У деяких випадках множення многочленів можна виконати раціональніше (коротше), скориставшись формулами скороченого множення.
Потрібно запам'ятати три формули:
1. Формула квадрата суми: (a+b)2=a2+2ab+b2.
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу:
(a+b)2=(a+b)⋅(a+b)=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b==a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.
2. Формула квадрата різниці: (a−b)2=a2−2ab+b2
Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу:
(a−b)2=(a−b)⋅(a−b)=a⋅a+a⋅(−b)−b⋅a−b⋅(−b)==a2−ab−ba+b2=a2−2ab+b2.
3. Формула різниці квадратів: (a−b)(a+b)=a2−b2.
Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і їх суми:
(a−b)(a+b)=a⋅a+a⋅b−b⋅a−b⋅b==a2+ab−ab−b2=a2−b2.
Формула і приклад її застосування
1. (a+b)2=a2+2ab+b2
Приклад:
За формулою:
(x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32=x2+6x+9
Без формули (множення многочлена на многочлен):
(x+3)2=(x+3)⋅(x+3)=x⋅x+x⋅3+3⋅x+3⋅3==x2+3x+3x+9=x2+6x+9.
2. (a−b)2=a2−2ab+b2
Приклад:
За формулою:
(x−3)2=x2−2⋅x⋅3+32=x2−6x+9.
Без формули (множення многочлена на многочлен):
(x−3)2=(x−3)⋅(x−3)=x⋅x+x⋅(−3)−3⋅x−3⋅(−3)=x2−3x−3x+9=x2−6x+9.
3. (a−b)(a+b)=a2−b2
Приклад:
За формулою:
(x−3)(x+3)=x2−32=x2−9.
Без формули (множення многочлена на многочлен):
(x−3)(x+3)=x⋅x+x⋅3−3⋅x−3⋅3=x2+3x−3x−9=x2−9.
Використовуючи формулу, отримати результат можна значно швидше.
Зверни увагу!
Перша й друга формули відрізняються тільки знаками:
(a±b)2=a2±2ab+b2.
