Цікава математика у розв’язках і міркуваннях

Опис документу:
Даний матеріал стане у нагоді вчителям математики

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Цікава математика

у розв’язках і міркуваннях

8 клас

1. В рівності 2011 + 210 = 210 + 1197 пересунути дві цифри так, щоб вийшла правильна рівність.

Розв’язання

Легко перевірити справедливість рівності 2011 + 210 = 210 + 1197.

2221 = 1024 + 1197

2. Дано рівняння 20х + 11у = 2011. Знайти х+ у.

А: 20 Б: 31 В: 101 Г: 201 Д: 211

Розв’язання

х = 100, у = 1, тоді х+ у =100 + 1 = 101.

Відповідь. 101.

3. Знайти натуральні розв’язки рівняння а2 b – 1 = 2011 ?

Розв’язання

Запишемо дане рівняння у вигляді а2 b = 2012 = 22 · 503. Існує тільки один повний квадрат, що є дільником добутку 22 · 503. Отже, 22 · 503 – 1 = 2011.

Відповідь. а = 2, b = 503.

4. Обчисліть значення виразу:

.

Відповідь: 4 044 119.

Розв’язання. Проведімо такі перетворення:

5. Чи існують цілі числа x, y, z, які задовольняють рівність:

?

Відповідь: таких чисел не існує.

Розв’язання. Якби такі три числа x, y та z існували, принаймні два з них мали би однакову парність. Припустимо, це пара чисел x та y. Тоді сума — парна, а отже парним мав би бути й добуток . Число ж 2011, якому цей добуток повинен дорівнювати, — непарне. Одержана суперечність показує, що цілих чисел, які задовольняють умову, не існує.

6. У першій коробці кілька жовтих кульок, а у другій — кілька блакитних. Андрій перекладає декілька кульок із першої коробки в другу, після чого перемішує вміст другої коробки. Далі Леся перекладає таку ж саму кількість кульок із другої коробки в першу. Яких кульок тепер більше: жовтих у другій коробці чи блакитних у першій?

Відповідь: їх однакова кількість.

Розв’язання. Нехай діти перекладали з коробки в коробку по n кульок, причому серед n кульок, які переклала Леся, жовтих було m, а блакитних — . Тоді жовтих кульок у другій коробці після Андрієвого перекладання було n, а після Лесиного стало . Блакитних же кульок у першій коробці після Андрієвого перекладання не було взагалі, а після Лесиного стало — стільки ж, скільки й жовтих кульок у другій коробці.

7. Знайдіть усі такі прості числа p та q, для яких число також є простим.

Відповідь: або

Розв’язання. Якщо числа p та q непарні, то число парне і, очевидно, більше за 2, а тому не може бути простим. Отже, серед простих чисел p та q є парне, яке дорівнює 2. Припустимо, що таким є число p. Лишається знайти всі прості q, для яких простим є число .

Помітимо, що коли число не ділиться на 3, себто дає при діленні на 3 остачу 1 або 2, квадрат цього числа дає від ділення на 3 остачу 1, а тому якщо , то , тобто число ділиться на 3 і не є простим. Таким чином, , звідки . Аналогічно, якщо , то . Залишається підставити пари (2, 3) і (3, 2) у початковий вираз і пересвідчитися, що обидві справді дають просте число 17.

8. A й B — точки перетину кіл та таких, що центр кола лежить на колі , а центр кола лежить на колі . Точку C, відмінну від точки B, вибрано на колі так, що . Знайдіть кути трикутника ABC.

Відповідь: усі кути дорівнюють по

2

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
1
міс.
1
9
дн.
1
9
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!