Урок: 10 клас. Геометрія. Урок 55. Скалярний добуток векторів. Розв'язування задач

Повторюємо "Кут між векторами. Скалярний добуток векторів"

Величину кута AOB називатимемо кутом між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Кут між векторами a і b позначають так: $\angle\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$, .

Коли $\overrightarrow{a}\uparrow\downarrow\overrightarrow{b},$ то $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=180\degree$

Якщо $\overrightarrow{a}\uparrow\uparrow\overrightarrow{b},$то вважають, що$\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0\degree.$

Якщо хоча б один із векторів $\overrightarrow{a}$ або $\overrightarrow{b}$ нульовий, то також вважають, що $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0\degree.$

Вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°. Записують: $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}.$

Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів і косинуса кута між ними.

Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ позначають так: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}.$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\cdot\vert\overrightarrow{b}\vert cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Якщо хоча б один із векторів $\overrightarrow{a}$або $\overrightarrow{b}$ нульовий, то очевидно, що $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$

Скалярний добуток $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}$ називають скалярним квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ і позначають $\overrightarrow{a^2}^{}$.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля, тобто $\overrightarrow{a^2}^{}=\vert\overrightarrow{a}\vert^2.$

Теорема. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.

Теорема. Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$ і $\overrightarrow{b}(b_1;b_2;b_3)$ можна обчислити за формулою

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

Теорема. Косинус кута між ненульовими векторами $\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$ і $\overrightarrow{b}(b_1;b_2;b_3)$ можна обчислити за формулою

$\cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

Властивості скалярного добутку векторів

Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ і будь-якого числа $k$ є справедливими рівності:

1. $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a};$

2. $(\overrightarrow{ka})\cdot\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b});$

3. $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$

№42.9

Серед векторів $\overrightarrow{a}\left(1;1;2\right),$ $\overrightarrow{b}(1;2;1)$ і $\overrightarrow{c}(-5;3;1)$ укажіть пару перпендикулярних векторів.

№42.10

Кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ дорівнює 45°, $\vert\overrightarrow{a}\vert=3$, $\vert\overrightarrow{b}\vert=3\sqrt2$. Знайдіть:

1. $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{b};$

2. $\left(\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{a};$

3. $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2.$

№42.12

Кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ дорівнює 120°, $\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow{b}\vert=1.$ Обчисліть скалярний добуток $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{3b}\right)\cdot\left(\overrightarrow{4a}-\overrightarrow{7b}\right).$

№42.14

При якому значенні $x$ вектори $\overrightarrow{a}\left(x;-x;1\right)$ і $\overrightarrow{b}\left(x;2;1\right)$ перпендикулярні?

Домашнє завдання:

Повторити п.42 (конспект), виконати № 42.11; 42.13; 42.15.

№ 42.11. Кут між векторами $\overrightarrow{m}$ і $\overrightarrow{n}$ дорівнює 150°, $\vert\overrightarrow{m}\vert=2$, $\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt3$. Знайдіть: 1) $\left(\overrightarrow{3m}-\overrightarrow{4n}\right)\cdot\overrightarrow{m};$2) $\left(m+n\right)^2$.

№ 42.13. Кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ дорівнює 60°, $\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow{b}\vert=1.$. Обчисліть скалярний добуток $\left(5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{5b}\right).$

№ 42.15. При якому значенні $p$ вектори $\overrightarrow{a}\left(p;-2;1\right)$ і $\overrightarrow{b}\left(p;1;-p\right)$ перпендикулярні?