Цікава математика у розв’язках і міркуваннях

Опис документу:
Даний матеріал стане у нагоді вчителям математики

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Цікава математика

у розв’язках і міркуваннях

11 клас

1. Знайти всі розв’язки рівняння 2011х2010х = 1.

Розв’язання

Запишемо рівняння у вигляді .

Функція в лівій частині рівняння зростає, а в правій частині спадає. Тому рівняння має не більше одного кореня.

Помічаємо, що х = 1 є коренем рівняння.

Відповідь. 1.

2. . Знайдіть усі значення , що задовольняють рівняння:

Відповідь:

Розв’язання. Зі співвідношення

дістаємо рівність , з якої, враховуючи, що , маємо, що

3. Позначимо через P(n) та S(n) відповідно добуток та суму цифр натурального числа n. Наприклад, , . Знайдіть усі двоцифрові числа n, для яких справджується рівність: .

Відповідь: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

Розв’язання. Нехай шукане двоцифрове число , . Рівняння з умови набуває такого вигляду:

Отже, умову задовольняють усі двоцифрові числа, що закінчуються на 9, і лише вони.

4. У трикутнику ABC відрізок AD — бісектриса Виявилося, що , , а — рівнобедрений з вершиною D. Знайдіть довжини сторін

Відповідь:

Розв’язання. Зрозуміло, що (рис. 8). Із рівності кутів випливає, що , що дає співвідношення:

Звідси ,

Зауважимо, що трикутник зі сторонами справді задовольняє умову задачі: бісектриса AD ділить сторону BC у відношенні і дорівнює, після застосування теореми косинусів до трикутників ACB й ACD, 36.

5. У кожній клітинці квадратної таблиці міститься число 0 або число 1. Поряд із таблицею записали 10 чисел: суми значень у кожному з 4 рядків, суми значень у кожному з 4 стовпчиків і суми чисел на кожній із 2 великих діагоналей (тих діагоналей, що містять по чотири клітинки). Доведіть, що серед одержаних десяти чисел є принаймні три однакових.

Розв’язання. У кожному рядку, стовпчику та на кожній діагоналі містяться чотири числа, кожне з яких дорівнює 0 або 1, тому кожна записана сума може бути одним із п’яти чисел: 0, 1, 2, 3, 4. Якби серед 10 сум не було трьох однакових, це означало би, що кожне з п’яти можливих значень трапляється серед сум рівно двічі. Нехай це справді так. Розгляньмо одну з двох ліній, сума чисел на якій дорівнює 4; така лінія складається виключно з одиниць. Це не може бути діагональ, адже тоді в кожному рядку й у кожному стовпчику містилася би принаймні одна одиниця, тобто кількість ліній із сумою 0 була б меншою за дві. Хай тоді, без втрати загальності, лінія із сумою 4 — рядок. Це означає, що в кожному стовпчику й на кожній діагоналі є принаймні одна одиниця. Тоді дві лінії із сумою чисел 0 — теж рядки. Але в такому випадку друга лінія із сумою 4 теж не може бути ані стовпчиком, ані діагоналлю, тобто є рядком. Отже, маємо по два рядки із сумами 0 та 4, що означає, що сума чисел у кожному з чотирьох стовпчиків дорівнює 2, а це суперечить припущенню, що кожне значення від 0 до 4 трапляється серед сум рівно двічі. Одержана суперечність і завершує доведення.

6. Функція задовольняє такі умови:

Знайдіть значення

Відповідь:

Розв’язання. Для довільного , звідки . Використавши умову , матимемо:

Із допомогою методу математичної індукції покажемо, що . Базу індукції доведено вище. Індукційний перехід здійснимо, скориставшись співвідношенням :

Неважко індукцією показати й те, що функція справді задовольняє умову задачі: якщо , то

Отже,

3

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
1
міс.
2
0
дн.
2
1
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!