Цікава математика у розв’язках і міркуваннях

Опис документу:
Даний матеріал стане у нагоді вчителям математики

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Цікава математика

у розв’язках і міркуваннях

9 клас

1. За яких значень параметра a рівняння

має рівно два різних дійсних корені?

Відповідь:

Розв’язання. Число x буде коренем рівняння тоді й лише тоді, коли або ж і (а якщо так, то ). Тобто для того, щоб рівняння мало два різних корені, необхідно і достатньо, щоб існувало таке , що . Це справджується для всіх

2. Від’ємні числа a, b, c, d задовольняють такі умови: , , . Яке число більше: a чи c?

Відповідь:

Розв’язання. Виразимо b із кожного з трьох рівнянь:

Тоді , а також . Оскільки всі числа від’ємні, .

Зауважимо, що набір чисел, які задовольняють умову, існує: приміром,

3. На дошці записано числа 1, 2, 3, ..., 101. Андрійко може вибрати серед записаних чисел довільні два a, b та записати замість них число . Після 100-ї такої операції на дошці залишиться єдине число. Яке найбільше значення воно може мати?

Відповідь: 101.

Розв’язання. Оскільки всі числа на дошці залишатимуться невід’ємними на кожному кроці, а для невід’ємних чисел a та b завжди , можемо стверджувати, що числа́, більшого за 101, на дошці опинитися на може. Число 101, з іншого боку, справді може залишитись останнім. Для цього Андрійку достатньо зробити так: спершу провести операції з парами чисел (1, 2), (3, 4), …, (99, 100) — записати замість кожної з цих пар одиницю. Далі він розіб’є отримані 50 одиниць на 25 пар і проведе операції з ними, внаслідок чого дістане 25 нулів, записаних на дошці разом із числом 101, яке Андрійко не чіпав. Далі хлопець по одному прибиратиме нулі, ставлячи їх у пари із числом 101.

Отже, найбільшим числом, яке може лишитися після 100 операцій, є число 101.

4. Знайдіть усі натуральні значення n, для яких обидва числа та є точними квадратами.

Відповідь:

Розв’язання. Нехай деяке число n задовольняє умови задачі, причому та , де x та y — цілі і, без втрати загальності, додатні числа. Тоді маємо:

Оскільки , а 17 — просте число, повинна справджуватися система:

Звідси відразу знаходимо, що , а . Перевіркою переконуємось, що значення задовольняє умову задачі.

5. У трикутнику ABC проведено бісектрису BD. Відомо, що центр описаного навколо кола збігається із центром кола, що вписане у . Знайдіть кути .

Відповідь:

Розв’язання. Позначмо спільний центр кіл через I, а точки дотику вписаного у кола до сторін CD, BC і BD через E, F, G відповідно (рис. 5). Відрізки IE та IF — серединні перпендикуляри до сторін AC й BC відповідно, а тому та . Із властивостей дотичних до кола , і , тому

Також маємо, що

Отже, трикутники BDC та ACB рівнобедрені. Звідси маємо, що

2

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
1
міс.
1
1
дн.
1
6
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!