Урок: 10 клас. Геометрія. Урок 56. Скалярний добуток векторів. Розв'язування задач. Самостійна робота

Повторюємо "Кут між векторами. Скалярний добуток векторів"

Величину кута AOB називатимемо кутом між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Кут між векторами a і b позначають так: $\angle\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$, .

Коли $\overrightarrow{a}\uparrow\downarrow\overrightarrow{b},$ то $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=180\degree$

Якщо $\overrightarrow{a}\uparrow\uparrow\overrightarrow{b},$то вважають, що$\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0\degree.$

Якщо хоча б один із векторів $\overrightarrow{a}$ або $\overrightarrow{b}$ нульовий, то також вважають, що $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0\degree.$

Вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°. Записують: $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}.$

Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів і косинуса кута між ними.

Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ позначають так: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}.$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\cdot\vert\overrightarrow{b}\vert cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Якщо хоча б один із векторів $\overrightarrow{a}$або $\overrightarrow{b}$ нульовий, то очевидно, що $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$

Скалярний добуток $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}$ називають скалярним квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ і позначають $\overrightarrow{a^2}^{}$.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля, тобто $\overrightarrow{a^2}^{}=\vert\overrightarrow{a}\vert^2.$

Теорема. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.

Теорема. Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$ і $\overrightarrow{b}(b_1;b_2;b_3)$ можна обчислити за формулою

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

Теорема. Косинус кута між ненульовими векторами $\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$ і $\overrightarrow{b}(b_1;b_2;b_3)$ можна обчислити за формулою

$\cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

Властивості скалярного добутку векторів

Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ і будь-якого числа $k$ є справедливими рівності:

1. $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a};$

2. $(\overrightarrow{ka})\cdot\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b});$

3. $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$

№42.16

Знайдіть скалярний добуток $\left(\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{3b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{2b}\right),$якщо $\overrightarrow{a}\left(2;-1;-2\right),$ $\overrightarrow{b}(4;-3;2)$

№42.18

Кожне ребро тетраедра DABC дорівнює $a$, точка M — середи на ребра AB. Знайдіть скалярний добуток векторів:

1. $\overrightarrow{CM}$ і $\overrightarrow{DC}$;

2. $\overrightarrow{AB}$і $\overrightarrow{CD}$.

№42.20

Знайдіть кут між векторами $\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$і $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{2b},$якщо $\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt2$, $\vert\overrightarrow{b}\vert=2$, $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=135\degree.$

№42.22

Знайдіть косинус кута між векторами $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$, якщо $A (3; –2; 1)$, $B (–1; 2; 1)$, $C (4; –1; 5)$,$D\left(1;3;0\right)$.

Самостійна робота

Варіант 1

Самостійна робота

Варіант 2

Домашнє завдання:

Повторити п.42 (конспект), виконати № 42.17; 42.21. 42.23.

№ 42.17. Знайдіть скалярний добуток $\left(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{2n}\right)^2,$ якщо $\overrightarrow{m}\left(2;1;-3\right),$ $\overrightarrow{n}(4;-2;0)$

№ 42.21. Знайдіть кут між векторами $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$і $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{2n},$якщо $\vert\overrightarrow{m}\vert=1$, $\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt3$, $\angle(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n})=30\degree.$

№ 42.23. Вершинами трикутника є точки $A(1;0;1)$, $B(–5;4;3)$, $C(0;3;-1)$, Знайдіть кут $A$ трикутника.