі, що ви жбурляєте камінець у гладінь тихого ставка і по воді колами розбігаються брижі, причому центр кожного кола розміщений саме там, де камінець торкнувся води. А тепер підніміть переднє колесо велосипеда і покрутить його-колесо не зрушить з місця, але його спиці закружляють у шаленому танці. Станьте перед дзеркалом, тримаючи в правій руці олівець - і дзеркало «перетворить « вас на лівшу, адже ваш двійник триматиме олівець у лівій руці. У шухляді вашого столу лежить косинець; ви трохи висунули шухляду – і косинець перемістився разом з нею. Так чи інакше, в кожному з цих випадків фігури, про які йдеться, зазнають певних змін, перетворень.

Ідея перетворень є однією з провідних ідей сучасної математики. За її допомогою з успіхом доводять складні твердження з різних розділів геометрії, які виходять далеко за межі шкільного курсу. За допомогою геометричних перетворень і компютерної графіки кінематографісти бентежать уяву глядача дивовижними образами і незвичайними перевтіленнями на екрані. Перетворення допомагають художникам правильно будувати композиції картин, а хімікам – досліджувати структуру кристалів.

У курсі алгебри ви вивчали поняття функції, тож згадаємо його.

Функція — це відповідність (залежність) між двома множи­нами, при якій кожному значенню змінної х з першої множини відповідає єдине значення у з другої множини.

Аналогом функції в геометрії є поняття геометричного пере­творення фігур.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Нехай АВ і CD — два відрізки, причому AC CD і BD CD.

Будемо вважати, що кожній точці першого відрізка відповідає та точка Х1 другого відрізка, яка є основою пер­пендикуляра Х1Х . Наприклад, точці А відповідає точка С, точці В відповідає точка D. Отже, кожній точці X першого відрізка відпо­відає одна точка другого відрізка. При цьому кожна точка друго­го відрізка буде поставлена у відповідність деякій точці першого відрізка. Ми отримали перетворення відрізка АВ на відрізок CD.

Приклад 2. Нехай F і F1 — два кола зі спільним центром О.

Будемо вважати, що кожній точці X кола F відпові­дає та точка X1 кола F1, яка лежить на промені ОХ. Наприклад, точці А відповідає точка С, точці В відповідає точка D.

Отже, кожній точці X кола F відповідає одна точка Х1 кола F1. При цьому кожна точка Х1 кола F1 поставлена у відповідність деякій точці кола F. Ми отримали перетворення кола F на коло F1.

Перетворенням фігури F на фігуру Ft називається така відповідність, при якій:

а) кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F1;

б) кожній точці фігури F1 відповідає деяка точка F;

в) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F1.

При цьому фігуру F1 називають образом фігури F для даного перетворення.

Приклади перетворень

Центральна симетрія Осьова симетрія

Паралельне перенесення

Поворот Подібність фігур

Приклад

  1. На малюнку задано перетворення дуги АВ кола з центром О на відрізок CD: кожній точці X дуги відповідає та точка Х1 відрізка CD, яка лежить на промені ОХ.

а) точка С є образом точки А

точка Х1 є образом точки Х

точка N є образом точки M

б) точка В кола відображається на точку D

точка M кола відображається на точку N

точка A кола відображається на точку C

в) точка Е є образом точки F

точка Х є образом точки Х1

г) Ця відповідність є перетворенням дуги на відрізок, тому що

а) кожній точці дуги відповідає єдина точка відрізка;

б) кожній точці відрізка відповідає деяка точка дуги;

в) різним точкам дуги відповідають різні точки відрізка.

Завдання

Усно:

  1. Що таке перетворення фігури F на фігуру F1?

  2. Наведіть приклади перетворення фігур.

Письмово:

  1. Розглядається відповідність між півколом з центром О і діа­метром АВ, при якій кожній точці X півкола від­повідає точка Х1 — основа перпендикуляра, опущеного з точ­ки X на діаметр АВ. Дайте відповідь на такі запитання.

а) Яка точка є образом точки С? точки N? точки А?

б) Яка точка півкола відображається на точку К? на точку В?

в) Чому ця відповідність є перетворенням півкола на відрізок?

  1. Розглядається відповідність між колом з центром О і діаметром АВ, при якій кожній точці X кола відповідає точка Х1 — основа перпендикуляра, опущеного з точки X на діаметр АВ. Дайте відповіді на такі запитання.

а) Яка точка є образом точки С? точки А?

б) Яка точка кола відображається на точку В? на точку L?

в) Чи є ця відповідність перетворенням кола на відрізок? Чому?

  1. Побудуйте образи точок А, В, С при перетворенні:

а) відрізка MN на відрізок KL, якщо відповідні точки від­різків лежать на променях з початком D;

б) променя ON на промінь ОМ, якщо відповідні точки
цих променів лежать на колі з центром
О і О переходить в О.

Додаткові джерела:

  1. https://www.youtube.com/watch?v=PSWl-F-f2Dc

  2. https://www.youtube.com/watch?v=mDDD3gGwp24

  3. http://sva.in.ua/geometria9008.php

  4. http://pidruchnyk.com.ua/333-geometrya-burda-tarasenkova-9-klas.html - підручник з геометрії 9 клас( Бурда, Тарасенкова)

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Контрольна робота №4 «Геометричні перетворення».

Мета: завдання тесту охоплюють усі основні типи завдань даної теми і забезпечують перевірку володінням поданим нижче переліком вмінь, а саме:

  • визначати центральну, осьову симетрію, поворот, паралельне перенесення, гомотетії геометричних фігур;

  • будувати ці перетворення геометричних фігур;

  • застосовувати властивості переміщення та перетворення подібності до розв’язування задач;

  • використовувати теорему про площі подібних фігур до розв’язування задач.

ВАРІАНТ 1

І частина Завдання 1 – 5 мають по чотири варіанти відповідей, із яких тільки одна є правильною. Виберіть правильну, на ваш погляд, відповідь. Правильне виконання завдання оцінюється одним балом.

1. Яка з наведених фігур не має осі симетрії?

А

Б

В

Г

квадрат

відрізок

коло

трикутник

2. Яка з наведених точок симетрична точці А(4; –3) відносно осі абсцис?

А

Б

В

Г

А1(–4; 3)

А1(4; 3)

А1(–4; –3)

А1(–3; 4)

3. Паралельне перенесення задано формулами х1 = х + 5, у1 = у – 4. В яку точку переходить початок координат при такому перенесенні?

А

Б

В

Г

(5; –4)

(–5; 4)

(5; 4)

(–5; –4)

4. В яку точку відобразиться центр кола (х + 7)2 + (у + 11)2 = 9 відносно початку координат?

А

Б

В

Г

(7; 11)

(–7; 11)

(7; –11)

(–7; –11)

5. Точка А1(–1; 4) є образом точки А (2; –8) при гомотетії з центром у початку координат. Чому дорівнює коефіцієнт гомотетії?

А

Б

В

Г

2

-2

0,5

-0,5

ІІ частина Розв’язання до завдань 6 – 7 повинне містити повне пояснення, записане у вигляді послідовних логічних дій із посиланням на теорію. Правильне розв’язання завдань 6 – 7 оцінюється двома балами.

6. Виконайте поворот трикутника АВС навколо точки А на кут 900 проти годинникової стрілки.

7. Основи і бічні сторони рівнобічної трапеції відповідно дорівнюють 4 см, 12 см і 5 см. Знайдіть площу подібної трапеції, висота якої дорівнює 6 см.

ІІІ частина Розв’язати задачу з поясненням всіх етапів розв’язання, спираючись на теоретичні знання. Правильно виконане завдання 8 оцінюється в три бали.

8. Паралельно основі трикутника проведено пряму так, що площі утвореного трикутника і трапеції рівні. Знайдіть периметр великого трикутника, якщо периметр маленького трикутника 12 см.

ВАРІАНТ 2

І частина Завдання 1 – 5 мають по чотири варіанти відповідей, із яких тільки одна є правильною. Виберіть правильну, на ваш погляд, відповідь. Правильне виконання завдання оцінюється одним балом.

1. Яка з наведених фігур має тільки одну вісь симетрії?

А

Б

В

Г

квадрат

парабола

коло

відрізок

2. Яка з наведених точок симетрична точці А(–2; 5) відносно осі ординат?

А

Б

В

Г

А1(–2; –5)

А1(2; –5)

А1(2; 5)

А1(5; –2)

3. Паралельне перенесення задано формулами х1 = х – 6, у1 = у + 3. В яку точку переходить початок координат при такому перенесенні?

А

Б

В

Г

(6; –3)

(–6; 3)

(6; 3)

(–6; –3)

4. В яку точку відобразиться центр кола (х – 8)2 + (у + 10)2 = 9 відносно початку координат?

А

Б

В

Г

(8; 10)

(–8; –10)

(8; –10)

(–8; 10)

5. Точка А1(1; 2) є образом точки А (–4; –8) при гомотетії з центром у початку координат. Чому дорівнює коефіцієнт гомотетії?

А

Б

В

Г

–4

4

0,25

–0,25

ІІ частина

Розв’язання до завдань 6 – 7 повинне містити повне пояснення, записане у вигляді послідовних логічних дій із посиланням на теорію. Правильне розв’язання завдань 6 – 7 оцінюється двома балами.

6. Виконайте поворот трикутника АВС навколо точки С на кут 900 за годинниковою стрілкою.

7. Основи і бічні сторони рівнобічної трапеції відповідно дорівнюють 6 см, 12 см і 5 см. Знайдіть площу подібної трапеції, висота якої дорівнює 12 см.

ІІІ частина Розв’язати задачу з поясненням всіх етапів розв’язання, спираючись на теоретичні знання. Правильно виконане завдання 8 оцінюється в три бали.

8. Паралельно основі трикутника проведено пряму так, що площі утвореного трикутника і трапеції рівні. Знайдіть периметр маленького трикутника, якщо периметр великого трикутника 18 см.

Відповіді

Варіант

Номер завдання

1

2

3

4

5

7

8

Варіант І

Г

В

А

А

Б

96 см2

122 см

Варіант ІІ

Б

В

Б

Г

А

324 см2

92 см

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Тема. Подібність фігур. Площі подібних фігур.

Мета: формування поняття подібності фігур; вивчення теореми про площі подібних фігур; формування вмінь застосову­вати вивчені означення і властивості до розв'язування задач.

Поняття подібності фігур

Фігури F і F1 називаються подібними, якщо кожній точці фігури F можна поставити у відповідність точку фігури F1 так, що для довільних точок X і Y фігури F і відповідних точок X1 і Y1 фігури F1 виконується умова , де k — те саме додатне число для всіх точок.

При цьому передбачається, що кожна точка фігури F1 має бути поставлена у відповідність якій-небудь точці фігури F. Число k називається коефіцієнтом подібності.

Іншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подіб­ність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціаль­ним знаком: . Запис F F1 читається як «фігура F подібна фігурі F1».

З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури — по­дібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).

Властивості подібних фігур

  1. Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1).

  2. Якщо фігура F подібна фігурі F1 з коефіцієнтом подібності k, то фігура F1 подібна фігурі F з коефіцієнтом .

  3. Якщо фігура F1 подібна фігурі F2 з коефіцієнтом подібно­сті k1, а фігура F2 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подіб­ності k2, то фігура F1 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом по­дібності k1· k2.

  4. Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіці­єнта подібності.

Доведемо цю властивість для многокутників.

Нехай F і F' — це два подібні n-кутники з коефіцієнтом подібності k, a S i S' — їхні площі.

З'ясуємо, чому дорівнює відношення їхніх площ. Розіб'ємо n-кутник F на п трикутників Δ1, Δ2, ..., Δп, сума площ яких дорівнює S.

Перетворення подібності, яке переводить F у F', переводить ці трикутники у трикутники , , ..., , сума площ яких до­рівнює S'.

Оскільки з урахуванням коефіцієнта подібності k основи і ви­соти трикутників Δ1, Δ2, ..., Δn дорівнюють a1 і h1, а2 і h2, ..., ап і hп, то основи і висоти трикутників , , ..., дорівнюють відповідно ka1 і kh1, ka2 і kh2, ..., kan і khn. Тоді

S' = ka1 · kh1 + ka2 · kh2 + ... + kan · khn =

= k2= k2S.

Оскільки S' = k2S,.

Отже, площі подібних многокутників відносяться як квадра­ти їхніх відповідних лінійних розмірів.

Приклади задач

  1. Сторони двох правильних n-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі? Відповідь. а2 : b2.

  2. Периметри подібних многокутників відносяться як 5 : 7, а різ­ниця площ дорівнює 864 см2. Знайдіть площі многокутників.

Розв'язання

Нехай S см2 — площа меншого многокутника, тоді (S + 864) см2 — площа більшого многокутника. Згідно з теоремою маємо , тоді 49S = 25(S + 864); 24S = 21600; S = 900 см2.

Отже, площа меншого многокутника дорівнює 900 см2, а площа більшого 900 + 864 = 1764 (см2).

Відповідь. 900 см2 і 1764 см2.

  1. Пряма, перпендикулярна до висоти трикутника, ділить його площу навпіл. Знайдіть відстань від цієї прямої до вершини трикутника, з якої проведено висоту, якщо вона дорівнює h.

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC BD AC, FK BD, SΔFВК SΔFKC, BD = h.

ΔFBK ΔАВС (за двома кутами), тоді . Враховуючи, що SΔABC = 2SΔFBK BD = h, маємо = , звідси BS2 = BS, або BS = = .

Відповідь. .

  1. На стороні АВ трикутника ABC взято довільну точку D і з неї проведено відрізки DE і DF так, що DE || AC, DF || BC. Знайдіть площу трикутника CEF, якщо площі трикутників ADF і BED відповідно дорівнюють S1 і S2 (рис. 177).

Розв'язання

Нехай S — площа трикутника CEF. ΔADF ΔBED (оскіль­ки кожний із них подібний трикутнику ABC.

Отже, , звідси .

Висоти трикутників ADF і FEC, проведені до сторін AF і FC, рівні між собою.

Тоді , звідси S = S1 = .

Відповідь. .

Завдання для самостійного опрацювання:

Усно:

  1. Наведіть приклади подібних фігур.

  2. Чи подібні будь-які рівні фігури?

  3. Чи рівні будь-які подібні фігури? При якій умові подібні фігури рівні?

  4. Про дві фігури відомо, що F2 F1 і F1 F2 з тим самим коефіцієнтом подібності k. Що можна сказати про значення коефіцієнта k і про фігури F1 і F2?

  5. Згадайте означення подібних трикутників.

  6. Сформулюйте ознаки подібності трикутників.

Письмово:

  1. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ?

  2. Периметри двох подібних многокутників відносяться як 3 : 5. Площа більшого многокутника дорівнює 40 см2. Знайдіть пло­щу другого многокутника.

Додаткові джерела:

  1. http://literacy.com.ua/attachments/article/235/06-0054.pdf

  2. http://pidruchnyk.com.ua/333-geometrya-burda-tarasenkova-9-klas.html - підручник з геометрії 9 клас( Бурда, Тарасенкова)

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Тема. Симетрія відносно прямої.

Мета: формування поняття симетрії відносно прямої; вивчення властивостей симетрії відносно прямої; формування вмінь застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач.

Поняття симетрії відносно прямої(осьової симетрії)

Точки X і X1 називаються симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром до відрізка ХХ1, тобто якщо ОХ = ОХ1 і l XX1.

Перетворення фігури F на фігуру F1, при якому кожна точ­ка X фігури F переходить у точку Х1 фігури F1, симетричну їй відносно даної прямої l, називається перетворенням симетрії відносно прямої l або осьовою симетрією. При цьо­му фігури F і F1 називаються симетричними відносно прямої l, а пряма l — віссю симетрії.

Властивості осьової симетрії

  1. Перетворення осьової симетрії є переміщенням.

  2. Осьова симетрія перетворює пряму на пряму; відрізок — на відрізок; многокутник — на рівний йому многокутник.

  3. Точки, що належать осі симетрії, відображаються самі на себе.

  4. Якщо точки М(х; у) і N(x1; y1) симетричні від­носно:

а) осі Ох, то виконується умова

б) осі Оу, то виконується умова

Якщо перетворення симетрії відносно прямої l переводить фігуру F у себе, то ця фігура називається симетричною відносно прямої l, а пряма l — називається віссю симетрії.

Осьова симетрія у природі та техниці

Якщо зверху подивитися на будь-яку комаху і подумки провести посередині пряму (площину), то ліві і праві половинки комах будуть однаковими і по розташуванню, і за розмірами, і за забарвленням. Адже ми ні разу не бачили, щоб у жука або бабки, у будь-якої іншої комахи лапи ліворуч були б ближче до голови, ніж праворуч, а праве крило метелика або сонечка було б більше, ніж ліве. Такого в природі не буває, інакше б комахи не змогли б літати.

Властивість симетричності, властиве живій природі, людина використала у своїх досягненнях, винайшовши літак, створивши унікальні будівлі архітектури. Та й сама людина є фігурою симетричною.

Симетрію можна побачити серед квітів. Осьову симетрію мають квітки сімейства розоцвітих, а центральну симетрію – сімейство хрестоцвітих. Симетрію можна побачити і на листі дерев.

Симетрія, характерна для представників тваринного світу, називається білатеральною симетрією. Проте симетрія існує і там, де її не видно на перший погляд. Фізик скаже, що всяке тверде тіло - кристал.

Хімік скаже, що всі тіла складаються з молекул, а молекули складаються з атомів. А багато атомів розташовуються в просторі за принципом симетрії.

Таким чином, дане перетворення фігур (симетрія) увійшло в математику в результаті спостереження людини за навколишнім світом. Воно зустрічається часто і повсюдно. Тому навіть не досвідчена людина зазвичай легко вбачає симетрію у відносно простих її проявах.

Розв’язування задач

  1. Трикутник MNK, у якого кут М=700, при симетрії відносно прямої переходить у трикутник ABC. Чому дорівнює кут А?

Оскільки за властивістю осьова симетрія перетворює пряму на пряму; відрізок — на відрізок; многокутник — на рівний йому многокутник, тому <М=<А. Звідси, <А=700

Відповідь: 700.

  1. Точка А(2; -3). Назвати координати точки, симетричної точці А відносно осі Ох та Оу

Розв’язування: Якщо точка А(2;-3) симетрич­на точці А1(х1; у1) відносно:

а) осі Ох, то виконується умова

Тобто,

б) осі Оу, то виконується умова

Тобто,

Відповідь: Якщо точка А(2;-3) симетрич­на відносно Ох, то А1(2; 3).

Якщо точка А(2;-3) симетрич­на відносно Оу, то А1(-2; 3).

Завдання для самостійного опрацювання:

Усно:

  1. Які точки називаються симетричними відносно прямої?

  2. Яке перетворення називається симетрією відносно даної прямої?

  3. Яка фігура називається симетричною відносно даної пря­мої?

  4. Що таке вісь симетрії? Наведіть приклади.

Письмово:

  1. Чотирикутник ABCD заданий координатами своїх вершин: А(1; 1); В(-3; 2), С(-1; -2), D(5; -3). Знайдіть координати вершин чотирикутника, який симетричний даному відносно осі: а) Ох; б) Оу.

  2. Запишіть рівняння кола, яке симетричне колу (х 1)2 + (у + 2)2 = 1 відносно:

а) осі Ох; б) осі Оу.

  1. Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій х + у = 1 відносно:

а) осі Ох; б) осі Оу.

Додаткові джерела:

  1. http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/35.html - Великий довідник школяра

  2. http://alexfrost.ucoz.ru/index/nature/0-4 - Симетрія у природі

  3. http://studopedia.com.ua/1_149121_kolo-i-yogo-rivnyannya.html - Рівняння кола

  4. http://www.yaklas.com.ua/p/geometria/9/dekartov-koordinati-na-ploshchin-15458/r-vniannia-kola-r-vniannia-priamo-15463/re-6a6fcb99-734f-4ee9-8ead-4a29dc848da8 - Рівняння кола і прямої

  5. http://svitppt.com.ua/geometriya/rivnyannya-kola.html - Презентація «Рівняння кола»

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Тема. Паралельне перенесення.

Мета: формування поняття паралельного перенесення та вивчення властивостей паралельного перенесення; формування вмінь застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач.

Поняття паралельного перенесення

Паралельне перенесення — пере­творення, при якому точки зміщуються в тому самому напрямі на ту саму від­стань.

Іншими словами, паралельним пере­несенням фігури F в напрямі променя ОА на відстань а називається перетворен­ня F на фігуру F1, унаслідок якого кожна точка X фігури F переходить у точку X1 фігури F1 у напрямі променя ОА на від­стань а.

Введемо на площині декартові коор­динати х і у. Перетворення фігури F, при якому довільна точка (х; у) переходить у точку (x + a; y + b), де а, b — ті самі числа для всіх точок (х; у), називається паралельним перенесенням.

Паралельне перенесення задається формулами Ці формули виражають координати х1, у1 точки фігури F1, у яку переходить точка (х; у) фігури F при паралельному перенесенні.

Властивості паралельного перенесення

  1. Паралельне перенесення є рухом.

  2. При паралельному перенесенні точки переміщуються вздовж паралельних прямих (або однієї прямої) на ту саму відстань.

  3. Пряма переходить у паралельну пряму (або в себе); промінь переходить у співнапрямлений промінь. Два промені назива­ються співнапрямленими, якщо дані промені паралельні й ле­жать по один бік від прямої, що проходить через їх початки, або промені лежать на одній прямій і один із них є частиною другого. На рисунку промені ОА і ВС, ОА і МА, ВС і МА — співнапрямлені.

  1. Які б не були точки А і А1 існує єдине паралельне перене­сення, при якому точка А переходить у точку А.

  2. Якщо точка А1(х1; ух) є образом точки А(х; у) при паралель­ному перенесенні, то де а, b — деякі числа.

Приклади задач

    1. Паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 3, y1 = y3. У яку точку при цьому паралельному перенесенні переходить точка А(2; 3)? Розв’язування. Оскільки паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 3, y1 = y3, то точка А1(х1; у1), яка є образом точки А(2; 3), буде мати координати х1 = 2 + 3=5, y1 = 3 – 3 Відповідь: А1(5; 0)

    1. Паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 1, у1 = - у + 2. Точка А при цьому переходить у точку В(2; 3). Знай­діть координати точки А. Розв’язування. Оскільки паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 1, у1 = - у + 2, а точка В є образом точки А, то можна знайти координати точки А: 2=х+1, х=2-1=1; 3=-у+2, -у=1, у=-1. Звідси, точка А має координати (1; -1). Відповідь: А(1; -1)

    1. Точка А(1; 2) при паралельному перенесенні переходить у точку В(3;2). Запишіть формули цього паралельного пере­несення.

Розв’язування. Оскільки паралельне перенесення задається формулами Точка В є образом точки А, то точка А має координати (х; у), а точка В(х1; у1). Підставимо відповідні координати у формули: Звідси, Запишемо формули нашого паралельного перенесення: Відповідь:

Завдання для самостійного опрацювання:

Усно:

  1. Дайте означення паралельного перенесення.

  2. Перелічіть основні властивості паралельного перенесення.

Письмово:

  1. Паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 2, y1 = y1. У яку точку при цьому паралельному перенесенні переходить точка А(4; 2)?

  2. Паралельне перенесення задається формулами х1 = х + 2, у1 = у + 5. Точка А при цьому переходить у точку В(1; -4). Знай­діть координати точки А.

  3. Точка А(2; 5) при паралельному перенесенні переходить у точку В(-3;4). Запишіть формули цього паралельного пере­несення.

Додаткові джерела:

  1. http://5fan.ru/wievjob.php?id=55676

  2. http://pidruchnyk.com.ua/333-geometrya-burda-tarasenkova-9-klas.html - підручник з геометрії 9 клас( Бурда, Тарасенкова)

  3. https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F

  4. http://svitppt.com.ua/geometriya/paralelne-perenesennya2.html - Презентація «Паралельне перенесення»

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Тема «Геометричні перетворення» розрахована на 9 уроків.

Мета: дати уявлення учням про перетворення фігур на площині, формування поняття переміщення та рівних фігур; ви­вчення властивостей переміщення, формування поняття симетрії відносно точки та відносно прямої; вивчення властивостей симетрії відносно точки та відносно прямої, формування поняття повороту та поняття паралельного перенесення вивчення властивостей повороту та паралельного перенесення, формування понять перетворення подібності й гомотетії, поняття подібності фігур; вивчення теореми про площі подібних фігур, формування вмінь застосовувати вивчені означення і властивості до розв'язування задач.

Очікувані результати:

Учень/учениця:

  1. Наводить приклади:

  • фігур та їх образів при геометричних перетвореннях, указаних у змісті;

  • фігур, які мають центр симетрії, вісь симетрії;

  • рівних і подібних фігур

  1. Пояснює, що таке: переміщення (рух); образ фігури при геометричному переміщенні; фігура, симетрична даній відносно точки (прямої); симетрія відносно точки (прямої); паралельне перенесення; поворот; рівність фігур; перетворення подібності; подібність фігур

  2. Формулює:

  • означення: рівних фігур; подібних фігур;

  • властивості: переміщення; симетрії відносно точки (прямої); паралельного перенесення; повороту; перетворення подібності;

  • теорему про відношення площ подібних многокутників

  1. Зображує і знаходить на малюнках фігури, в які переходять дані фігури при різних видах переміщень та перетворенні подібності

  2. Обчислює довжини відрізків у подібних фігурах, площі подібних фігур

  3. Обґрунтовує: симетричність двох фігур відносно точки (прямої); наявність у фігури центра (осі) симетрії; рівність фігур із застосуванням переміщень; подібність фігур

  4. Доводить:

  • властивості: симетрії відносно точки (прямої); паралельного перенесення; повороту; перетворення подібності;

  • теорему про відношення площ подібних трикутників

  1. Застосовує вивчені означення й властивості до розв’язування задач

Вхідний тест з теми «Геометричні перетворення»

Користуючись рис. 186, виконайте завдання 15.

І рівень

  1. Укажіть пряму, яка симетрична прямій ВС відносно осі абсцис.

A FK Б TS

В RS Г FD

  1. Укажіть трикутник, який віднос­но точки О симетричний трикутни­ку АКО.

A MNO Б CFO

В NRO Г RST

  1. Укажіть точку, у яку при повороті навколо точки О на 90° проти годинникової стрілки .переходить точка К.

A А Б М В L Г В

II рівень

  1. При паралельному перенесенні точка D переходить у точку К. Укажіть точку, у яку при цьому переходить точка R.

A R Б L В S Г М

  1. Укажіть точку, у яку переходить точка Н у наслідок гомотетії з центром О і коефіцієнтом 3.

А В Б А В D Г К

  1. Дано два кола. Радіус першого кола дорівнює R. Діаметр дру­гого кола в 3 рази більший від діаметра першого. Знайдіть довжину другого кола.

А πR2 Б 2πR В R Г 9πR2

III рівень

  1. Запишіть рівняння кола, у яке переходить коло (x 1)2 + (y – 1) = 1 при симетрії відносно осі Ох.

A (x – 1)2 + (y + 1)2 = l Б (х – 1)2 + (у 1)2 = 1

B (x + 1)2 + (y1)2 = l Г (x + 1)2 + (у + 1)2 = 1

  1. Запишіть рівняння прямої, у яку переходить пряма х + у = 1 при гомотетії з центром у початку координат і коефіцієн­том 2.

А 2х + у = 2 Б х + 2у = 2

В 2х + 2у = 2 Г х + у = 2

  1. Запишіть рівняння кола, у яке переходить коло х2 + у29 = 0 при пара-лельному перенесенні, при якому точка А(0; 1) пере­ходить у точку B(1; 2).

А (х – 1)2 + (у 1)2 = 9 Б (х + 1)2 + (у 1)2 = 9

В (x + l)2 + (y + 1)2 = 9 Г (x – 1)2 + (y + 1)2 = 9

IV рівень

  1. Знайдіть координати точки В, у яку переходить точка А
    при повороті її навколо початку координат на кут 60° проти
    годинникової стрілки.

А В Б B(0; 2) В В(2; 0) Г В

  1. Зашипіть рівняння прямої, у яку переходить пряма х-у = 1
    при її повороті навколо початку координат на кут 135° за годинниковою стрілкою.

А х 1 = 0 Б х + 1 = 0

В y + 1 = 0 Г y 1 = 0

  1. Знайдіть суму координат центра симетрії прямих 2х – у – 2 = 0 і

3х – у – 5 = 0.

А 5 Б 6 В 7 Г 8

Відповіді:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

б

в

а

в

б

в

г

б

а

в

а

в

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Поворот.

Мета: формування поняття повороту та вивчення властивостей повороту; формування вмінь застосовувати вивчені озна­чення і властивості до розв'язування задач.

Поворотом фігури F навколо точки О на кут а називається таке перетворення, при якому будь-яка точка X фігури F переходить у точку Х1 фігури F1 таку, що ОХ = ОХ1 і XOX1= α.

Поворот може здійснюватися за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки. Поворот фігури задається кутом повороту і центром повороту.

Властивості повороту

  1. Перетворення повороту є переміщенням.

  2. Центральна симетрія є поворотом на 180°.

  3. При повороті пряма переходить у пряму; кут — у рівний кут; відрізок — у рівний відрізок; будь-яка фігура переходить у рівну їй фігуру.

  4. Правильний трикутник під час повороту навколо центра три­кутника на 120° переходить у себе.

  5. Квадрат при повороті навколо центра квадрата на 90° (180°, 270°) переходить у себе.

  6. Правильний шестикутник при повороті навколо свого цен­тра на 60° (120°, 180°, 240°, 270°) переходить у себе.

  7. Пра­вильний многокутник при повороті навколо свого центра на кут переходить у себе.

  8. Якщо точка В(х1; у1) є образом точки А(х; у) при повороті на 90° відносно початку координат:

а) за годинниковою стрілкою, то виконується умова

б) проти годинникової стрілки, то виконується умова

Фігури, що мають симетрію п-го порядку

Означення

Якщо фігура Ф внаслідок повороту навколо деякої точки О на кут (п – натуральне число) переходить сама в себе, то фігура Ф має симетрію обертання п-го порядку.

Правильний трикутник – симетрія обертання 3 порядку

Правильний шестикутник – симетрія обертання 6 порядку

Правильний п’ятикутник, п’ятикутна зірка – симетрія обертання 5 порядку

Квадрат – симетрія обертання 4 порядку

Застосування повороту до розв’язування задач

Задача

На сторонах АВ і АС трикутника АВС побудовані правильні трикутники АВМ і АСН. Довести, що відстань між точками М і Н дорівнює стороні ВС.Розв’язання. Розглянемо поворот площини навколо центра А на кут 60. Оскільки МАВ = 60 і АМ = АВ, то при цьому перетворенні точка М перейде в точку В. Отже, поворот перетворює відрізок МН у відрізок ВС, звідки за властивістю повороту МН = ВС.

Н

М

В

А

С

Виконання вправ

Кросворд «Перевір себе»

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

По вертикалі

1.Перетворення площини, яке зберігає відстані

По горизонталі

1.Перетворення, при якому кожна точка повертається на один і той же кут навколо іншої точки.

2.Навколо нього відбувається поворот, її має коло і круг.

3.Інша назва переміщення.

4.Буває центральна і осьова.

5.Центральна симетрія переводить промені в …

6.Послідовне виконання двох чи більше перетворень площини.

7.У планіметрії розглядаються перетворення на…

8.Інша назва переміщення.

9.Многокутник, який має симетрію обертання 5 порядку, інша назва.

10.Правильна геометрична фігура, яка не має центра симетрії, але має три осі симетрії.

11.Фігуру повернули за годинниковою стрілкою на 45, а потім проти годинникової стрілки на 50. В результаті таких перетворень отримали поворот на… градусів. В якому напрямі?

Відповіді. По вертикалі

1. Переміщення.

По горизонталі

1.Поворот. 2.Центр. 3.Рух. 4.Симетрія. 5.Промені. 6.Композиція.

7.Площина. 8.Ізометрія. 9.Пентаграма. 10.Трикутник. 11.П’ять.

Письмово:

  1. Побудуйте довільні точки А, В, О. Виконайте поворот точок А і В навколо точки О на кут, який становить:

а) 45° за годинниковою стрілкою;

б) 60° проти годинникової стрілки.

  1. Побудуйте трикутник ABC і виберіть точку О поза ним. Вико­найте поворот трикутника ABC навколо точки О на кут 90°:

а) за годинниковою стрілкою;

б) проти годинникової стрілки.

Додаткові джерела:

  1. http://www.yaklas.com.ua/p/geometria/9/geometrichn-peretvorennia-15502/paralelne-perenesennia-povorot-15505/re-e40434d7-d19c-476b-af2d-5d553f6b5ebc - Паралельне перенесення і поворот

  2. http://svitppt.com.ua/geometriya/povorot.html - Презентація «Поворот»

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Тема. Перетворення подібності та його властивості. Гомотетія.

Мета: формування понять перетворення подібності й гомотетії; вивчення властивостей перетворення подібності; форму­вання вмінь застосовувати вивчені властивості й озна­чення до розв'язування задач.

Поняття перетворення подібності й гомотетії

Перетворення фігури F на фігуру F1 називається перетво­ренням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в ту саму кількість разів.

Або іншими словами: якщо довільні точки X і Y фігури F при пере­творенні подібності переходять у точки Х1 і Y1 фігури F1, то Х1Y1 = k · XY, де k — те саме число для будь-яких точок X і Y.

Число k називається коефіцієнтом подібності. Якщо k = 1, то перетворення подібності є переміщенням.

Нехай F — дана фігура і О — фіксована точка. Че­рез довільну точку X фігури F проведемо промінь ОХ і відкладе­мо на ньому відрізок ОХ1, який дорівнює k · ОХ, де k — додатне число.

Перетворення фігури F, при якому кожна її точка X пере­ходить у точку Х1 і ОХ1 = k · OX, називається гомотетією відносно точки О; число k — коефіцієнтом гомотетії; фігури F і F1 — гомотетичними.

Властивості гомотетії

  1. Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворенням подібності з кое­фіцієнтом k.

  2. При гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе; відрізок — у паралельний йому відрізок; кут — у рівний йому кут.

  3. На координатній площині гомотетія точок А(х; у) і В(х1; у1) задається формулами:

Властивості перетворення подібності

  1. Перетворення подібності переводять прямі у прямі; проме­ні — у промені; відрізки — у відрізки.

  2. Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом подібності k = 1.

  3. Перетворення подібності зберігає кути між променями.

Приклади задач

  1. Побудувати трикутник, гомотетичний трикутнику АВС з центром О і коефіцієнто, який дорівнює 3.

Розв’язування. На рисунку трикутник A1B1C1 гомотетичний трикутнику ABC з центром O і коефіцієнтом, який дорівнює –3:

Завдання для самостійного опрацювання:

  1. Побудуйте фігуру, яка гомотетична заданому трикутнику ABC, прийнявши за центр гомотетії одну з його вершин, якщо кое­фіцієнт гомотетії дорівнює 2.

  2. Побудуйте фігуру, яка гомотетична чотирикутнику ABCD при гомотетії з коефіцієнтом 0,5 і центром О — точкою перетину діагоналей.

  3. Запишіть рівняння кола, на яке відображається коло (х 2)2 + (у + 2)2 = 16 при гомотетії з центром у початку координат і коефіцієнтом, який дорівнює:

а) 2; б) 0,5.

Додаткові джерела:

  1. http://svitppt.com.ua/geometriya/peretvorennya-podibnosti-ta-yogo-vlastivosti-gomotetiya.html - Презентація «Перетворення подібності. Гомотетія»

  2. http://www.myshared.ru/slide/1115096/ - Презентація «Перетворення подібності та його властивості. Гомотетія»

  3. http://www.geogebra.org/m/1926611

  4. http://studopedia.com.ua/1_149121_kolo-i-yogo-rivnyannya.html - Рівняння кола

Опис презентації окремими слайдами:
Слайд № 1

Геометрія, 9 клас Косарська ЗОШ, Скічко Т.М.

Слайд № 2

Поняття про перетворення фігур Перетворенням фігури F у фігуру F′ називається така відповідність, при якій: кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F′; кожній точці фігури F′ відповідає деяка точка фігури F; різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F′. X X’ Y Y’

Слайд № 3

Означення Переміщенням (рухом) називається перетворення фігури, внаслідок якого зберігаються відстані між точками даної фігури. X′ F′ Y′

Слайд № 4

Види переміщення

Слайд № 5

Властивості переміщення: два послідовні переміщення знов дають переміщення; F F′ перетворення, обернене до переміщення, також є переміщенням.

Слайд № 6

Основна властивість переміщення: Теорема. Внаслідок переміщення точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і порядок їх взаємного розміщення зберігається. A B C A’ B’ C’ Дано: ВАС; В лежить між точками А і С; А′ – образ точки А; В′ – образ точки В; С′ – образ точки С при переміщенні. Треба довести: Точка В′ лежить на прямій А′С′ між точками А′ і С′.

Слайд № 7

Доведення АС=АВ+ВС (аксіома вимірювання відрізків); АС=А′С′, АВ=А′В′, ВС=В′С′ (за означенням переміщення). Отже, А′С′= А′В′+В′С′. A B C A’ B’ C’ Значить: точка В′ лежить на прямій А′С′ між точками А′ і С′, тобто А′, В′, С′ лежать на одній прямій.

Слайд № 8

Наслідки Наслідок 1. Внаслідок переміщення прямі переходять у прямі, промені – в промені, відрізки – у відрізки. Наслідок 2. Внаслідок переміщення зберігаються кути між променями. а’ А’ B’

Слайд № 9

Теорема (про зв’язок переміщення і накладання) Будь-яке накладання є переміщенням, і навпаки: будь-яке переміщення є накладанням. Наслідок Рівні фігури переводяться одна в одну переміщенням, і навпаки: під час переміщення будь-яка фігура переходить у рівну їй фігуру.

Слайд № 10

Означення Дві фігури називаються рівними, якщо вони суміщаються переміщенням.

Слайд № 11

Перевір себе Дайте означення переміщення. Назвіть властивості переміщення. Який зв’язок переміщення має з рівністю фігур?

Опис презентації окремими слайдами:
Слайд № 1

Геометричні перетворення Геометрія є прообразом краси світу (Й.Кеплер)

Слайд № 2

Переміщенням (або рухом) називається перетворення фігури, внаслідок якого зберігаються відстані між точками даної фігури. Дві фігури називаються рівними, якщо вони суміщаються переміщенням Властивості переміщення: два послідовні переміщення знову дають переміщення; перетворення, обернене до переміщення також є переміщення; внаслідок переміщення точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і порядок їх взаємного розміщення зберігається; при переміщенні прямі переходять у прямі, промені – в промені, відрізки – у відрізки; внаслідок переміщення зберігаються кути між променями.

Слайд № 3

Паралельним перенесенням фігури F у напрямі променя ОА на відстань а називається таке перетворення фігури F у фігуру F/ , внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х/ фігури F/ так, що промені ХХ/ і ОА співнапрямлені і ХХ/ =а О А Х Х/ Основна властивість паралельного перенесення: паралельне перенесення є переміщенням У прямокутній системі координат паралельне перенесення, яке переводить точку (х;у) в точку (х1; у1), задається формулами х1=х+а; у1=у+b, де a і b – деякі числа, одні й ті самі для всіх точок площини.

Слайд № 4

Основна властивість паралельного перенесення: паралельне перенесення є переміщенням У прямокутній системі координат паралельне перенесення, яке переводить точку (х;у) в точку (х1; у1), задається формулами х1=х+а; у1=у+b, де a і b – деякі числа, одні й ті самі для всіх точок площини.

Слайд № 5

Перетворенням фігури F у фігуру F/ називається така відповідність, при якій: 1) кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F/; 2)кожній точці фігури F/ відповідає деяка точка фігури F; 3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F/. Фігура F/ називається образом фігури F для даного перетворення. А А1 В Х Х1 В1 О А В А1 В1 Х Х1

Слайд № 6

При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну пряму (або в себе); промінь переходить у співнапрямлений промінь. При паралельному перенесенні точки переміщуються вздовж паралельних прямих (або однієї прямої) на ту саму відстань

Слайд № 7

Перетворенням симетрії (осьовою симетрією) відносно прямої m називаєть таке перетворення фігури F у фігуру F1 , внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1фігури F1 , симетричну Х відносно прямої m. Основна властивість осьової симетрії: Осьова симетрія є переміщенням

Слайд № 8

Осьова симетрія перетворює пряму на пряму; відрізок - на відрізок; многокутник на рівний йому многокутник. Точки, що належать осі симетрії, відображаються самі на себе. А1 А В В1 Основна властивість осьової симетрії: Осьова симетрія є переміщенням С Точки А і А1 називають симетричними відносно прямої m, якщо пряма m є серединним перпендикуляром відрізка АА1.

Слайд № 9

Якщо перетворення симетрії відносно прямої m переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої m, а сама пряма m – віссю симетрії фігури F. Скільки осей симетрії має коло? Скільки осей симетрії має прямокутник?

Слайд № 10

Якщо перетворення симетрії відносно прямої m переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої m, а сама пряма m – віссю симетрії фігури F. Скільки осей симетрії має ромб? Скільки осей симетрії має квадрат?

Слайд № 11

Якщо перетворення симетрії відносно прямої m переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої m, а сама пряма m – віссю симетрії фігури F. Скільки осей симетрії має рівнобедрений трикутник? Скільки осей симетрії має рівносторонній трикутник?

Слайд № 12

Точки А і А1 називають симетричними відносно точки О, якщо точка О є серединою відрізка АА1. Основна властивість осьової симетрії: Осьова симетрія є переміщенням А А1 O Перетворенням симетрії (центральною симетрією) відносно точки О називається таке перетворення фігури F у фігуру F1 , внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1фігури F1 , симетричну Х відносно точки О. В В1 Р

Слайд № 13

Центральна симетрія перетворює пряму на паралельну їй пряму або в ту ж саму пряму; відрізок - на відрізок; многокутник на рівний йому многокутник. А1 А В В1 О

Слайд № 14

Фігуру називають симетричною відносно точки О, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно точки О, також належить цій фігурі. Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то така фігура називається центрально-симетричною, а точка О – центром симетрії фігури F. Центр кола є його центром симетрії Р Точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії О

Слайд № 15

Поворотом фігури F навколо точки О на кут  називається перетворення фігури F у фігуру F1 , внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1фігури F1 так, що ОХ1 =ОХ і ХОХ1 =. Точку О називають центром повороту, а кут  – кутом повороту. Основна властивість повороту: поворот є переміщенням. Тобто якщо фігура F1 – образ фігури F при повороті, то F = F1 O F F1 X X1 a

Слайд № 16

Якщо внаслідок повороту навколо деякої точки О фігура F переходить у себе, то кажуть, що ця фігура має поворотну симетрію (або симетрію обертання). Правильний шестикутник переходить у себе при поворотах на кути кратні 600 Правильний трикутник переходить у себе при поворотах на кути кратні 1200 600 1200

Слайд № 17

Якщо внаслідок повороту навколо деякої точки О фігура F переходить у себе, то кажуть, що ця фігура має поворотну симетрію (або симетрію обертання). Фігура, що має дві осі симетрії, переходить у себе при поворотах на кути кратні 900 Фігура переходить сама в себе при поворотах на кути кратні 450 450 900

Слайд № 18

Перетворенням подібності (подібністю) називається таке перетворення фігури F у фігуру F1 , внаслідок якого відстані між точками змінюються в тому самому відношенні k (k>0). Число k>0 називають коефіцієнтом подібності. Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

Слайд № 19

Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F1 , внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1 фігури F1 так, що точка Х1 лежить на промені ОХ і OX1=kOX ( k – фіксоване додатне число). Відстані між точками змінюються в тому самому відношенні k (k>0). Число k>0 називають коефіцієнтом гомотетії, а самі фігури F і F1– гомотетичними O Х Х1 F F1 Основна властивість гомотетії: гомотетія є перетворенням подібності.

Слайд № 20

При гомотетії: образом прямої є пряма; образом відрізка є відрізок; O Х Х1 A A1

Слайд № 21

При гомотетії: образом кута є кут, який дорівнює даному; образом трикутника є трикутник, подібний даному; площа многокутника змінюється в k2 разів, де k – коефіцієнт гомотетії. O Х Х1 A A1 B B1

Слайд № 22

При гомотетії образом кола є коло O Х Х1 A A1

Слайд № 23

Дві фігури називаються подібними, якщо одну з них можна отримати з іншої в результаті композиції двох перетворень: гомотетії і руху O F F1 Подібність = гомотетія + рух Гомотетія – окремий випадок перетворення подібності

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
Мета: дати уявлення учням про перетворення фігур на площині, формування поняття переміщення та рівних фігур
  • Додано
    23.02.2018
  • Розділ
    Геометрія
  • Клас
    9 Клас
  • Тип
    Інші методичні матеріали
  • Переглядів
    8741
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    4
  • Номер матеріала
    EV587551
  • Вподобань
    0
Курс:«Активізація творчого потенціалу вчителів шляхом використання ігрових форм організації учнів на уроці»
Черниш Олена Степанівна
36 годин
1800 грн
540 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №EV587551
За публікацію цієї методичної розробки Крупка Наталя Володимирівна отримав(ла) свідоцтво №EV587551
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Шкільна міжнародна дистанційна олімпіада «Всеосвiта Осінь – 2018»

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти