Задачі на побудову

Задачі на побудову відрізняються від всіх інших геометричних задач. Розв’язання таких задач має свої правила.

         Мета розв’язування таких задач - побудова геометричних фігур, які обладають заданими властивостями за допомогою циркуля і лінійки, на якій немає поділок.

При цьому, за допомогою лінійки можна: 

• провести довільну пряму;

• пряму, що проходить через задану точку;

• пряму, що проходить через дві задані точки.

Ніяких інших операцій за допомогою лінійки робити не можна. (Як то відкладання відрізка заданої довжини)

За допомогою циркуля можна:

• провести коло (або його частину) довільного або заданого радіуса з довільним або заданим центром;

• відкласти від початку заданого променя відрізок заданої довжини.

Усі ці операції називають елементарними побудовами.

Розв’язати задачу на побудову - означає знайти послідовність елементарних побудов, після виконання яких шукана фігура вважається побудованою, і після цього довести, що саме ця фігура задовольняє умову задачі.

Схема розв’язання задачі на побудову:

1. Дано (опис даних компонентів).

2. Аналіз (виконується рисунок - ескіз шуканої фігури, встановлюються зв’язки між даними елементами задачі, визначається план побудови).

3. Побудова (покроково виконується побудова відповідно до розробленого плану).

4. Доведення (обгрунтування того, що побудована фігура задовольняє умову задачі).

5. Дослідження (визначення кількості розв’язків і умов існування шуканої фігури або неможливості її побудови)

   Побудова трикутника за трьома сторонами

   Дано: сторони a, b і c. 

   
   
   

   Побудувати:  ΔАВС так, щоб ВС = а, АС= b, АВ = с.

   Побудова: 

   Встановимо точку С і проведемо з неї промінь m;

   

   2) За допомогою циркуля накреслимо дугу кола з центром в точці С радіуса a, воно перетне промінь m в точці В;

   3) Накреслимо дугу кола з центром в точці С радіуса b;

   4) Накреслимо дугу кола з центром в точці В радіуса с;

   5) Дві останні дуги перетнуться в точці А.

   Доведення: За побудовою ВС=а, AC=b, AB=c. Отже, ΔАВС - шуканий.

   Дослідження: Таких трикутників можна провести два. Вони будуть розташовані у різних півплощинах відносно променя m.

   Побудова кута, що дорівнює даному

   Дано: ∠А і пряма з початковою точкою О

   Побудувати: кут О, що дорівнює ∠А , 

   в задану півплощину

   

   Побудова: 

   1)На заданому куті А проведемо дугу кола з центром в точці А довільного радіуса.

   Ця дуга перетне сторони кута в точках С і В

   2) Від точки О на заданому промені відкладемо

   відрізок ОВ1, що дорівнює АВ (проводимо дугу 

   з центром в точці О радіуса АВ)

   3) Проведемо дугу кола з центром в точці В1 

   радіуса ВС. Вона перетне першу дугу в точці С1.

   4) Проведемо промінь ОС1. Кут С1 О В1 побудовано.

   Доведення:

   Доведемо, що ∠С1 О В1=∠САВ

   Оскільки ОВ1=АВ, ОС1=АС, В1 С1=ВС за побудовою, то ΔС1 О В1=ΔСАВ за трьома сторонами. З рівності трикутників випливає рівність відповідних кутів. Отже, ∠С1 О В1=∠САВ

   Дослідження: 

   У задану півплощину із заданої точки на заданому промені можна відкласти лише один кут, що дорівнює даному.

   Побудова бісектриси кута

   Дано: ∠А- нерозгорнутий

   Побудувати: бісектрису цього кута AD.

   

   Побудова: 

   1) За допомогою циркуля побудуємо дугу кола

   з центром в точці А довільного радіуса;

   2) Воно перетне сторони кута в точках В і С.

   3) З отриманих точок В і С проведемо кола такого самого радіусу. Вони перетнуться в точці D. 

   4) Проведемо промінь AD. AD - шукана бісектриса даного кута А.

   Доведення:

   Оскільки АВ=АС, BD=CD, AD- спільна сторона, то ΔАВD=ΔACD за трьома сторонами.

   Отже, ∠BAD=∠CAD, тобто AD - бісектриса ∠А.

   Дослідження:

   Задача має єдиний розв’язок.

   Ділення відрізка навпіл

   Дано: Відрізок АВ.

   Побудувати: точку О так, щоб О∊ АВ і АО=ОВ

   

   Побудова: 

   1)Проведемо коло з центром в точці А і коло з центром в точці В довільного радіусу, більшого від половини відрізка АВ.

   2)Точки С і С1 - точки претину цих кіл. Вони лежать у різних півплощинах відносно АВ. Тоді СС1 перетинає АВ в точці О. Отже, О - середина відрізка АВ.

   Доведення:

   1)ΔАСС1=ΔВСС1 за трьома сторонами (АС=ВС, АС1=ВС1, СС1 - спільна)

   Отже, ∠АСО= ∠ВСО.

   2)У рівнобедреному ΔАСВ бісектриса ∠АСВ є медіаною. Отже, АО=ОВ.

   Тобто, точка О - середина АВ.

   Побудову перпендикулярної прямої  розгляньте за підручником стор. 180-181.

   Побудова прямої, що проходить через задану точку і паралельна даній прямій

   Дано: пряма а, точка О∉а

   Побудувати: пряму b, що проходить через точку О і паралельну прямій а.

   

   Побудова:

   1)Побудуємо коло з центром в т. О радіуса r. Воно перетне пряму а в точці А. 

   2)Побудуємо коло з центром в т.А радіуса r. Воно перетне пряму а в точці В.

   3) проведемо коло з центром в т. В радіуса r. Воно перетне коло з центром в т. О. Цю точку назвемо С.

   4) ОС - шукана пряма.

   Доведення:

   1)ΔАВО = ΔСОВ за трьома сторонами (АВ=ВС=СО=ОА за побудовою, ОВ - спільна.) Отже, ∠АВО=∠ВОС.

   2)Оскільки внутрішні різносторонні кути АОВ і ВОС при прямих a і b та січній ОВ  рівні, то b паралельна a.

   3)О∊b за побудовою.

зробити покрокові фото побудови трикутника за трьома сторонами.

ПОВИННІ БУТИ 5 ФОТО:

1. три відрізки

2. побудова першої сторони

3. побудова другої сторони (півколо)

4. побудова третьої сторони (півколо)

5. сполучення усіх трьох точок у трикутник